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% Tapuscrit François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small 20 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Asie - 20 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, un seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
\textbf{Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}\\
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.}

\begin{enumerate}

\medskip

\item Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(20~;\, 0,4)$.
\begin{enumerate}
\item $p(X=7) = 20\times 0,4^7$
\item $p(X>4) = 0,98$ arrondie au centième
\item $p(X\leqslant 4) = 0,05$ arrondie au centième
\item $p(X\leqslant 7) = 0,25$ arrondie au centième
\end{enumerate}

\medskip

\item L'équation $\left ( \e^{x}\right )^2 = 3\e^{x}$ possède:
\begin{enumerate}
\item une unique solution 3
\item une unique solution $\ln (3)$
\item deux solutions 0 et $\ln (3)$
\item deux solutions 0 et $3$
\end{enumerate}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}$.\\
Une autre expression de $f(x)$ est:

\begin{enumerate}
\item $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{-x}$
\item $f(x)= -x\e^{-x}$
\item $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{x}$
\item $f(x)= x \e^{-x}$
\end{enumerate}

\medskip

\item 
\begin{multicols}{2}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale dont la densité de probabilité est représentée ci-contre. Sur le graphique, la surface grisée correspond à une probabilité de $0,95$.

\hfill\scalebox{0.6}{
\psset{xunit=0.1cm, yunit=80cm, arrowsize=2pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {151} \def\xmax {250}
\def\ymin {-0.01} \def\ymax {0.04}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\m{200} \def\s{15}
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{170} \def\sup{230}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=blue]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psaxes[Dy=0.01,Dx=10,Ox=200,comma]{->}(200,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
}% fin du scalebox
\end{multicols}

Une valeur approchée à $0,1$ près du nombre $\alpha$ tel que $p(X\geqslant \alpha)=0,1$ est:

\begin{enumerate}
\item $\alpha \approx 180,8$
\item $\alpha \approx 212,6$
\item $\alpha \approx 219,2$
\item $\alpha \approx 238,4$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes.}

\emph{Si nécessaire, les résultat seront arrondis au centième.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Un club de football est composé d'équipes adultes masculines, adultes féminines et d'équipes d'enfants. Chaque week-end, la présidente Claire assiste au match d'une seule des équipes du club et elle suit:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item dans 10\,\% des cas, le match d'une équipe adulte féminine;
\item dans 40\,\% des cas, le match d'une équipe adulte masculine;
\item dans les autres cas, le match d'une équipe d'enfants.
\end{list}

Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe masculine, la probabilité que celle-ci gagne est $0,6$. Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe d'enfants, la probabilité que celle-ci gagne est $0,54$.

La probabilité que Claire voie l'équipe de son club gagner est $0,58$.

On choisit un week-end au hasard. On note les évènements suivants:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $F$: \og Claire assiste au match d'une équipe adulte féminine \fg{};
\item $M$: \og Claire assiste au match d'une équipe adulte masculine \fg{}; 
\item $E$: \og Claire assiste au match d'une équipe d'enfants \fg{};
\item $G$: \og l'équipe du club de Claire gagne le match \fg{}. 
\end{list}

\smallskip

\emph{Pour tous évènements $A$ et $B$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de $A$ et, si $B$ est de probabilité non nulle, $p_{B}(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilité est donné en \textbf{annexe 1}. Le compléter au fur et à mesure de l'exercice.
\item Déterminer la probabilité $p(M \cap G)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(F \cap G) = 0,07$.
		\item En déduire $p_{F}(G)$.
		\item La probabilité que l'équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$. La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l'équipe adulte féminine?
\end{enumerate}

\item Claire annonce avoir assisté à la victoire d'une équipe du club. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi le match d'une équipe adulte féminine ?
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Au guichet, un supporter attend pour acheter son billet. On modélise le temps d'attente en minute par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 30$ et d'écart-type $\sigma=10$.

\begin{enumerate}
\item En moyenne, combien de temps attend ce supporter au guichet ?
\item Déterminer $p(25 \leqslant X \leqslant 35)$. Interpréter dans le contexte de l'exercice.
\item Le supporter ne dispose que de $15$ minutes avant le début du match pour acheter son billet.

Quelle est la probabilité qu'il puisse acheter son billet avant le début du match ?
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

Des études statistiques ont montré que la probabilité qu'un enfant se réinscrive d'une année sur l'autre dans le même club de football est $0,6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95$\,\% de la proportion d'enfants se réinscrivant d'une année sur l'autre pour un échantillon de $75$ enfants pris au hasard dans le même club de football.
\item $52$ des $75$ enfants du club de Claire veulent se réinscrire en septembre 2018.

La victoire de la France aux championnats du monde en 2018 a-t-elle eu un effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de L}

\medskip

\emph{Les partie \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Tous les ans, au mois de septembre, Richard prélève $8,5$ tonnes d'algues sur les plages de sa commune.

Au 1\ier{} septembre 2018, il y avait 230 tonnes d'algues sur ces plages.

Tous les ans, entre le 1\ier{} octobre et le 1\ier{} septembre suivant, la quantité d'algues sur ces plages augmente de 4\,\%.

On note $u_n$ la quantité en tonnes d'algues présente sur les plages au 1\ier{} septembre de l'année $2018+n$. Ainsi, $u_0=230$. 

\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1\ier{} septembre 2019.

On admet que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=1,04\,u_n - 8,84$.

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout $n\in\N$, $v_n=u_n-221$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,04$.

Préciser son premier terme.
\item Exprimer, pour tout $n\in\N$,\: $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que, pour tout $n\in\N$,\; $u_n=221+9\times 1,04^n$.
\end{enumerate}

\item La quantité d'algues présentes sur ces plages dépassera-t-elle un jour $250$~tonnes ?
Si oui, préciser au bout de combien d'années cette quantité sera atteinte.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Pour développer son entreprise, à partir du 1\ier{} septembre 2019, Richard a besoin de 10\,\% d'algues de plus que l'année précédente.

On rappelle qu'au 1\ier{} septembre 2018, il disposait de 230 tonnes d'algues et qu'il en avait consommé $8,5$ tonnes en septembre 2018. Dans cette nouvelle situation, il disposera de $230,36$ tonnes d'algues au 1\ier{} septembre 2019 et en utilisera $9,35$ tonnes pendant ce mois.

Richard souhaite étudier la quantité d'algues sur les plages concernées pour les 16 prochaines années selon ce modèle.

Pour cela il rédige l'algorithme ci-contre.

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Que représentent les variables $A$ et $B$ de l'algorithme?
\item Dans le tableau en \textbf{annexe 2}, on a obtenu différentes valeurs de $A$ et $B$ de l'algorithme. Compléter les lignes du tableau pour les valeurs de $K=1$ et $K=2$.

Arrondir les résultats au centième.
\item Que peut conclure Richard pour 2034?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tabular}{|p{0.9\linewidth}|}
\hline
$A\leftarrow 230$\\
$B\leftarrow 8,5$\\
Pour $K$ allant de 1 à 16\\
\hspace*{0.3cm} $A\leftarrow \left (A-B\right ) \times 1,04$\\
\hspace*{0.3cm} $B\leftarrow B\times 1,1$\\
Fin pour\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

\begin{minipage}{0.35\linewidth}
Une compagnie aérienne a représenté à l'aide d'un graphe les différentes liaisons assurées par ses avions.
Les sommets du graphe sont les initiales des aéroports desservis et les arêtes correspondent aux vols effectués par un avion de cette compagnie entre deux aéroports.

Par exemple, l'arête entre A et G signifie qu'un avion effectue le vol entre les aéroports A et G, en partant de A vers G ou en partant de G vers A.

\begin{enumerate}
\item Le graphe est-il complet?

Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=0.75cm}
\def\taille{0.8mm} \def\ray{4.2}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\cnode*(\ray;120){\taille}{A} \uput[120](A){A}
\cnode*(\ray;80){\taille}{B} \uput[80](B){B}
\cnode*(\ray;50){\taille}{C} \uput[50](C){C}
\cnode*(\ray;20){\taille}{F} \uput[20](F){F}
\cnode*(\ray;-20){\taille}{G} \uput[-20](G){G}
\cnode*(\ray;-60){\taille}{L} \uput[-60](L){L}
\cnode*(\ray;-100){\taille}{M} \uput[-100](M){M}
\cnode*(\ray;-150){\taille}{P} \uput[-150](P){P}
\cnode*(\ray;-200){\taille}{V} \uput[-200](V){V}
%
\ncline{A}{B}%\ncput*{\blue 2}
\ncline{A}{G}%\ncput*{\blue 4}
\ncline{A}{M}%\ncput*{\blue 5}
\ncline{A}{V}%\ncput*{\blue 1}
\ncline{B}{M}%\ncput*[npos=0.45]{\blue 2}
\ncline{B}{P}%\ncput*[npos=0.7]{\blue 4}
\ncline{B}{V}%\ncput*[npos=0.7]{\blue 2}
\ncline{C}{F}%\ncput*{\blue 3}
\ncline{C}{M}%\ncput*[npos=0.2]{\blue 4}
\ncline{F}{G}%\ncput*{\blue 6}
\ncline{F}{L}%\ncput*[npos=0.8]{\blue 4}
\ncline{F}{P}%\ncput*[npos=0.45]{\blue 6}
\ncline{G}{P}%\ncput*[npos=0.35]{\blue 2}
\ncline{L}{M}%\ncput*{\blue 1}
\ncline{P}{V}%\ncput*{\blue 4}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On note $M$ la matrice d'adjacence du graphe ci-dessus en classant les sommets par ordre alphabétique. Compléter les deux lignes manquantes de la matrice $M$ donnée en \textbf{annexe 2}.
\item La compagnie souhaite qu'un avion partant de l'aéroport F effectue 3 vols avant d'arriver à l'aéroport B. À l'aide de la matrice $M^3$ donnée ci-après, déterminer le nombre de trajets possibles.

\[M^3=
\begin{pmatrix}
4 & 9 & 2 & 5 & 8 & 2 & 8 & 4 & 9\\
9 & 6 & 2 & 5 & 4 & 2 & 8 & 9 & 7\\
2 & 2 & 0 & 6 & 2 & 0 & 6 & 2 & 3\\
5 & 5 & 6 & 2 & 6 & 6 & 2 & 7 & 3\\
8 & 4 & 2 & 6 & 2 & 2 & 4 & 8 & 3\\
2 & 2 & 0 & 6 & 2 & 0 & 6 & 2 & 3\\
8 & 8 & 6 & 2 & 4 & 6 & 2 & 6 & 3\\
4 & 9 & 2 & 7 & 8 & 2 & 6 & 4 & 8\\
9 & 7 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 8 & 4
\end{pmatrix}\]

\item L'entreprise souhaite qu'un même avion puisse parcourir successivement une fois et une seule chaque liaison.

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'un avion peut le faire et préciser les aéroports de départ et d'arrivée possibles.
\item Lors de ce trajet, combien de fois cet avion doit-il se poser à l'aéroport P ?

Expliquer la réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Sur le graphe ci-dessous sont indiqués les différents temps de vol en heure entre deux aéroports.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\def\taille{0.8mm} \def\ray{4.2}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\cnode*(\ray;120){\taille}{A} \uput[120](A){A}
\cnode*(\ray;80){\taille}{B} \uput[80](B){B}
\cnode*(\ray;50){\taille}{C} \uput[50](C){C}
\cnode*(\ray;20){\taille}{F} \uput[20](F){F}
\cnode*(\ray;-20){\taille}{G} \uput[-20](G){G}
\cnode*(\ray;-60){\taille}{L} \uput[-60](L){L}
\cnode*(\ray;-100){\taille}{M} \uput[-100](M){M}
\cnode*(\ray;-150){\taille}{P} \uput[-150](P){P}
\cnode*(\ray;-200){\taille}{V} \uput[-200](V){V}
%
\small
\ncline{A}{B}\ncput*{\blue 2}
\ncline{A}{G}\ncput*{\blue 4}
\ncline{A}{M}\ncput*{\blue 5}
\ncline{A}{V}\ncput*{\blue 1}
\ncline{B}{M}\ncput*[npos=0.45]{\blue 2}
\ncline{B}{P}\ncput*[npos=0.7]{\blue 4}
\ncline{B}{V}\ncput*[npos=0.7]{\blue 2}
\ncline{C}{F}\ncput*{\blue 3}
\ncline{C}{M}\ncput*[npos=0.2]{\blue 4}
\ncline{F}{G}\ncput*{\blue 6}
\ncline{F}{L}\ncput*[npos=0.8]{\blue 4}
\ncline{F}{P}\ncput*[npos=0.45]{\blue 6}
\ncline{G}{P}\ncput*[npos=0.35]{\blue 2}
\ncline{L}{M}\ncput*{\blue 1}
\ncline{P}{V}\ncput*{\blue 4}
\end{pspicture}
\end{center}

Un client souhaite utiliser une offre promotionnelle de cette compagnie pour voyager de l'aéroport V jusqu'à l'aéroport F. Combien d'heures de vol doit-il envisager au minimum?

Préciser le trajet.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\begin{minipage}{0.38\linewidth}
On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$, la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1 et la tangente $T_2$ à $\mathcal{C}$  au point B d'abscisse 2. La tangente $T_1$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\hfill\scalebox{0.8}{
\psset{xunit=0.6cm, yunit=1.2cm, arrowsize=2pt 3}
\def\xmin {-1.4} \def\xmax {16}
\def\ymin {-0.6} \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \psgrid[gridlabels=0pt, subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](\xmin,\ymin)(15.8,\ymax)
\small
\psaxes{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot{-1.5}{15}{x 4 div 0.693 add} \uput[ul](9,3){$T_2$}
\psplot{-1.5}{15}{1} \uput[u](11.5,1){$T_1$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.5}{12}{x ln 1 x div add} \uput[d](9.5,2.36){\blue $\mathcal{C}$}
\psset{dotstyle=+,dotscale=1.5}
\psdots(1,1)(2,1.19)
\uput[u](1,1){A} \uput[u](2,1.19){B}
\end{pspicture*}
}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique:
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(1)$.
\item Déterminer les éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}$.
\item Déterminer un encadrement de $\displaystyle\int_{6}^{8} f(x) \d x$ par deux entiers consécutifs.
\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$ par: $f(x) = \ln(x) + \dfrac{1}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $x\in \left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$, $f'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}$.
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.

Si nécessaire, on arrondira à $0,1$ les valeurs numériques.
\end{enumerate}

\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l'on pourra admettre.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lr|}
\hline
\multicolumn{3}{|l|}{\quad Calcul formel}\\
\hline
1 & $g(x):=(x-1)/x^2$ & \\
& & $g(x) = \dfrac{x-1}{x^2\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\
\hline
2 & Dérivée $(g(x))$ &\\
& & $\dfrac{x^2-2x(x-1)}{x^4\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\
\hline
3 & Simplifier(Dérivée($g(x)$) & \\
& & $\dfrac{-x+2}{x^3\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel $f$ est concave.

\item Soit $F$ la fonction définie sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$ par $F(x)=\left (x+1\right ) \ln(x)-x$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$.
\item En déduire la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexes à rendre avec la copie}
\end{center}

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 1}\\
\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}

\begin{center}
\bigskip
{\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2.5cm,nodesepB=4pt}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$F$}}
	                        {
	                        \TR{$G$}
			                \TR{$\overline G$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M$}}
	                        {
	                        \TR{$G$}
			                \TR{$\overline G$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$E$}}
	                        {
	                        \TR{$G$}
			                \TR{$\overline G$}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 2}\\
\textbf{Exercice 3}\\
\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L}\\
\emph{Valeurs de $A$ et $B$ obtenues à l'aide d'un tableur}
\end{flushleft}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\hspace*{0.7cm}$K$\hspace*{0.7cm} & \hspace*{0.7cm}$A$\hspace*{0.7cm} & \hspace*{0.7cm}$B$\hspace*{0.7cm} \\
\hline
\cellcolor{lightgray} & 230 & 8,5 \\
\hline
1 & & \\
\hline
2 & & \\
\hline
3 & 228,35 & 11,31\\
\hline
4 & 225,72 & 12,44\\
\hline
5 & 221,80 & 13,69\\
\hline
6 & 216,44 & 15,06\\
\hline
7 & 209,43 & 16,56\\
\hline
8 & 200,58 & 18,22\\
\hline
9 & 189,66 & 20,04\\
\hline
10 & 176,40 & 22,05\\
\hline
11 & 160,53 & 24,25\\
\hline
12 & 141,73 & 26,68\\
\hline
13 & 119,65 & 29,34\\
\hline
14 & 93,92 & 32,28\\
\hline
15 & 64,11 & 35,51\\
\hline
16 & 29,75 & 39,06\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\columnbreak

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 2}\\
\textbf{Exercice 3}\\
\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}\\
\end{flushleft}

\[M=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\]
\end{multicols}
\end{document}