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%Tapuscrit : Denis Vergès et Arié Yallouz
%Relecture : François Hache
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%%%%   Commandes perso FH
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{21 juin 2018}}
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\label{Asie}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES -- Asie ~ 21 juin 2018~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip


\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions
posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le
numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point; une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour la recherche d'un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.

La probabilité qu'une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses
sont indépendantes.

Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$
réponses ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,20 &\textbf{b.~~}0,62&
\textbf{c.~~}0,38  &\textbf{d.~~}0,58
\end{tabularx}
\medskip

\item Pour tout évènement $E$ on note $P(E)$ sa probabilité. $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $30$ et d'écart type $\sigma$. Alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $P(X = 30) = 0,5$ 	&\textbf{b.~~} $P(X < 40) < 0,5$\\
\textbf{c.~~} $P(X < 20) = P(X > 40)$&\textbf{d.~~} $P(X < 20) > P(X < 30)$
\end{tabularx}
\medskip

\item En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de $6,2$ millions d'unités en 2014 à 4,3 millions d'unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016,
d'environ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 65\,\%&\textbf{b.~~}31\,\% &\textbf{c.~~} 20\,\%&\textbf{d.~~}  17\,\%
\end{tabularx}
\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Pour les questions 4 et 5, on donne ci-contre
la représentation graphique d'une
fonction $f$ définie sur $\R$.

\item Soit $f'$ la dérivée de $f$ et $F$ une
primitive de $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ est positive sur [2~;~4].
		\item $f'$ est négative sur [-3~;~-1]-
		\item $F$ est décroissante sur [2~;~4].
		\item $F$ est décroissante sur [-3~;~-1].
	\end{enumerate}
\item Une des courbes ci-dessous
représente la fonction $f''$. Laquelle ?}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5,-3.5)(7.9,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 4 exp 40 div x 3 exp 6 div sub x dup mul 5 div sub 2 x mul add}
\end{pspicture*}
}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.}&\textbf{b.}\\
\psset{unit=0.48cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5,-3.5)(7.98,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 5 exp 5 div x 4 exp 1.7 mul sub x 3 exp 2.41667 mul sub x dup mul 39.6 mul add 35 div}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.48cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5,-3.5)(7.9,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 3 exp x dup mul 5 mul sub 4 x mul sub  20 add 10 div}
\end{pspicture*}\\

\textbf{c.}&\textbf{d.}\\
\psset{unit=0.48cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5,-3.5)(7.9,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x x 3.4 add mul x 4.5 sub mul x 5.5 sub mul  68 neg div}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.48cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5,-3.5)(7.9,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 1.8 sub 2 exp 4 sub 0.35 mul}
\end{pspicture*}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Un navigateur s'entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de
traversée de l'Atlantique à la voile.

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}

\medskip

\emph{Pour tous évènements $A$ et $B$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$, $P(A)$ la probabilité de $A$
et si $B$ est de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le navigateur décide de modéliser la durée de sa traversée en jour par une loi normale de
paramètres $\mu = 7$ et $\sigma= 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le navigateur termine sa course entre $5$ et $8$ jours après le départ ?
\item Dans sa catégorie de voilier, le record du monde actuel est de $5$ jours.
Quelle est la probabilité que le navigateur batte le record du monde?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise nommée \og Régate \fg, s'intéresse aux résultats de ce navigateur.

La probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16.

Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95.

Sinon, l'entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de 0,50.

On note :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement \og la traversée est réalisée par le navigateur en moins de 6 jours \fg ;
\item[$\bullet~~$] $F$ l'évènement \og l'entreprise sponsorise le navigateur \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item  Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la
prochaine course est $0,428$.
\item  L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.

Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins
de $6$ jours.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise \og Régate \fg sponsorise plusieurs catégories de sportifs dans le monde nautique.

Ces derniers doivent afficher le slogan \og Avec Régate, j'ai 97\,\% de chance d'être sur le podium! \fg.

L'étude des résultats sportifs de l'année a révélé que, parmi $280$ sportifs de chez \og Régate \fg, $263$ sont montés sur le podium. Que penser du slogan ?

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\bigskip

Un pays compte $300$ loups en 2017. On estime que la population des loups croit
naturellement au rythme de 12\,\% par an. Pour réguler la population des loups le
gouvernement autorise les chasseurs à tuer un quota de $18$ loups par an.

On modélise la population par une suite $\left(u_n\right)$ le terme $u_n$ représentant le nombre de loups de ce pays en $2017+n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Avec ce modèle vérifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de $318$.
		\item Justifier que, pour tout entier $n \in \N$, \:  $u_{n+1} = 1,12u_n - 18$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine au bout de combien
d'années la population de loups aura doublé.

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%$N \gets 0$\\
%$U \gets 300$\\
%Tant que $\ldots$ faire\\
%\hspace{1cm}$U \gets \ldots$\\
%\hspace{1cm}$N \gets \ldots$\\
%Fin Tant que\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}
$N \gets 0$

$U \gets 300$

Tant que ..................... faire
\begin{itemize}
\item[] $U \gets \cdots$
\item[] $N \gets \cdots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}


\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = u_n - 150$ pour tout $n \in \N$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,12$.
		
Préciser son terme initial.
		\item Exprimer, pour tout $n \in \N$,  $v_n$ en fonction de $n$.
		
En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier.
		
Que peut-on en déduire?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation :
		
\[150 + 1,12^n \times 150 > 600.\]

		\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\item En 2023. avec ce modèle, la population de loups est estimée à $446$ loups et le rythme de croissance annuel de la population reste identique. Dans ce cas, une nouvelle
décision sera prise par le gouvernement: afin de gérer le nombre de loups dans le
pays, il autorisera les chasseurs à tuer un quota de $35$ loups par an.

En quelle année la population de loups dépassera-t-elle $600$ loups ?

\emph{Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d'aller au travail tous les matins à
vélo. Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.

Elle se rend compte que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si elle a pris son vélo un jour, cela renforce sa motivation et elle reprend le vélo le lendemain avec une probabilité de $0,7$ ;
\item[$\bullet~~$] si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu'elle reprenne la voiture le lendemain est de $0,5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets A et B où :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ est l'évènement \og Lisa prend le vélo \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] B est l'évènement \og Lisa prend la voiture \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité que Lisa aille au travail à vélo le jour $n$ ;
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité que Lisa aille au travail en voiture le jour $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données par un graphe probabiliste.
		\item En déduire la matrice de transition $M$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $a_1$ et $b_1$ correspondant à l'état initial.
		\item Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8\up{e} jour.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul : $a_{n+1} = 0,7a_n + 0,5b_n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$ : $a_{n+1} = 0,2a_n + 0,5$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n < 0,626$.
		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
%$N \gets 1$\\
%$A \gets 1$\\
%Tant que \ldots faire\\
%\hspace{1cm}$A \gets \ldots$\\
%\hspace{1cm}$N \gets \ldots $\\ 
%Fin Tant que\\ \hline	
%\end{tabularx}
%\end{center}
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$N \gets 1$

$A \gets 1$

Tant que ..................... faire
\begin{itemize}
\item[] $A \gets \cdots$
\item[] $N \gets \cdots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
		\item Quelle est la valeur de $N$ après exécution de l'algorithme ? Interpréter ce
résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur [0~;~25] par :

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- 0,2x}\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On a représenté également sa tangente $T$ au point A(0~;~7). $T$ passe par le point B(2~;~14,2).

\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(25,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-3,0)(25,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,0)(25,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3,0)(25,15)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2.2}{3.6 x mul 7 add}
\uput[dr](0,7){A} \uput[r](2,14.2){B} \uput[ur](7,10.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots(0,7)(2,14.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 6$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par un calcul. le coefficient directeur de la droite $T$.
		\item Exprimer, pour tout $x \in [0~;~25]$,\: $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
		\item Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système 
		
\[\left\{\begin{array}{r c r}
a - 0,2b&=&3,6 \\
b&=&7
\end{array}\right.\]
	
En déduire la valeur de $a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur [0~;~25] par 

\[f(x) = (5x + 7)\text{e}^{- 0,2x}.\]

Justifier.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 6$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~25].

Donner une valeur approchée au dixième de $\alpha$.
\item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\texttt{Dériver} $((- 25x - 160)\text{e}^{- 0,2x})$\\ \hline
\multicolumn{1}{|r|}{$(5x + 7)\text{e}^{- 0,2x}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Exploiter ce résultat pour donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de

$\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un organisme de vacances souhaite ouvrir un nouveau centre avec une piscine bordée de
sable. Il dispose d'un espace rectangulaire de $25$ mètres de longueur sur $14$ mètres de
largeur et souhaite que la piscine et la \og plage \fg se partagent l'espace comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

La bordure est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'aire en m$^2$ de la zone hachurée représentant la piscine ?
\item L'organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de 25
mètres de longueur et de même superficie.

Quelle en sera la largeur arrondie au dixième de mètre?
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(25,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(25,14)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue,hatchsep=0.25cm]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psline(25,0)(0,0)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=orange]{\psline(0,14)(25,14)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{25}{0}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.75pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.75pt](25,1)(25,0)(0,0)(0,7)
\rput(17,10){\huge PLAGE}\rput(7,4){\huge \blue PISCINE}\uput[ur](7,10.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}