%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%plus petit ou égal
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Asie - 23 juin 2016},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{23 juin 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES -- Asie  23 juin 2016~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative $\mathcal C_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 1\,;\,5]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal C_f$ passe par le point $A\,(0\,;\,1)$ et par le point $B$ d'abscisse 1.

La tangente $T_0$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C\,(2\,;\,3)$ et la tangente $T_1$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=1.8cm,comma=true}
\def\xmin {-1.2}     \def\xmax {5.2}
\def\ymin {-0.3}     \def\ymax {3.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}(-2,-1)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0,griddots=20, gridcolor=gray,] 
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{x x 2 add mul 1 add 2.7183 -1 x mul exp mul}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1}{5}{\f}%   f
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{x 1 add}%   Tangente en A
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{1.47}%   Tangente en B

\psdot(0,1)         \uput[dr](0,1){$A$}
\psdot(1,1.47)      \uput[ur](1,1.47){$B$}
\psdot(2,3)         \uput[ul](2,3){$C$}

\uput[dr](1.5,2.5){$T_0$}
\uput[u](4.5,1.5){$T_1$}
\uput[ur](4.5,0.336){\blue $\mathcal C_f$}

\end{pspicture*}
\end{center}
 
\subsubsection*{\textsc{Partie A}}

\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des question, une seule des réponses proposées est correcte.\\
Une bonne réponse rapporte 0,75 point.\\
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\
Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}\index{Q. C. M.}

\begin{enumerate}
\item La valeur exacte de $f'(1)$ est:

\textbf{a.}~~0

\textbf{b.}~~1

\textbf{c.}~~1,6

\textbf{d.}~~autre réponse

\item La valeur exacte de $f'(0)$ est:

\textbf{a.}~~0

\textbf{b.}~~1

\textbf{c.}~~1,6

\textbf{d.}~~autre réponse

\item La valeur exacte de $f(1)$ est:

\textbf{a.}~~0

\textbf{b.}~~1

\textbf{c.}~~1,6

\textbf{d.}~~autre réponse

\item Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \:\text{d} x$ par des entiers naturels successifs est:\index{aire}

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.}~~$3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \:\text{d} x \leqslant 4$
& \textbf{b.}~~$2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \:\text{d} x \leqslant 3$\\[8pt]
\textbf{c.}~~$1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \:\text{d} x \leqslant 2$
&\textbf{d.}~~autre réponse
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\subsubsection*{\textsc{Partie B}}

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $F$ définie sur $[- 1\,;\,5]$ par $F(x)= - (x^2+4x+5)\e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.\index{primitive}

	\begin{enumerate}
		\item En déduire l'expression de $f(x)$ sur $[ -1\,;\,5]$.
		\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan limité par la courbe $\mathcal C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que sur l'intervalle $[1\,;\,5]$, l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\textbf{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.}

\medskip

Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l'industrie informatique.

\subsubsection*{\textsc{Partie A}}

On prélève au hasard 100 clés dans la production de la journée pour vérification. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés.

On admet que la probabilité qu'une clé USB prélevée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est égale à $0,015$.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de clés défectueuses de ce prélèvement.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.\index{loi binomiale}
\item Calculer les probabilités $p(X=0)$ et $p(X=1)$.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses.
\end{enumerate}

\subsubsection*{\textsc{Partie B}}

Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appartient à l'intervalle $[98\,;\,103]$. Une clé est dite conforme pour l'écriture lorsque sa vitesse d'écriture exprimée en Mo/s appartient à l'intervalle $[28\,;\,33]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $R$ la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture. On suppose que la variable aléatoire $R$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$.\index{loi normale}

Calcule la probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture.

\item On note $W$ la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse d"écriture On suppose que la variable aléatoire $W$ suit une loi normale. 

Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléatoire $W$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {25.5}   \def\xmax {34.5}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)

\def\m{30}% moyenne 
\def\s{1}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{28} \def\sup{32}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psline(\xmin,0)(\xmax,0)
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\multido{\i=26+1}{9}
{
\uput[d](\i,0){\small \i}
\psline(\i,0)(\i,-0.01)
}
\end{pspicture*}
\end{center}

L'unité d'aire est choisie de façon à ce que l'aire sous la courbe soit égale à un et l'aire grisée est environ égale à $0,95$ unité d'aire. La droite d'équation $x=30$ est un axe de symétrie de la courbe.

Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $W$. Justifier. 

\end{enumerate}


\subsubsection*{\textsc{Partie C}}

Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que 94 clés sont sans défaut.

\smallskip

Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.\index{intervalle de confiance}\hyperlink{Index}{*}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{\'Elèves de ES n'ayant pas suivi la spécialité mathématiques, et élèves de L}

\medskip

Le 1\ier{} septembre 2015, un ensemble scolaire compte \np{3000} élèves.


\begin{list}{\textbullet}{Une étude statistique interne a montré que chaque 1\ier{} septembre:}
\item 10\,\% de l'effectif quitte l'établissement;
\item 250 nouveaux élèves s'inscrivent.
\end{list}

On cherche à modéliser cette situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre d'élèves le 1\ier{} septembre de l'année $2015+n$.\index{suite}

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite $(u_n)$ telle que 

$u_0=\np{3000}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,9\,u_n+250$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-\np{2500}$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9. Préciser $v_0$.
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.

En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=500\times 0,9^n + \np{2500}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n = -50\times 0,9^n$.

En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

\item La capacité optimale d'accueil est de \np{2800} élèves. Ainsi, au 1\ier{} septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.

Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.\index{algorithme}\hyperlink{Index}{*}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{\'Elèves de ES ayant suivi la spécialité mathématiques}

\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie A}}

On considère le graphe $\mathcal G$ ci-dessous\index{graphe}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
%%% ligne du milieu
\cnodeput(0,0){A}{$A$} \cnodeput(2.5,0){C}{$C$} \cnodeput(5,0){F}{$F$}
\cnodeput(7.5,0){I}{$I$} \cnodeput(10,0){K}{$K$}
%%% ligne du bas
\cnodeput(2.5,-2.5){B}{$B$} \cnodeput(5,-2.5){E}{$E$} \cnodeput(7.5,-2.5){H}{$H$}
%%% ligne du haut
\cnodeput(2.5,2.5){D}{$D$} \cnodeput(5,2.5){G}{$G$} \cnodeput(7.5,2.5){J}{$J$}
%%% arêtes
\ncline{A}{B} \ncline{A}{C} \ncline{A}{D}
\ncline{C}{E} \ncline{C}{F} \ncline{C}{G} 
\ncline{F}{H} \ncline{F}{I} \ncline{F}{J}
\ncline{B}{E} \ncline{B}{F}
\ncline{D}{F} \ncline{D}{G}
\ncline{E}{I} \ncline{E}{H}
\ncline{H}{K} \ncline{I}{K} \ncline{J}{K}
\ncline{G}{J} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une chaîne eulérienne.\index{chaîne eulérienne} 

Si oui, donner une telle chaîne.

\item On considère la matrice $M$ ci-après ($a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels).\index{matrice}


\[M=
\left(
\begin{array}{*{11}{c}}
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & a & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & b & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & c & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & d & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 
\end{array}
\right)
\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que la matrice $M$ représente la matrice d'adjacence associée au graphe $\mathcal G$, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.

\item On donne

\[
M^3=
\left(
\begin{array}{ccccccccccc}
0 & 8 & 10 & 8 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 5 & 0 \\ 
8 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 6 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 
10 & 0 & 0 & 0 & 11 & 16 & 9 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 
8 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & 8 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 
0 & 10 & 11 & 7 & 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 7 & 0 \\ 
0 & 13 & 16 & 12 & 0 & 0 & 0 & 13 & 13 & 12 & 0 \\ 
0 & 6 & 9 & 8 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 7 & 0 \\ 
5 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 5 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 
5 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 5 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 
5 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & 7 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 
0 & 5 & 6 & 4 & 0 & 0 & 0 & 8 & 8 & 7 & 0
\end{array}
\right) 
\]

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant $A$ à $J$. Préciser ces chemins.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection*{\textsc{Partie B}}

On oriente et on pondère le graphe $\mathcal G$ ci-dessus pour qu'il représente un réseau d'irrigation. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
%%% ligne du milieu
\cnodeput(0,0){A}{$A$} \cnodeput(2.5,0){C}{$C$} \cnodeput(5,0){F}{$F$}
\cnodeput(7.5,0){I}{$I$} \cnodeput(10,0){K}{$K$}
%%% ligne du bas
\cnodeput(2.5,-2.5){B}{$B$} \cnodeput(5,-2.5){E}{$E$} \cnodeput(7.5,-2.5){H}{$H$}
%%% ligne du haut
\cnodeput(2.5,2.5){D}{$D$} \cnodeput(5,2.5){G}{$G$} \cnodeput(7.5,2.5){J}{$J$}
%%% arêtes
\ncline{->}{A}{B} \ncput*{2}
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{5} 
\ncline{->}{A}{D} \ncput*{3}
\ncline{->}{C}{E} \ncput*[npos=0.75]{3}  
\ncline{->}{C}{F} \ncput*{2} 
\ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.75]{5}    
\ncline{->}{F}{H} \ncput*[npos=0.75]{3}   
\ncline{->}{F}{I} \ncput*{4} 
\ncline{->}{F}{J} \ncput*{5}
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{6} 
\ncline{->}{B}{F} \ncput*[npos=0.75]{2}  
\ncline{->}{D}{F} \ncput*[npos=0.75]{4}   
\ncline{->}{D}{G} \ncput*{5}
\ncline{->}{E}{I} \ncput*[npos=0.75]{2}  
\ncline{->}{E}{H} \ncput*{1}
\ncline{->}{H}{K} \ncput*{2} 
\ncline{->}{I}{K} \ncput*{3} 
\ncline{->}{J}{K} \ncput*{3}
\ncline{->}{G}{J} \ncput*{5} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le sommet $A$ correspond au départ d'eau, le sommet $K$ au bassin d'infiltration et les autres sommets représentent les stations de régulation.

\item Les arêtes représentent les canaux d'irrigation et les flèches, le sens du ruissellement. 

\item La pondération donne, en km, les distances entre les différentes stations du réseau.
\end{list}

Déterminer un chemin de longueur minimale entre le départ d'eau en $A$ et le bassin d'infiltration en $K$ et donner sa longueur.\hyperlink{Index}{*} 

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{D'après une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que:}
\item 60\,\% de la population sont des femmes;
\item 56\,\% des femmes travaillent à temps partiel;
\item 36\,\% de la population travaillent à temps partiel.
\end{list}

On interroge une personne dans la population. Elle affirme qu'elle travaille à temps partiel.

Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme ?
\end{document}