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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 19 novembre 2015}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 
19 novembre 2015~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\\index{Q. C. M.}
Une réponse exacte rapporte un point Une réponse fausse, une réponse multiple ou
l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune
justification n'est demandée.}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 1~;~3]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$.

La tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A(1~;~0)$ est tracée, elle passe par le point de coordonnées $(0~;~3)$.\index{lecture graphique}

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\tiny](0,0)(-1.5,-2.99)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 1 sub x dup mul 2 x mul sub 2 sub mul}
\uput[ur](1,0){A} \uput[r](2.35,1.5){\blue $(\mathcal{C})$}
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt]{-.3}{2}{3 3 x mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calcul de $f'(1)$

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $f'(1) = 3$&\textbf{b.~~} $f'(1) = - 3$\\
\textbf{c.~~} $f'(1) = - \frac{1}{3}$&\textbf{d.~~} $f'(1) = 0$
\end{tabularx}
\medskip

\item La fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} concave sur $[-1~;~ 1]$&\textbf{b.~~}convexe sur $[-1~;~ 1]$\\ 
\textbf{c.~~} concave sur $[0~;~2]$&\textbf{d.~~} convexe sur $[0~;~2]$
\end{tabularx}
\medskip \index{convexité}

\item On pose $I = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$. Un encadrement de $I$ est :\index{aire et intégrale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $0 \leqslant I \leqslant 1$&\textbf{b.~~} $1 \leqslant I \leqslant 2$\\
\textbf{c.~~} $2 \leqslant I \leqslant 3$ &\textbf{d.~~}  $3 \leqslant I \leqslant 4$
\end{tabularx}
\medskip

\item La fonction $F$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} croissante sur $[0~;~1]$&\textbf{b.~~} décroissante sur $[0~;~1]$\\
\textbf{c.~~} croissante sur $[-1~;~0]$&\textbf{d.~~} croissante sur $[- 1~;~ 1]$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une ville, un service périscolaire comptabilise $150$~élèves inscrits en septembre
2014. On admet que, chaque année, 80\,\% des élèves inscrits renouvelleront leur
inscription l'année suivante et qu'il y aura $40$ nouveaux élèves inscrits. La capacité
d'accueil du périscolaire est de $190$ élèves maximum.

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre de l'année $2014 + n$, avec $n$ un nombre entier naturel.\index{suite}

On a donc $u_0 = 150$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au périscolaire en septembre
2015.
\item Pour tout entier naturel $n$, justifier que $u_{n+1} = 0,8u_n + 40$.
\item On donne l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
Affecter à $n$ la valeur $0$\\
Affecter à $U$ la valeur $150$\\
~\\
\textbf{Traitement}\\
Tant que $U \leqslant 190$\\
\hspace{0.5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\hspace{0.5cm}$U$ prend la valeur $0,8U + 40$\\
Fin tant que\\
~\\
\textbf{Sortie}
Afficher le nombre $2014 + n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que
nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les
résultats au centième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $n$				&0 		&1 	&2	&\\ \hline
Valeur de $U$ 				&150	&	&	&\\ \hline
Condition $U \leqslant 190$	& vraie	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire l'affichage obtenu en sortie de l'algorithme et interpréter ce
résultat.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 200$.\index{suite}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\index{suite géométrique}
		\item Pour tout entier naturel $n$, démontrer que $u_n = 200 - 50 \times 0,8^n$.
		\item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que :
		
\[200 - 50 \times 0,8^n > 190.\]
		
		\item À partir de quelle année la directrice du périscolaire sera-t-elle obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'été un centre de loisirs propose aux adolescents la pratique du canoë-kayak ou de la planche à rame.

Tous les matins, chaque adolescent doit choisir un et un seul sport parmi les deux proposés.

On admet que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si un adolescent choisit le canoë-kayak un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse la planche à rame le jour suivant est égale à $0,4$ ;
\item[$\bullet~~$]si un adolescent choisit la planche à rame un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse le canoë-kayak le jour suivant est égale à $0,2$ ;
\item[$\bullet~~$]le premier jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le  canoë-kayak est égale à $0,85$.
\end{itemize}

\medskip

On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$K$ l'état : \og l'adolescent choisit le canoë-kayak \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{K}$ l'état : \og l'adolescent choisit la planche à rame \fg.
\end{itemize}

On note, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$p_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse le canoë-kayak lors du $n$-ième jour ;
\item[$\bullet~~$]$q_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse la planche à rame le $n$-ième jour ;
\item[$\bullet~~$]$P_n = \begin{pmatrix}p_n&q_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors du $n$-ième jour.
\end{itemize}
\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $K$ et $\overline{K}$.\index{graphe}
\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe, les sommets $K$ et $\overline{K}$ étant classés dans cet ordre.\index{matrice}
\item Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}0,85& 0,15\end{pmatrix}$.
\item Avec la calculatrice, déterminer l'état probabiliste lors du 3\up{e} jour.
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, montrer que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$.
\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
Choisir un nombre entier naturel $N \geqslant 2$\\
$p$ prend la valeur $0,85$\\
~\\
\textbf{Traitement}\\
Pour $i$ allant de $2$ à $N$\\
\hspace{0.5cm}$p$ prend la valeur $0,4p +0,2$\\
Fin pour\\
~\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $p$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur $N = 5$ saisie, recopier et compléter le tableau suivant par
autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de
l'algorithme. Arrondir les résultats au millième.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $i$	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&2	&	&\\ \hline
Valeur de $p$	&0,85	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $N$ saisie est $5$.
		\item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le
nombre obtenu en sortie de cet algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

D'après la partie A, on sait que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$ pour tout entier naturel 
$n \geqslant 1$.

On admet que $p_n = \dfrac{31}{60} \times 0,4^{n - 1} + \dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
\item Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pierre a des pommiers dans son verger. Il décide de faire du jus de pomme avec ses fruits.

Dans sa récolte :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]il dispose de 80\,\% de pommes de variété A et de 20\,\% de pommes de variété~B.
\item[$\bullet~~$]15\,\% des pommes de variété A et 8\,\% des pommes de variété B sont avariées et devront être jetées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On prend une pomme au hasard dans la récolte et on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ l'évènement \og la pomme est de variété A\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$B$ l'évènement \og la pomme est de variété B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$J$ l'évènement \og la pomme est jetée\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{J}$ l'évènement contraire de l'évènement $J$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.\index{probabilités}

\smallskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\smallskip

Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que la pomme soit de variété A et soit jetée.
\item Montrer que la probabilité qu'une pomme soit jetée est égale à $0,136$.
\item Calculer la probabilité qu'une pomme soit de variété A sachant qu'elle a été jetée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une pomme pèse en moyenne 150~g.

On modélise le poids d'une pomme en grammes par une variable aléatoire $X$ qui suit une
loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart type $\sigma = 10$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la pomme ait un poids inférieur à $150$~g.
\item Déterminer $p(120 \leqslant X \leqslant 170)$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pierre a pris rendez-vous dans une fabrique de jus de pomme artisanale. Il arrive au
hasard entre 8 heures et 9~heures~30 minutes. 

Son heure d'arrivée est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [8~;~9,5].\index{loi uniforme}

Déterminer la probabilité que Pierre arrive entre 8~h~30 et 8~h~45.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~10] par

\[ f(x) = (2x - 5)\text{e}^{- x + 4} + 20.\]\index{fonction exponentielle}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~10], $f'(x) = (- 2x + 7)\text{e}^{- x + 4}$.\index{dérivée}
\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 

Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes
dans le tableau de variation.
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution 
$\alpha$ sur [0~;~10] et déterminer un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$.
\item On admet que la fonction $F$ définie sur [0~;~10] par
\[F(x) = (- 2x + 3)\text{e}^{- x + 4} + 20x\]

est une primitive de $f$ sur [0~;~10].

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. Arrondir le résultat au
millième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise fabrique entre 0 et \np{1000} objets par semaine.

Le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise cette entreprise lorsqu'elle fabrique et
vend $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur [0~;~10] par :

\[f(x) = (2x - 5)\text{e}^{- x + 4} + 20.\]

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en
arrondissant les résultats à l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum ?

Quel est ce bénéfice maximal en euros ?
\item À partir de combien d'objets fabriqués et vendus l'entreprise réalise-t-elle un
bénéfice positif ?
\item Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.
\end{enumerate}
\end{document}