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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : Arié Yallouz et François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small  27 novembre 2018}
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\label{Etranger}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES Nouvelle Calédonie  27 novembre 2018~\decofourright}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. \\
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip 

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~5]$ par $f(x) = x\ln (x) + 1$. Pour tout $x \in ]0~;~5]$, 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ 
		\item $f'(x) = \dfrac{1}{x}+1 $
		\item $f'(x) = \ln (x) + 2$ 
		\item $f'(x) = \ln (x) + 1$ 
	\end{enumerate}
\item On donne ci-dessous  la courbe $C$ représentant un fonction $g$ sur $[0~;~2]$.

\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.3)(2.1,3.3)
\multido{\n=0.0+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3.3)}
\multido{\n=0.0+1}{3}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,3.3)}
\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(2.1,\n)}
\multido{\n=0+1}{2}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(2.1,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.1,3.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{3 x 3 exp mul 9 x dup mul mul sub 4 div 3 add}
\uput[ur](0.7,2.2){\blue $C$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item $g$ est concave sur l'intervalle $[0~;~2]$. 
		\item $g''(x) \geqslant  0$ pour tout $x \in [0~;~2]$. 
		\item La courbe $C$ admet un point d'inflexion sur $[0~;~2]$. 
		\item $g'(1) > 0$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $I = \displaystyle\int_0^{\ln 2}  3\text{e}^x\:\text{d}x$. On a : 
	\begin{enumerate}
		\item $I = 3 $
		\item $I = 6$ 
		\item $I = - 3$ 
		\item $I = 3\ln (2)$ 
	\end{enumerate}
\item Pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n = 10$ et $p = 0,3$. 
	\begin{enumerate}
		\item $P(X = 3) = 120 \times  0,3^2 \times 0,78 $
		\item $P(X = 3) = 12 \times 0,3^3 \times 0,7^7$ 
		\item $P(X \geqslant 1) \approx 0,972$ 
		\item L'espérance de $X$ est $5,15$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textsc{\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L }

\medskip

Dans un quartier d'une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d'emploi chaque trimestre. 

Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, $123$ nouveaux demandeurs d'emploi s'inscrivent tandis que $37,5$\,\% des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. 

Au début du premier trimestre 2017 (1\up{er} janvier 2017), le nombre de demandeurs d'emploi était de $490$. 

\smallskip

On note $u_n$ le nombre de demandeurs d'emploi au début du $n$-ième trimestre après le 1\up{er} janvier 2017. 

Ainsi, $u_1 = 490$. 

\smallskip

Dans tout l'exercice, les valeurs seront arrondies à l'unité. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017. 
\item Justifier que l'on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier 

$n \in  \N^*$ : 

\[u_{n+1} = 0,625u_n + 123.\]
 
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n \in \N^*,\: v_n = u_n - 328$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial. 
		\item Exprimer, pour tout entier $n \in \N^*$,\: $v_n$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que, pour tout entier $n \in \N^*$, on a $u_n = 162 \times  0,625^{n-1} + 328$. 
	\end{enumerate}
\item Calculer le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième trimestre 2019. 
\item Le directeur de l'agence pourra-t-il atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d'emploi de $30$\,\% par rapport au premier trimestre 2017 ? 

Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité 

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Naïma fait partie d'une école de musique. En vue du spectacle de fin d'année, elle souhaite déposer à vélo des affiches publicitaires sur les panneaux de sa ville. Les pistes cyclables reliant ces panneaux sont représentées sur le graphe $\mathcal{G}$ ci-contre. 

Le sommet E désigne son école de musique, le sommet S la salle de spectacle et les sommets A, B, C, et D les panneaux d'affichage.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psdots(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(2,3.5)(3.5,2)(3.8,0.5)%EBSCDA
\psline(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(3.5,2)(2,3.5)(2.8,4.5)(3.5,2)(0.5,4)(3.8,0.5)(5.5,2.5)%EBSDCBDEAS
\uput[ul](0.5,4){E} \uput[u](2.8,4.5){B} \uput[r](5.5,2.5){S} 
\uput[l](2,3.5){C} \uput[d](3.5,2){D} \uput[d](3.8,0.5){A} 
\end{pspicture}} 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant la réponse, si le graphe $\mathcal{G}$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item complet ; 
		\item connexe. 
	\end{enumerate}
\item Naïma pourra-t-elle déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable ?

 Justifier la réponse. Si un tel trajet existe, en citer un. 
\item Donner la matrice d'adjacence $M$ liée à ce graphe dans laquelle les sommets seront classés dans l'ordre suivant : E, A, B, C, D, S. 
\item On donne la matrice incomplète $M^2$ :  $M^2 =
\begin{pmatrix}3& 0& 1 &\ldots& 1& 3\\
 0& 2& 2& 0& 2& 0\\
  1& 2& 4& 1& 3& 1\\ 
\ldots&0& 1& 2& 1& 2\\
 1& 2& 3& 1& 4& 1\\
  3& 0& 1& 2& 1& 3
  \end{pmatrix}$. 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coefficients manquants de la matrice $M^2$, en détaillant les calculs. 
		\item Combien existe-t-il de chemins permettant de se rendre de l'école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables ? 
	\end{enumerate} 
\item Lorsqu'elle a déposé ses affiches, Naïma a relevé le temps de trajet entre chaque panneau d'affichage. Le graphe ci-dessous indique ces durées, exprimées en minutes. 

\parbox{0.4\linewidth}{Indiquer, à l'aide d'un algorithme, le chemin permettant à Naïma de se rendre le plus rapidement possible de son école de musique à la salle de spectacle le soir de la représentation.
 
\medskip

Donner la durée de ce parcours.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(6,5)
%\psgrid
\rput(1.6,4.4){4} \rput(4.2,3.9){8} \rput(2.2,4.1){2} 
\rput(2,2.8){7} \rput(2.8,3){2} \rput(3.4,3.3){1} 
\rput(4.4,2.4){3} \rput(2,2.1){9} \rput(4.6,1.1){7} 
\psdots(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(2,3.5)(3.5,2)(3.8,0.5)%EBSCDA
\psline(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(3.5,2)(2,3.5)(2.8,4.5)(3.5,2)(0.5,4)(3.8,0.5)(5.5,2.5)%EBSDCBDEAS
\uput[ul](0.5,4){E} \uput[u](2.8,4.5){B} \uput[r](5.5,2.5){S} 
\uput[l](2,3.5){C} \uput[d](3.5,2){D} \uput[d](3.8,0.5){A} 
\end{pspicture}} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une entreprise, 60\,\% des salariés viennent au travail en transports en commun et parmi eux, seulement 7,5\,\% ont un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes. Parmi les employés qui n'utilisent pas les transports en commun, 28,5\,\% ont un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes. 

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. 

\medskip

On interroge au hasard un employé de l'entreprise et on considère les évènements suivants : 

\smallskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og l'employé utilise les transports en commun\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og le trajet de l'employé a une durée inférieure à 30 minutes \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Construire l'arbre pondéré représentant la situation et le compléter. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(C \cap R)$ et interpréter le résultat obtenu. 
		\item Montrer que $P(R) = 0,159$. 
	\end{enumerate}
\item On interroge un employé choisi au hasard dont la durée du trajet est inférieure à $30$~minutes. Calculer la probabilité qu'il utilise les transports en commun. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip  

Une étude a montré que la durée du trajet en minutes d'un employé peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart type $\sigma = 10$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X \leqslant 30)$. Indiquer si ce résultat est cohérent avec la partie A, en justifiant la réponse. 
\item Déterminer $P(20 \leqslant X \leqslant 60)$ et en déduire $P(X > 60)$. 
\item Dans cette question, on se propose de déterminer le plus petit entier $a$ tel que \mbox{$P(X \geqslant a) \approx 0,008$}. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que lorsque la valeur de $a$ augmente, la valeur de $P(X \geqslant a)$ diminue. 

On considère l'algorithme ci-dessous, où $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart type $\sigma = 10$. 

Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il permette de répondre à la question. 

\[\begin{array}{|l|}\hline
a \gets  60\\ 
Y \gets   0,023\\ 
\text{Tant que} \:Y > 0,008\\
 \hspace{0.5cm}a \gets  \ldots\\ 
 \hspace{0.5cm}Y \gets P(X \geqslant a)\\
\text{Fin Tant que}\\ \hline
\end{array}\] 

		\item On exécute cet algorithme. 

Recopier et compléter le tableau suivant, en utilisant autant de colonnes que nécessaire. 


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$& 60& 61& 62 &&&\\ \hline
$Y$& 0,023& 0,018 &0,014 &&&\\ \hline
\end{tabularx}

	\end{enumerate}
\item Donner la valeur de $a$ obtenue après exécution de l'algorithme. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

Commun à tous les candidats 

\medskip

L'entreprise ECOLOR est spécialisée dans la production et la vente de peinture éco-responsable. La production quotidienne varie entre $0$ et $800$ litres. Toute la production est vendue. Les montants de la recette et du coût sont exprimés en dizaine d'euros. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-80)(8.1,870)
\multido{\n=0.0+0.2}{41}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,850)}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,850)}
\multido{\n=0+20}{43}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+100}{9}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(8,850)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100](0,0)(0,0)(8,850)
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{8}{150 2.71828 1 0.5 x mul sub exp mul 75 x mul add}
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=2,linecolor=blue]{0}{8}{100 x mul}
\uput[d](6.2,-50){\footnotesize Quantité de peinture en centaine de litre}
\uput[r](0,860){\footnotesize Montant en dizaines d'euros}
\uput[u](6.5,670){\blue Recette}
\uput[d](6.5,450){\red Coût de production}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A : lecture graphique}

\medskip 

À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes. 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le coût de production de $200$ litres de peinture. 
\item Quelle est la production de peinture pour avoir une recette de \np{5000}~euros ? 
\item À partir de combien de litres de peinture vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? 
\item L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de plus de \np{3000}~euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres ? Justifier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude du bénéfice}

\medskip 

Le bénéfice en dizaine d'euros correspondant à la vente de $x$ centaines de litres de peinture est donné par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~8]$ par : 

\[f(x) = 25x - 150\text{e}^{-0,5x+1}.\]

\smallskip 

\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et de $f(8)$, puis en donner les valeurs arrondies au centième. 
\item Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~8]$ est :

\[ f'(x) = 25 + 75\text{e}^{-0,5x+1}.\]
 
\item Déterminer le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~8]$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~8]$ puis en donner la valeur arrondie au centième. 
		\item En déduire la quantité de peinture produite et vendue à partir de laquelle l'entreprise ECOLOR réalisera un bénéfice. Donner le résultat au litre près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}