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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 7 mars  2014}
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\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
7 mars  2014} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Une classe est composée de 17 filles dont 8 étudient le russe et 9 l'allemand et de 23 garçons dont 12 étudient le russe et 11 l'allemand.
 
Chaque élève étudie une et une seule de ces deux langues vivantes.
 
On choisit un élève au hasard dans la classe et on définit les évènements :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ] $F$ l'évènement : \og L'élève choisi est une fille \fg{}; 
\item[ ] $G$ l'évènement : \og L'élève choisi est un garçon \fg{}; 
\item[ ] $R$ l'évènement : \og L'élève choisi étudie le russe \fg{};
\item[ ] $A$ l'évènement : \og L'élève choisi étudie l'allemand \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
  
\textbf{Rappel des notations :}

Si $X$ et $Y$ sont deux évènements, $P(X)$ désigne la probabilité que l'évènement $X$ se réalise et $P_{Y}(X)$ désigne la probabilité que l'évènement $X$ se réalise sachant que l'évènement $Y$ est réalisé.
 
$\overline{X}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement $X$.

\medskip
 
Chaque résultat sera exprimé sous forme décimale exacte ou sous la forme d'une fraction irréductible.
 
On pourra utiliser un tableau ou un arbre.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(G),\: P(R \cap G)$ et $P(R)$. 
\item Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit une fille qui étudie l'allemand ? 
\item L'élève choisi étudie le russe. Calculer la probabilité que cet élève soit un garçon. 
\item On procède successivement deux fois au choix d'un élève de la classe. Le même élève peut être choisi deux fois. 

Calculer la probabilité de l'évènement: \og Les deux élèves choisis n'étudient pas la même langue \fg. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\bigskip
 
On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.

\medskip
 
Chaque année, 30\,\% des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
 
De plus, chaque année, 10\,\% des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent.
 
On appelle $n$ le nombre d'années d'existence du club.
 
On note $g_{n}$ la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année $n$ et $p_{n}$ la proportion de la population qui n'est pas inscrite.

\medskip
 
La première année de fonctionnement du club (année \og zéro \fg), 20\,\% des habitants de la ville se sont inscrits. On a donc $g_{0} = 0,2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. Que vaut la somme $g_{n} + p_{n}$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: g_{n+1} = 0,3g_{n} + 0,1p_{n}$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: g_{n+1} =  0,2g_{n} + 0,1$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = g_{n} - 0,125$.
 
Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Montrer que pour tout entier $n,\: g_{n} = 0,125 + 0,075 \times  0,2^n$.
 
Comment la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique évolue-t-elle au cours des années ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.

\medskip
 
Chaque année, 30\,\% des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
 
De plus, chaque année, 10\,\% des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente 
s'y inscrivent.

\medskip
 
On appelle $n$ le nombre d'années d'existence du club.
 
On note $g_{n}$ la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année $n$ et $p_{n}$ la proportion de la population qui n'y est pas inscrite.
 
La première année de fonctionnement du club (année \og zéro \fg), 20\,\% des habitants de la ville se sont inscrits.
 
On note $E_{n} = \left(g_{n}\quad  p_{n}\right)$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $n$. On a donc $E_{0} = (0,2\quad  0,8)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. 
\item On nomme $A$ la matrice de transition associée à cette situation, c'est-à-dire la matrice vérifiant : pour tout entier naturel $n,\: E_{n+1} = E_{n} \times  A$.
 
Donner la matrice $A$. 
\item Déterminer $E_{1}$ et $E_{2}$. Interpréter les résultats. 
\item Déterminer l'état probabiliste stable (on donnera les coefficients de la matrice ligne sous la forme de fractions irréductibles).
 
Comment peut-on interpréter ce résultat ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et \textbf{justifier la réponse}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[G(x) = x \ln x - x + 10\]

 est une primitive de la fonction $g$ définie sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ par 

$g(x) = \ln x$. 
\item On a l'égalité : 	$\displaystyle\int_{0}^1	\left(x^2 + 1\right)\:\text{d}x = \dfrac{1}{3}$. 
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~1]$.
 
On a alors : $E(X) = 1$. 
\item Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est $p = 0,51$.
 
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de garçons dans un échantillon de taille $100$ est (en arrondissant les bornes à $0,001$ près) : $[0,412~;~0,608]$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [2~;~5] par 

\[f(x) = (3 - x) \text{e}^x + 1,\]

soit $f'$ sa fonction dérivée et soit $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[2~;~5]$, 

$f'(x) = (2 - x) \text{e}^x$ et $f''(x) = (1 - x) \text{e}^x$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~5]$. 
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2~;~5]$.
 
Montrer que : $3 < \alpha < 4$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $T$ la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $3$.
		 
Montrer que $T$ a pour équation $y = - \text{e}^3 x + 3 \text{e}^3 + 1$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $T$ et de l'axe des abscisses. 
		\item Étudier le signe de $f''(x)$ sur l'intervalle $[2~;~5]$ et en déduire la convexité ou la concavité de $f$ sur cet intervalle. 
		\item En déduire que : $\alpha < 3 + \dfrac{1}{\text{e}^3}$. 
 
On a donc : $3 < \alpha < 3 + \dfrac{1}{\text{e}^3} < 3,05$.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2,5cm}X} 
\textbf{Variables :}& $a, b, m$ et $r$ sont des nombres réels \\
\textbf{Initialisation :} &Affecter à $a$ la valeur 3\\
& Affecter à $b$ la valeur 3,05\\ 
\textbf{Entrée :} &Saisir $r$\\ 
\textbf{Traitement :}& TANT QUE $b - a > r$\\ 
&\hspace{0,5cm} Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$\\ 
&\hspace{0,5cm} SI $f(m) > 0$\\
&\hspace{1cm} ALORS Affecter à $a$ la valeur $m$\\
&\hspace{1cm} SINON Affecter à $b$ la valeur $m$\\
&\hspace{0,5cm} FIN SI \\
&FIN TANT QUE\\ 
\textbf{Sortie :}& Afficher $a$.\\
&Afficher $b$\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner l'algorithme précédent avec $r = 0,01$ en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de $f(m)$. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.1cm}|*{7}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline
&\footnotesize$b - a$& \mbox{\footnotesize $b - a > r$ }&\footnotesize$m$ &\footnotesize$f(m)$ &\mbox{\footnotesize$f(m) > 0$} &\footnotesize$a$ &\footnotesize$b$ \\ \hline
Initiali\-sation	&		&	&		&		&	& 3 	&3,05\\ \hline 
étape 1				& 0,05 	&oui&3,025 	&0,485 	&oui&3,025 	&3,05 \\ \hline
étape 2				&		&	&		&		&	&		&\\ \hline 
étape 3				&		&	&		&		&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item Interpréter les résultats trouvés pour $a$ et $b$ à la fin de l'étape 3.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}