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\usepackage{pst-all}
%\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}}
%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz
%Corrigé : François Hache
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\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

%\setlength{\voffset}{-1,5cm}

%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche
\newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
%\newcommand{\o}{\left(}%        parenthèse gauche
%\newcommand{\f}{\right)}%       parenthèse droite  
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite
\newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale
%\newcommand{\t}[1]{\text{#1}}
\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\DecimalMathComma% pas d'espace après la virgule en mode mathématique
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 7 mars  2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-10pt}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[10pt]
7 mars  2014 -- Corrigé} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsubsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip
%
%Une classe est composée de 17 filles dont 8 étudient le russe et 9 l'allemand et de 23 garçons dont 12 étudient le russe et 11 l'allemand.
% 
%Chaque élève étudie une et une seule de ces deux langues vivantes.
% 
%On choisit un élève au hasard dans la classe et on définit les évènements :
%
%\setlength\parindent{8mm} 
%\begin{description}
%\item[ ] $F$ l'évènement : \og L'élève choisi est une fille \fg{}; 
%\item[ ] $G$ l'évènement : \og L'élève choisi est un garçon \fg{}; 
%\item[ ] $R$ l'évènement : \og L'élève choisi étudie le russe \fg{};
%\item[ ] $A$ l'évènement : \og L'élève choisi étudie l'allemand \fg.
%\end{description}
%%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\medskip
%  
%\textbf{Rappel des notations :}
%
%Si $X$ et $Y$ sont deux évènements, $P(X)$ désigne la probabilité que l'évènement $X$ se réalise et $P_{Y}(X)$ désigne la probabilité que l'évènement $X$ se réalise sachant que l'évènement $Y$ est réalisé.
% 
%$\overline{X}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement $X$.
%
%\medskip
% 
%Chaque résultat sera exprimé sous forme décimale exacte ou sous la forme d'une fraction irréductible.
% 
%On pourra utiliser un tableau ou un arbre.
%
%\medskip

On regroupe les données du texte dans un tableau:

{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{center}
\def\esp{\hspace*{1cm}}
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} & \esp F \esp & \esp G \esp & \esp \text{Total} \esp \\ 
\hline 
R & 8 & 12 & 20 \\ 
\hline 
A & 9 & 11 & 20 \\ 
\hline 
\esp \text{Total} \esp & 17 & 23 & 40 \\ 
\hline 
\end{array}$ 
\end{center}
}

Comme on choisit un élève au hasard, on est dans une situation d'équiprobabilité.
 
\begin{enumerate}

\item 
Il y a 23 garçons pour 40 élèves donc: $P\left( G\right) = \dfrac{23}{40}=0,575$.

Il y a 12 garçons qui font du russe donc: $P\left( R \cap G\right)=\dfrac{12}{40} = \dfrac{3}{10}=0,3$.

Il y a 20 élèves qui font du russe donc: $P\left( R\right) =\dfrac{20}{40}=\dfrac{1}{2}=0,5$.

\item% Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit une fille qui étudie l'allemand ? 
\og{}L'élève choisi est une fille qui étudie l'allemand\fg{} est l'événement $F \cap A$ et il y a 9 filles qui font de l'allemand;
$P\left( F \cap A \right)= \dfrac{9}{40}= 0,225$.


\item% L'élève choisi étudie le russe. Calculer la probabilité que cet élève soit un garçon. 
On cherche $P_R\left( G\right)$; 
$P_R\left( G\right) = \dfrac{P\left( R \cap G\right)}{P\left( R\right)} = \dfrac{0,3}{0,5} = \dfrac{3}{5} = 0,6$.


\item% On procède successivement deux fois au choix d'un élève de la classe. Le même élève peut être choisi deux fois. 

%Calculer la probabilité de l'évènement: \og Les deux élèves choisis n'étudient pas la même langue \fg. 

\ \\[-21pt]

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
On procède successivement deux fois au choix d'un élève, le même élève pouvant être choisi deux fois. On peut représenter les langues étudiées par les couples $\left( R\:; R\right)$, $\left( R\:; A\right)$, $\left( A\:; R\right)$ et $\left( A\:; A\right)$.

L'événement \og{}les deux élèves choisis n'étudient pas la même langue\fg{} correspond à ${\red \left( R\:; A\right)} \cup {\blue \left( A\:; R\right)}$.

$P\left(\left( R\:; A\right)\right) = P\left( R\right) \times P\left( A \right) = 0,5\times 0,5 = 0,25$;

$P\left(\left( A\:; R\right)\right) = P\left( A\right) \times P\left( R \right) = 0,5\times 0,5 = 0,25$;

les deux événements $\left( R\:; A\right)$ et $\left( A\:; R\right)$ sont incompatibles donc la probabilité de leur réunion est égale à la somme de leurs probabilités.

La probabilité cherchée est $0,25+0,25=0,5$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{flushright}
{\small
\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]}
\def\ABleu{\ncline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]}
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$R$}\naput{0,5}}
	                        {
	                        \TR{$R$}\naput{0,5}
			                \TR[edge=\ARouge]{$A$}\nbput{0,5}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ABleu]{$A$}\nbput{0,5}}
	                        {
	                        \TR[edge=\ABleu]{$R$}\naput{0,5}
			                \TR{$A$}\nbput{0,5}
	                        }
      }
}% fin du \small
\end{flushright}
\end{minipage}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\subsubsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
%On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.
%
%\medskip
% 
%Chaque année, 30\,\% des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
% 
%De plus, chaque année, 10\,\% des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent.
% 
%On appelle $n$ le nombre d'années d'existence du club.
% 
%On note $g_{n}$ la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année $n$ et $p_{n}$ la proportion de la population qui n'est pas inscrite.
%
%\medskip
% 
%La première année de fonctionnement du club (année \og zéro \fg), 20\,\% des habitants de la ville se sont inscrits. On a donc $g_{0} = 0,2$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Soit $n$ un entier naturel. Que vaut la somme $g_{n} + p_{n}$ ? 
Le nombre $g_n$ représente le pourcentage de personnes inscrites au club l'année $n$, et $p_n$ le pourcentage de personnes non inscrites à ce club.
Donc $g_n+p_n=1$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: g_{n+1} = 0,3g_{n} + 0,1p_{n}$. 
Pour déterminer le pourcentage $g_{n+1}$ des inscrits au club l'année $n+1$, il faut ajouter 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $30\,\%$ des personnes inscrites au club l'année $n$, soit $0,3g_n$;
\item $10\,\%$ des personnes non inscrites l'année $n$, soit $0,1p_n$.
\end{list}

Donc $g_{n+1}=0,3g_n+0,1p_n$.

		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: g_{n+1} =  O,2g_{n} + 0,1$.
On a vu que $g_{n+1}=0,3g_n+0,1p_n$; or $g_n+p_n=1$ donc:

 $g_{n+1}=0,3g_n+0,1\left( 1-g_n \right) \iff g_{n+1}= 0,3g_n +0,1 - 0,1g_n \iff g_{n+1}=0,2g_n+0,1$
		
	\end{enumerate} 
	
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = g_{n} - 0,125$.
 
%Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 

$u_{n+1} = g_{n+1} - 0,125 = 0,2g_n +0,1 -0,125 = 0,2g_n -0,025$;
or $u_{n} = g_{n} - 0,125$ donc $g_n=u_n+0,125$.

Donc $u_{n+1}=0,2\left( u_n+0,125\right) -0,025 = 0,2 u_n +0,025-0,025=0,2 u_n$.

$u_0=g_0-0,125 = 0,2-0,125 = 0,075$

Donc la suite $\left (u_n\right )$ est géométrique de premier terme $u_0=0,075$ et de raison $q=0,2$.


\item% Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
La suite $\left (u_n\right )$ est géométrique de premier terme $u_0=0,075$ et de raison $q=0,2$ donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n$ donc $u_n= 0,075 \times 0,2^n$. 

On peut en déduire que tous les termes de la suite $\left( u_n \right )$ sont positifs. 

Pour tout $n$, $u_{n+1}=0,2u_n$; or $u_n >0$ et $0,2<1$ donc $0,2u_n < u_n$ ce qui veut dire que, pour tout $n$, $u_{n+1}<u_n$.

La suite $\left (u_n\right )$ est donc décroissante.

\item% Montrer que pour tout entier $n,\: g_{n} = 0,125 + 0,075 \times  0,2^n$.
On a vu que, pour tout $n$, $u_n=0,075 \times 0,2^n$; or $g_n=u_n+0,125$ donc $g_n=0,125+0,075\times 0,2^n$.
 
%Comment la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique évolue-t-elle au cours des années ? 

La suite $\left (u_n\right )$ est géométrique de raison $0,2$; or $0 < 0,2 < 1$ donc la suite $\left (u_n \right )$ est convergente et a pour limite 0.
Or $g_n=0,125 +u_n$ donc, d'après les théorèmes sur les limites de suites, la suite $\left (g_n\right )$ a pour limite $0,125$.

De plus, la suite $\left (u_n \right )$ est décroissante donc la suite $\left (g_n\right )$ l'est aussi.

On peut donc dire que la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique tend en décroissante vers $12,5\,\%$.  

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\subsubsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.
%
%\medskip
% 
%Chaque année, 30\,\% des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
% 
%De plus, chaque année, 10\,\% des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente 
%s'y inscrivent.
%
%\medskip
% 
%On appelle $n$ le nombre d'années d'existence du club.
% 
%On note $g_{n}$ la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année $n$ et $p_{n}$ la proportion de la population qui n'y est pas inscrite.
% 
%La première année de fonctionnement du club (année \og zéro \fg), 20\,\% des habitants de la ville se sont inscrits.
% 
%On note $E_{n} = \left(g_{n}\quad  p_{n}\right)$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $n$. On a donc $E_{0} = (0,2\quad  0,8)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste: 

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{G}{$G$} \hskip 4cm \Rnode{P}{$P$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{G}{P} \Aput{0,7}%                 arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{P}{G} \Aput{0,1}%                 arc pondéré arrivant à G
\nccircle[angleA=90]{->}{G}{4mm}   \Bput{0,3}%  boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{P}{.4cm} \Bput{0,9}%  boucle autour de P
\end{pspicture}


\item% On nomme $A$ la matrice de transition associée à cette situation, c'est-à-dire la matrice vérifiant : pour tout entier naturel $n,\: E_{n+1} = E_{n} \times  A$.

%Donner la matrice $A$. 

D'après le texte, on a: 
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\:=\:} l}
g_{n+1} & 0,3g_{n} + 0,1p_{n}\\
p_{n+1} & 0,7 g_n + 0,9 p_n
\end{array}
\right. $;
donc 
$\begin{pmatrix} g_n & p_n \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} g_{n+1} & p_{n+1} \end{pmatrix}$

La matrice de transition est donc 
$A= \begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$

\item% Déterminer $E_{1}$ et $E_{2}$. Interpréter les résultats. 

$E_1=E_0 \times A = 
\begin{pmatrix} 0,2 & 0,8 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0,14 & 0,86 \end{pmatrix}$

Donc au bout d'un an, il y a $14\,\%$ de la population qui est inscrite au club de gymnastique et $86\,\%$ qui ne l'est pas.

$E_2=E_1 \times A = 
\begin{pmatrix} 0,14 & 0,86 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0,128 & 0,872 \end{pmatrix}$

Donc au bout de deux ans, il y a $12,8\,\%$ de la population qui est inscrite au club de gymnastique et $87,2\,\%$ qui ne l'est pas.

\item% Déterminer l'état probabiliste stable (on donnera les coefficients de la matrice ligne sous la forme de fractions irréductibles).
 
%Comment peut-on interpréter ce résultat ? 

L'état probabiliste stable est l'état 
$\begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix}$
tel que
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\:=\:} l}
\begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} &
\begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix} \\
g+p & 1
\end{array}
\right. $

$\begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\:=\:} l}
0,3g+0,1p & g\\
0,7g + 0,9p & p
\end{array}
\right. 
\iff
0,7g-0,1p=0
\iff
7g=p
$

$\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l @{\:=\:} l}
7g & p\\
g+p & 1
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l @{\:=\:} l}
g & 1/8\\
p & 7/8
\end{array}
\right.$;
l'état stable est 
$\begin{pmatrix} 0,125 & 0,875 \end{pmatrix}$.

Si le pourcentage d'inscrits au club de gymnastique est $12,5\,\%$, ce pourcentage restera stable pour les années suivantes.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\subsubsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et \textbf{justifier la réponse}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
$G(x) = x \ln x - x + 10$

$G'(x) = 1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 =
\ln x +1-1 =
\ln x$

Donc $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ par $g\left (x\right ) = \ln x$.
 
\textbf{Affirmation vraie} 
 
\item% On a l'égalité : 	$\displaystyle\int_{0}^1	\left(x^2 + 1\right)\:\text{d}x = \dfrac{1}{3}$. 

La fonction $f: x \longmapsto x^2+1$ a pour primitive $F: x \longmapsto \dfrac{x^3}{3}+x$.

Donc $\displaystyle\int_{0}^1	\left(x^2 + 1\right)\:\text{d}x = F(1) - F(0) = \left ( \dfrac{1}{3} + 1 \right ) - 0 = \dfrac{4}{3} \neq \dfrac{1}{3}$

\textbf{Affirmation fausse}

\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0~;~1].

On sait d'après le cours que l'espérance mathématique $E(X)$ d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi uniforme sur l'intervalle $[a\:; b]$ est $\dfrac{b+a}{2}$; sur l'intervalle $[0\:; 1]$ on a: $E(X) = \dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2} \neq 1$.
 
\textbf{Affirmation fausse} 

\item Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est $p = 0,51$.
 
Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% est:

\hfill $\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:; p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\hfill\, 

Pour $n=100$ et $p=0,51$ l'intervalle est:
$\left[ 0,51 - 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,51\left(1-0,51\right)}}{\ds \sqrt{100}}\:; 0,51 + 1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,51\left(1-0,51\right)}}{\ds\sqrt{100}} \right]$
ce qui donne bien, en arrondissant à 0,001 près, l'intervalle
$[0,412\:; 0,608]$.

\textbf{Affirmation vraie}
 
 
%L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de garçons dans un échantillon de taille $100$ est (en arrondissant les bornes à $0,001$ près) : [0,412~;~0,608]. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\subsubsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [2~;~5] par 
$f(x) = (3 - x) \e^x + 1$.

%soit $f'$ sa fonction dérivée et soit $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [2~;~5], $f'(x) = (2 - x) \text{e}^x$ et $f''(x) = (1 - x) \text{e}^x$. 

$f'(x) = (-1) \e^x + (3-x) \e^x = (2-x) \e^x$

$f''(x) = (-1) \e^x + (2-x) \e^x = (1-x) \e^x$

\item% Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~5]. 
On étudie le signe de $f'(x)$ sur $[2\:; 5]$;
pour tout $x$, $\e^x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2-x$.

Sur $]2\:; 5]$, $2-x <0$ donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[2\:; 5]$.

\item% Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~5].
 
La fonction $f$ est strictement décroissante sur  $[2\:; 5]$.

De plus: $f(2) = (3-2) \e^2 +1 = \e^2+1 \approx 8,4 >0$ et $f(5) =  (3-5) \e^5 +1 = -2\e^5+1 \approx -296 < 0$.

Or $0 \in \left [ f(5)\:; f(2) \right ]$ donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[2\:; 5]$.    
 
Comme $f(3) = (3-3) \e^3 +1 = 1 >0$ et $f(4) = (3-4) \e^4 +1 = -\e^4+1 \approx -53,6 < 0$, on peut dire que: $3 < \alpha < 4$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $T$ la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $3$.

La droite $T$ a pour équation $y=f'(3)(x-3)+f(3)$; \\
or $f'(x)=(2-x)\e^x$ donc $f'(3)=(2-3)\e^3 = -\e^3$ et $f(3)=1$.

Donc l'équation de $T$ est: $y=-\e^3 (x-3)+1$ soit $y=-\e^3x+3\e^3+1$.
		 
%Montrer que $T$ a pour équation $y = - \text{e}^3 x + 3 \text{e}^3 + 1$. 

		\item Le point d'intersection de la droite $T$ et de l'axe des abscisses a pour ordonnée 0 et pour abscisse la solution de l'équation $-\e^3x+3\e^3+1 = 0$.
		
$-\e^3x+3\e^3+1 = 0 \iff 3\e^3+1=\e^3x \iff \dfrac{3\e^3+1}{\e^3}=x  \iff x=3+\e^{-3}$

Le point d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées $\left (3+\e^{-3} \:; 0 \right )$. 

		\item% Étudier le signe de $f''(x)$ sur l'intervalle [2~;~5] et en déduire la convexité ou la concavité de $f$ sur cet intervalle. 
$f''(x)=(1-x)\e^x$ est du signe de $1-x$ car $\e^x>0$ pour tout $x$.

Sur $[2\:; 5]$, $1-x<0$ donc $f''(x)<0$ donc $f$ est concave.

		\item% En déduire que : $\alpha < 3 + \dfrac{1}{\text{e}^3}$. 
Sur $[2\:; 5]$, la fonction $f$ est concave;
donc sur $[2\:; 5]$, la courbe représentant $f$ est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes. 

Le point d'intersection de la courbe représentant $f$ avec l'axe des abscisses est donc situé à gauche du point d'intersection de la tangente $T$ avec cet axe. 

Donc l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentant $f$ avec l'axe des abscisses (la solution de l'équation $f(x)=0$) est inférieure à l'abscisse du point d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses: $\alpha < 3+\e^{-3}$.
 
On a donc : $3 < \alpha < 3 + \dfrac{1}{\e^3} < 3,05$.

	\end{enumerate} 

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2,5cm}X} 
\textbf{Variables :}& $a, b, m$ et $r$ sont des nombres réels \\
\textbf{Initialisation :} &Affecter à $a$ la valeur 3\\
& Affecter à $b$ la valeur 3,05\\ 
\textbf{Entrée :} &Saisir $r$\\ 
\textbf{Traitement :}& TANT QUE $b - a > r$\\ 
&\hspace{0,5cm} Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$\\ 
&\hspace{0,5cm} SI $f(m) > 0$\\
&\hspace{1cm} ALORS Affecter à $a$ la valeur $m$\\
&\hspace{1cm} SINON Affecter à $b$ la valeur $m$\\
&\hspace{0,5cm} FIN SI \\
&FIN TANT QUE\\ 
\textbf{Sortie :}& Afficher $a$\\
&Afficher $b$\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item On fait fonctionner l'algorithme précédent avec $r = 0,01$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\small $b - a$& \small $b - a > r$ &\small$m$ &\small$f(m)$ &\small$f(m) > 0$ &\small $a$ &\small $b$ \\ \hline
Initiali\-sation&&&&&& 3 &3,05\\ \hline 
étape 1& 0,05 &oui &3,025 &0,485 &oui &3,025 &3,05 \\ \hline
étape 2& 0,025 & oui & \np{3,0375}& 0,218& oui & \np{3,0375}& 3,05\\ \hline 
étape 3& \np{0,0125}& oui & \np{3,04375}& 0,082& oui &\np{3,04375}& 3,05\\ \hline
étape 4 & \np{0,00625} & non &&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item% Interpréter les résultats trouvés pour $a$ et $b$ à la fin de l'étape 3.
Cet algorithme permet de donner un encadrement de la solution de l'équation $f(x)=0$ par dichotomie.	
		
On peut donc dire que le nombre $\alpha$ appartient à l'intervalle $[\np{3,04375} \:; \np{3,05}]$.		
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 







\end{document}