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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Merci à Nicolas Marco pour les sujets
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{10 juin  2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers  10 juin  2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions posées,  une seule des quatre réponses est exacte.\\
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence  de réponse ne rapporte
ni n'enlève  aucun point.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question  et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation  graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle [1~;~7].\index{représentation graphique}

La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A(3~;~3) et passe par le point de coordonnées (5~;~0).

Le point A est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.\index{point d'inflexion}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(9,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,0)(9,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(1,0)(7,0.1648)(3,3) \uput[ur](3,3){A}
\uput[u](8.85,0){$x$}\uput[r](0,6.85){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{7}{x 1  sub 1.5 mul  2.71828 x 3 sub  exp div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.5}{5.3}{7.5 1.5 x mul sub}
\uput[u](6.5,0.3){\blue $\mathcal{C}$}\uput[ur](1.4,5.4){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ :\index{dérivée}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $f'(3) = 3$&\textbf{b.~}  $f'(3) =\dfrac{3}{2}$&\textbf{c.~}$f'(3) = - \dfrac{2}{3}$&\textbf{d.~}$f'(3) = - \dfrac{3}{2}$ 
\end{tabularx}
\medskip

\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $f''(3) = 3$&\textbf{b.~}  $f''(3) = 0$&\textbf{c.~}  $f''(5) = 0$&\textbf{d.~}  $f''(2) = 0$
\end{tabularx}
\medskip

\item Toute primitive $F$ de la fonction $f$ est nécessairement :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} croissante sur [1~;~7]&\textbf{b.~} décroissante sur [2~;~7]&\textbf{c.~} négative sur [2~;~7]& \textbf{d.~}  positive sur [1~;~7]
\end{tabularx}
\medskip

\item On note $I = \displaystyle\int_2^3 f(x)\:\text{d}x$ :\index{aire et intégrale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $1 \leqslant I \leqslant 2$&\textbf{b.~}$2 \leqslant I \leqslant 3$&\textbf{c.~} $3 \leqslant I \leqslant 4$&\textbf{d.~}$4 \leqslant I \leqslant 5$
\end{tabularx}
\medskip\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Depuis le 1\up{er} janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicycl'Aime est chargée de l'exploitation et de l'entretien du parc de vélos.

La commune disposait de 200 vélos au 1\up{er} janvier 2015.

La société estime que, chaque année, 15\,\% des vélos sont retirés de la circulation à cause de
dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.\index{suite}

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de vélos de cette commune au 1\up{er} janvier de l'année $2015 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de vélos au 1\up{er} janvier 2016.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 200$ et, pour tout entier naturel $n$, par :

\[u_{n + 1} = 0,85u_n + 42.\]

\item On donne l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}	& $N$ entier\\
						&$U$ réel\\
\textbf{Initialisation :}& $N$ prend la valeur 0\\
						&$U$ prend la valeur 200\\
\textbf{Traitement :}	& Tant que $N < 4$\\
						&$U$ prend la valeur $0,85 \times U + 42$\\
						&$N$ prend la valeur $N + 1$\\
						&Fin tant que\\
\textbf{Sortie :}		& Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on à l'arrêt de l'algorithme ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$U$					&200	&	&	&	&\\ \hline
$N$					&0		&1	&2	&3	&4\\ \hline
Condition $N < 4$	& Vrai	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Interpréter la valeur du nombre $U$ obtenue à l'issue de l'exécution de cet algorithme.
	\end{enumerate}
\item  On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 280$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$ et de premier terme 
		
$v_0 = - 80$.\index{suite géométrique}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = - 80 \times 0,85^n + 280$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item  La société Bicycl'Aime facture chaque année à la commune 300~\euro{} par vélo en circulation au 1\up{er} janvier.
	
Déterminer le coût total pour la période du 1\up{er} janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des
termes utilisés de la suite $\left(u_n\right)$ étant exprimé avec un nombre entier.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On a schématisé ci-dessous une partie du plan du métro londonien par un graphe $\Gamma$ dont les
sommets sont les stations et les arêtes sont les lignes desservant ces stations.

Chaque station de métro est désignée par son initiale comme indiqué dans la légende.\index{graphe}

\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(10,9)
\cnodeput(8,7.5){A}{K}
\cnodeput(0.5,5){B}{B}
\cnodeput(3.5,5){C}{O}
\cnodeput(9.2,5){D}{H}
\cnodeput(1,2.5){E}{G}
\cnodeput(5.5,2.5){F}{P}
\cnodeput(4.2,0.5){G}{W}
\cnodeput(8,0.5){H}{E}
\ncline{B}{C} \ncline{B}{E} \ncline{A}{C} 
\ncline{A}{D} \ncline{C}{D} \ncline{C}{E} 
\ncline{D}{F} \ncline{C}{F} \ncline{E}{F} 
\ncline{F}{H} \ncline{G}{H} \ncline{E}{G} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\begin{tabular}{l}
\textbf{Légende :}\\
B : Bond Street\\
E : Embankment\\
G : Green Park\\
H : Holborn\\
K : King's Cross St Pancras\\
O : Oxford Circus\\
P : Piccadilly Circus\\
W : Westminster
\end{tabular}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est connexe.\index{graphe connexe}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est complet.\index{graphe complet}
	\end{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.\index{chaîne eulérienne}
\item Donner la matrice d'adjacence $M$ du graphe $\Gamma$ (les sommets seront rangés dans l'ordre alphabétique).\index{matrice}

Pour la suite de l'exercice, on donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix}
2 &3 &6 &4 &2 &7 &3  &1\\
3 &0 &1 &1 &2 &3 &6  &4\\
6 &1 &4 &4 &4 &9 &10 &6\\
4 &1 &4 &4 &5 &8  &8  &3\\
2 &2 &4 &5 &2 &7 &3  &1\\
7 &3 &9 &8 &7 &8 &10 &3\\
3 &6 &10&8 &3 &10&4  &1\\
1 &4 &6 &3 &1 &3 &1  &0\\
\end{pmatrix}$.

\item Un touriste se trouve à la station Holborn. Il prévoit de se rendre à la station Green Park en utilisant exactement trois lignes de métro sur son trajet.
	\begin{enumerate}
		\item Sans utiliser le graphe, donner le nombre de trajets possibles et justifier la réponse.
		\item Donner les trajets possibles .
	\end{enumerate}

\medskip
		
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10,9)
\cnodeput(8,7.5){A}{K}
\cnodeput(0.5,5){B}{B}
\cnodeput(3.5,5){C}{O}
\cnodeput(9.2,5){D}{H}
\cnodeput(1,2.5){E}{G}
\cnodeput(5.5,2.5){F}{P}
\cnodeput(4.2,0.5){G}{W}
\cnodeput(8,0.5){H}{E}
\ncline{B}{C}\ncput*{3} \ncline{B}{E}\ncput*{1} \ncline{A}{C}\ncput*{5} 
\ncline{A}{D}\ncput*{3} \ncline{C}{D}\ncput*{1} \ncline{C}{E}\ncput*{2} 
\ncline{D}{F}\ncput*{4} \ncline{C}{F}\ncput*{1} \ncline{E}{F}\ncput*{2} 
\ncline{F}{H}\ncput*{4} \ncline{G}{H}\ncput*{2} \ncline{E}{G}\ncput*{3} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\begin{tabular}{l}
\textbf{Légende :}\\
B : Bond Street\\
E : Embankment\\
G : Green Park\\
H : Holborn\\
K : King's Cross St Pancras\\
O : Oxford Circus\\
P : Piccadilly Circus\\
W : Westminster
\end{tabular}}

\medskip

Sur le graphe pondéré ci-dessus, on a indiqué la durée, exprimée en minutes, des trajets entre
chaque station (la durée est indiquée sur chaque arête du graphe $\Gamma$).
\item À partir de la station Westminster, ce touriste doit rejoindre la station King's Cross St Pancras le plus rapidement possible pour prendre un train.

En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le trajet permettant de relier la station Westminster à la station King's Cross St Pancras en une durée minimale. On précisera cette durée.
\index{algorithme de Dijskra}\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise spécialisée dans la fabrication de confitures fait appel à des producteurs locaux. À la livraison, l'entreprise effectue un contrôle qualité à l'issue duquel les fruits sont sélectionnés ou non pour la préparation des confitures.

Une étude statistique a établi que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 22\,\% des fruits livrés sont issus de l'agriculture biologique;
\item[$\bullet~~$] parmi les fruits issus de l'agriculture biologique, 95\,\% sont sélectionnés pour la préparation des confitures ;
\item[$\bullet~~$] parmi les fruits non issus de l'agriculture biologique, 90\,\% sont sélectionnés pour la préparation des confitures.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On prélève au hasard un fruit et on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{description}
\item[ ] $B$ l'évènement \og  le fruit est issu de l'agriculture biologique \fg{} ;
\item[ ] $S$ l'évènement \og  le fruit est sélectionné pour la préparation des confitures \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité, $p_F(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé et $\overline{E}$ évènement contraire de $E$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.\index{arbre}
\item Déterminer la probabilité que le fruit soit sélectionné pour la préparation des confitures et qu'il soit issu de l'agriculture biologique.
\item Montrer que $p(S) = 0,911$.
\item Sachant que le fruit a été sélectionné pour la préparation des confitures, déterminer la probabilité qu'il ne soit pas issu de l'agriculture biologique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Cette entreprise conditionne la confiture en pots de 300~grammes.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pot de confiture, associe sa masse en gramme.

On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 300$ et d'écart-type $\sigma = 2$.\index{loi normale}

L'entreprise ne commercialise les pots de confiture que si l'écart entre la masse affichée (c'est-à-dire 300 g) et la masse réelle ne dépasse pas 4 grammes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève un pot au hasard. Déterminer la probabilité que le pot soit commercialisé.
\item Déterminer le réel $a$ tel que $p(X < a) = 0,01$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans
l'évaluation.}

\medskip

Le directeur commercial affirme que 90\,\% des consommateurs sont satisfaits de la qualité des
produits commercialisés par son entreprise.

On réalise une étude de satisfaction sur un échantillon de $130$~personnes.

Parmi les personnes interrogées, $15$ déclarent ne pas être satisfaites des produits.

Déterminer, en justifiant, si l'on doit remettre en question l'affirmation du directeur commercial.\index{intervalle de confiance}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A et B ne sont pas indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~11] par 

\[f(x) = - 0,5 x^2 + 2 x + 15 \ln x.\]\index{fonction logarithme népérien}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{- x^2 + 2 x + 15}{x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.\index{dérivée}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~11]. On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~11].
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près.
		\item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle [1~;~11].
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$ définie sur [1~;~11] par 
		
		\[F(x) = - \dfrac{1}{6} x^3 + x^2 - 15 x + 15 x \ln x.\]
		
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$
		\item Calculer $\displaystyle\int_1^{11}  f(x)\:\text{d}x$. On donnera le résultat exact puis sa valeur arrondie au centième.
		\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~11]. (On donnera la valeur arrondie au centième.)\index{valeur moyenne}
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une société fabrique et vend des chaises de jardin. La capacité de production mensuelle est
comprise entre 100 et \np{1100}~chaises. 

Le bénéfice mensuel réalisé par la société est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, où $x$ représente le nombre de centaines de chaises de jardin
produites et vendues et $f(x)$ représente le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros.

On précise qu'un bénéfice peut être positif ou négatif, ce qui correspond, dans ce deuxième cas, à une perte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles quantités de chaises la société doit-elle produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel positif ?
\item Déterminer le nombre de chaises que la société doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel maximal.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}
\end{document}