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%Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz 
%Merci à Nicolas Marco pour les sujets
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{8 juin  2016}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers  8 juin  2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n 'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point, Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par 

\[f(x) = 5 - x + 2 \ln x.\]

On a représenté ci-dessous la courbe représentative $C$ de la fonction $f$, ainsi que T, la tangente
à la courbe $C$ au point A d'abscisse 4.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(10.5,6.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1)(10.5,6.2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{10.5}{5 x sub x ln 2 mul add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0.01}{10.5}{5.77259 x 0.5 mul sub}
\psdots(4,3.77259)\uput[ur](4,3.77259){A}\uput[ur](0.5,5.6){T}\uput[r](0.2,1.5){\blue $C$}
\uput[u](10.2,0){$x$}
\uput[l](0,6.1){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, on a :\index{dérivée}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) =  - 1 + 2x$&\textbf{b.~~} $f'(x) = - 2\ln x + (5 - x)\dfrac{2}{x}$\\
\textbf{c.~~}  $f'(x) = \dfrac{-x + 2}{x}$&\textbf{d.~~}$f'(x) =  4 + \dfrac{2}{x}$.
\end{tabularx}
\medskip

\item Sur l'intervalle ]0~;~10], l'équation $f'(x) =  0$ admet :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} Aucune solution &\textbf{b.~~} Une seule solution &\textbf{c.~~} Deux solutions &\textbf{d.~~} Plus de deux solutions
\end{tabularx}
\medskip

\item Une équation de T est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $y = \dfrac{1}{2}x + 5,7$ &\textbf{b.~~} $ y = 5,7x - \dfrac{1}{2}$\\
 \textbf{c.~~}  $y = - \dfrac{1}{2}x + 1 + 2 \ln 4$& \textbf{d.~~} $y= - \dfrac{1}{2}x +  3 + 2 \ln 4$
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x$ appartient à l'intervalle :\index{intégrale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} [1~;~3]& \textbf{b.~~} [4~;~5] &\textbf{c.~~} [8~;~9]& \textbf{d.~~} [10~;~15]
\end{tabularx}
\medskip\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un fabricant produit des pneus de deux catégories, la catégorie \og pneu neige \fg{} et la catégorie
\og pneu classique \fg. Sur chacun d'eux, on effectue des tests de qualité pour améliorer la
sécurité.

On dispose des informations suivantes sur le stock de production :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item le stock contient 40\,\% de pneus neige ;
\item parmi les pneus neige, 92\,\% ont réussi les tests de qualité ;
\item parmi les pneus classiques, 96\,\% ont réussi les tests de qualité.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Un client choisit un pneu au hasard dans le stock de production. On note :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item $N$ l'évènement : \og Le pneu choisi est un pneu neige \fg{} ;
\item $C$ l'évènement : \og Le pneu choisi est un pneu classique \fg{} ; 
\item $Q$ l'évènement : \og Le pneu choisi a réussi les tests de qualité \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}\index{probabilités}

\medskip

\textbf{Rappel des notations :}

Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et
$p_B(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. On
notera aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

\smallskip

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

\smallskip

\emph{Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Illustrer la situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre de probabilités}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $N \cap Q$ et interpréter ce résultat par une phrase.
\item Montrer que $p(Q) = 0,944$.
\item Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, quelle est la probabilité que ce pneu
soit un pneu neige ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On appelle durée de vie d'un pneu la distance parcourue avant d'atteindre le témoin d'usure.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque pneu classique sa durée de vie, exprimée
en milliers de kilomètres. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 30$ et d'écart-type $\sigma =  8$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'un pneu classique ait une durée de vie inférieure à 25 milliers
de kilomètres ?
\item Déterminer la valeur du nombre $d$ pour que, en probabilité, 20\,\% des pneus classiques aient
une durée de vie supérieure à $d$ kilomètres. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une enquête de satisfaction effectuée l'an dernier a révélé que 85\,\% des clients étaient
satisfaits de la tenue de route des pneus du fabricant. Ce dernier souhaite vérifier si le niveau
de satisfaction a été le même cette année.

Pour cela, il décide d'interroger un échantillon de $900$~clients afin de conclure sur l'hypothèse
d'un niveau de satisfaction maintenu.

Parmi les $900$ clients interrogés, $735$ sont satisfaits de la tenue de route.

Quelle va être la conclusion du directeur avec un niveau de confiance $0,95$ ? Détailler les
calculs, la démarche et l'argumentation.\index{intervalle de confiance}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger.

Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6\,\%.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ où $n$ désigne le nombre de mois depuis l'ouverture du site. On a donc $u_0 = 500$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$ et donner le résultat arrondi à l'unité.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on souhaite déterminer à partir de combien  de mois le site aura doublé le nombre
de films proposés par rapport au nombre  de films proposés à l'ouverture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On veut  déterminer cette valeur à l'aide d'un algorithme.\index{algorithme}

Recopier et compléter les lignes L3, L5 et L7 pour que l'algorithme donne le résultat attendu.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{l l X}
L1 :& \textbf{Initialisation}&Affecter à $U$ la valeur 500\\
L2 :&						&Affecter à $N$ la valeur $0$\\
L3 :& \textbf{Traitement}	&Tant que $U$ \ldots \ldots\\
L4 :&						&\hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
L5 :&						&\hspace{0,5cm}Affecter à $U$ la valeur \ldots \ldots\\
L6 :&						&Fin Tant que\\
L7 :&\textbf{Sortie}		&Afficher \ldots \ldots\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On veut maintenant utiliser une méthode algébrique Calculer le nombre de mois recherché.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

En raison d'une offre de bienvenue, le nombre d'abonnés au lancement est \np{15000}. Sur la base des
premiers mois, on estime que  le nombre des clients abonnés au site évolue suivant la règle suivante :

chaque mois,  10\,\% des clients se désabonnent et \np{2500} nouveaux abonnés sont enregistrés.

On note $v_n$ l'estimation du nombre d'abonnés $n$ mois après l'ouverture, on a ainsi $v_0 =  \np{15000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} =  0,9 \times v_n + \np{2500}$.
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n -  \np{25000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que  la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et préciser son premier terme.\index{suite}
		\item En déduire que, pour tout entier $n, \: v_n =  \np{25000} - \np{10000} \times  0,9^n$.
		\item Peut-on prévoir, à l'aide de ce modèle, une stabilisation du nombre d'abonnés sur le long
terme ?  Justifier la réponse.
	\end{enumerate}\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Une compagnie aérienne utilise huit aéroports que l'on nomme A, B, C, D, E, F, G et H.

Entre certains de ces aéroports, la compagnie propose des vols dans les deux sens.

Cette situation est représentée par le graphe $\Gamma$ ci-contre, dans
lequel :\index{graphe}

\setlength\parindent{8mm}
\begin{enumerate}
\item[$\bullet~~$] les sommets représentent les aéroports,
\item[$\bullet~~$] les arêtes représentent les liaisons assurées dans les deux
sens par la compagnie.
\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{0.47\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\cnodeput(0.4,3.6){A}{A}\cnodeput(2,4){B}{B}
\cnodeput(4.5,3.5){C}{C}\cnodeput(3.4,2){D}{D}
\cnodeput(1,1){E}{E}\cnodeput(6,4.6){F}{F}
\cnodeput(6,2.6){G}{G}\cnodeput(4.8,0.6){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncline{A}{D}\ncline{A}{E}
\ncline{B}{C}\ncline{D}{B}\ncline{B}{F}
\ncline{C}{D}\ncline{C}{G}\ncline{D}{E}
\ncline{F}{G}\ncline{G}{H}\ncline{E}{H}
\end{pspicture}
}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ est complet. 
		\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ est connexe.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une
telle chaîne.\index{chaîne eulérienne}
\item Donner la matrice d'adjacence $M$ du graphe $\Gamma$ en respectant l'ordre alphabétique des
sommets du graphe.\index{matrice}
\item Pour la suite de l'exercice, on donne les matrices suivantes : 
 
\[M^2= \begin{pmatrix}3&1& 2& 2& 1& 1& 0& 1\\
	1 &4 &1 &2 &2 &0 &2 &0\\
	2 &1 &3 &1 &1 &2 &0 &1\\
2 &2 &1 &4 &1 &1 &1 &1\\
1&2&1&1&3&0&1&0\\
1 &0 &2 &1 &0 &2 &0 &1\\
0 &2 &0 &1 &1 &0&3&0\\ 
1 &0 &1 &1 &0 &1 &0&2\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\: M^3 = \begin{pmatrix}
 4 &8 &3 &7 &6 &1 &4 &1\\
 8 &4 &8 &8 &3 &6 & 1 & 4\\
 3 &8 &2 &7 &4 &1 &6 &1\\
7 &8 &7 &6 &7 &3 &3 &2\\
6 &3 &4 &7 &2 &3& 1 &4\\
1& 6 &1 &3 &3 &0 &5 &0\\
4 &1 &6&3 &1 &5 &0& 4\\
1 &4 &1 &2 &4 &0 &4 &0\end{pmatrix}\]

Un voyageur souhaite aller de l'aéroport B à l'aéroport H.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre minimal de vols qu'il doit prendre, Justifier les réponses à l'aide
des matrices données ci-dessus.
		\item Donner tous les trajets possibles empruntant trois vols successifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Les arêtes sont maintenant pondérées par le coût de chaque vol, exprimé en euros.

Un voyageur partant de l'aéroport A doit se rendre à l'aéroport G.\index{algorithme de Dijkstra}

En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le trajet le moins cher.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\cnodeput(0.4,3.6){A}{A}\cnodeput(2,4){B}{B}
\cnodeput(4.5,3.5){C}{C}\cnodeput(3.4,2){D}{D}
\cnodeput(1,1){E}{E}\cnodeput(6,4.6){F}{F}
\cnodeput(6,2.6){G}{G}\cnodeput(4.8,0.6){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*[nrot=:U]{40}\ncline{A}{D}\ncput*[nrot=:U]{100}\ncline{A}{E}\ncput*[nrot=:U]{45}
\ncline{B}{C}\ncput*[nrot=:U]{110}\ncline{B}{D}\ncput*[nrot=:U]{50}\ncline{B}{F}\ncput*[nrot=:U]{120}
\ncline{D}{C}\ncput*[nrot=:U]{60}\ncline{C}{G}\ncput*[nrot=:U]{50}\ncline{E}{D}\ncput*[nrot=:U]{40}
\ncline{F}{G}\ncput*[nrot=:U]{55}\ncline{H}{G}\ncput*[nrot=:U]{80}\ncline{E}{H}\ncput*[nrot=:U]{90}
\end{pspicture}}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur [0~;~8] par 

\[f(x) = \dfrac{0,4}{20\text{e}^{- x} + 1}  + 0,4.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{8\text{e}^{- x}}{\left(20\text{e}^{- x} + 1 \right)^2}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.\index{dérivée}
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|}\hline
1 & $f'(x) : = 8* \text{e }\hat{\:} (- x) / (20*\text{e }\hat{\:} (- x)+1)^2$ \\
%1	& $f'(x) :  8*\text{e}\verb?^? (- x)/(20*\text{e}\verb?^? (- x)+1)^2$\\
	&$\to f'(x) :\dfrac{8 \cdot \text{e}^{- x}}{400\left(\text{e}^{- x}\right)^2 + 40\text{e}^{- x} + 1}$
\\ \hline
2	& $g(x) : =$ Dérivée $[f'(x)]$\\
 & $\to g(x) : = \dfrac{160\left(\text{e}^{- x}\right)^2 -8\text{e}^{- x} }{8000 \left(\text{e}^{- x}\right)^3+1200\left(\text{e}^{- x}\right)^2+60\text{e}^{- x}+1}$ \\ \hline
3	& Factoriser $[g(x)]$\\
 & $\to 8\text{e}^{- x} \cdot \dfrac{20\text{e}^{- x} - 1}{\left(20\text{e}^{- x} + 1\right)^3}$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En s'appuyant sur ces résultats, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.\index{fonction convexe}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A
et B situés à deux altitudes différentes. La fonction $f$, définie dans la partie A, modélise le
profil de ce projet routier. La variable $x$ représente la distance horizontale, en kilomètres,
depuis le village A et $f(x)$ représente l'altitude associée, en kilomètres.

\smallskip

La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(8.2,1.05)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{8}{0.4 20 2.71828 x exp div 1 add div 0.4 add}
\psline(8,0)(0,0)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,1)}
\multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.2](0,0)(0,0)(8.2,1.05)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{8}{0.4 20 2.71828 x exp div 1 add div 0.4 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.419)(8,0.797)
\uput[ur](0,0.419){A}\uput[ur](8,0.797){B}\uput[u](5.5,0.78){$\mathcal{C}_f$}
\uput[u](8.1,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en un point $M$ est appelé \og pente  en M \fg.

On précise aussi qu'une pente en $M$ de 5\,\% correspond à un coefficient directeur de la
tangente à la courbe de $f$ en $M$ égal à $0,05$.

Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu'en aucun point de $\mathcal{C}_f$ la pente ne
dépasse 12\,\%.

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en
justifiant la réponse.}

\medskip

\textbf{Proposition 1}

L'altitude du village B est 0,6~km.

\textbf{Proposition 2}

L 'écart d'altitude entre les  villages A et B est $378$ mètres, valeur arrondie au mètre.

\textbf{Proposition 3}

La pente en A vaut environ 1,8\,\%.

\textbf{Proposition 4}

Le projet de route ne sera pas accepté.
\end{document}