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% Tapuscrit Denis Vergès 
% Sujet aimablement fourni par Françoise Vanicat et Francis Cortado
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 27 mai 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Liban 
 27 mai 2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des situations suivantes, déterminer si elle est vraie ou faussent justifier la réponse.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 3~;~1]$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,2.5)
\psframe(12,2.5)\psline(0,2)(12,2)\psline(3,0)(3,2.5)
\uput[u](1.5,1.9){$x$} \uput[u](3.3,1.9){$- 3$} \uput[u](6,1.9){$- 1$} 
\uput[u](9,1.9){$0$} \uput[u](11.8,1.9){$1$}
\rput(1.5,1){Variations de $f$}
\uput[u](3.3,0){$- 6$} \uput[d](6,2){$- 1$}\uput[u](9,0){$- 2$}\uput[d](11.8,2){4}
\psline{->}(3.6,0.5)(5.5,1.5)\psline{->}(6.5,1.5)(8.6,0.5)\psline{->}(9.4,0.5)(11.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Proposition 1 :} L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[- 3~;~1]$.
\item On considère une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~13]$ et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g'$, fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~13]$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(13,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=15,Dy=10](0,0)(-1,-2)(13.1,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{7.4356 2.71828 0.5 x mul exp div 1 sub}
\uput[d](4,0){4}\uput[d](1,0){1}\uput[d](13,0){13}
\uput[l](0,1){$1$}\uput[dl](0,0){$0$}
\uput[u](13,0){$x$}\uput[l](0,7.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Proposition 2 :} La fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~4].

\textbf{Proposition 3 :} La fonction $g$ est concave sur l'intervalle [0~;~13].
\item La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $h$ définie sur l'intervalle [1~;~e] par $h(x) = \dfrac{1}{x}$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.5,1.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-0.5)(3.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{1 x div}
\psline[linestyle=dashed](2.71828,0.368)(2.71828,0)
\uput[d](2.71828,0){e}\uput[u](3.4,0){$x$}
\uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){$0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Proposition 4 :} La fonction $h$ est une fonction de densité de probabilité sur l'intervalle [1~;~e].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 à 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~18].

On note $x$ le nombre de parasols produits par jour et $f(x)$ le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la tangente $\left(T_{\text{A}} \right)$ au point A(5~;~55). Le point B(10~;~25) appartient à la tangente $\left(T_{\text{A}} \right)$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(22,110)
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+5}{23}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(-0.5,-2.5)(22,110)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{18}{2 x mul 5 add 40 2.71828 0.2 x mul 1 sub exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{12}{85 6 x mul sub}
\uput[u](21.6,0){$x$}
\uput[l](0,108){$y$}\uput[dl](0,0){$0$}\uput[r](1.7,85){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots(5,55)(10,25)
\uput[dl](5,55){A} \uput[dl](10,25){B}\uput[dr](12,13){$\left(T_{\text{A}} \right)$}
\end{pspicture}
\end{center}

On admet que 

\[f(x) = 2x + 5 + 40\text{e}^{- 0,2x + 1}\quad \text{pour tout} \:\: x\:\:\text{appartenant à l'intervalle}\:[1~;18]\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la valeur de $f'(5)$ en expliquant la démarche utilisée.
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~18].
		\item Expliquer comment retrouver la réponse obtenue dans la question \textbf{1. a.}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $2 - 8\text{e}^{- 0,2x + 1} \geqslant 0$ est équivalente à $x \geqslant 5 + 5\ln 4$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$ sur [1~;~18]. Les valeurs seront arrondies au centime d'euro dans le tableau de variations.		
	\end{enumerate}			 
\item Déterminer, par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l'entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = x^2 + 5x - 200\text{e}^{- 0,2x + 1}$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~18].
		\item Déterminer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_5^{15} f(x)\:\text{d}x$.
		\item Interpréter dans le contexte de l'exercice la valeur de $\frac{1}{10}I$.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.

\medskip

\emph{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à} \:$10^{-3}$.

\medskip

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.

La totalité de la production est réalisée par deux machines $M_A$ et $M_B$.

La machine $M_A$ fournit 40\,\% de la production totale et $M_B$ le reste.

La machine $M_A$ produit 2\,\% de médailles défectueuses et la machine $M_B$ produit 3\,\% de médailles défectueuses.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On prélève au hasard une médaille produite par l'entreprise et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ : \og la médaille provient de la machine $M_A$ \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$B$ : \og la médaille provient de la machine $M_B$ \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$D$ : \og la médaille est défectueuse \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{D}$ est l'évènement contraire de l'évènement $D$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Traduire cette situation par un arbre pondéré.
		\item Montrer que la probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à $0,026$.
		\item Calculer la probabilité qu'une médaille soit produite par la machine $M_A$ sachant qu'elles défectueuse.
	\end{enumerate}
\item Les médailles produites sont libres par lots de $20$.

On prélève au hasard un lot de 20~médailles dans la production.

On suppose que la production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.

On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la loi que suit $X$ et donner ses paramètres.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le diamètre exprimé en millimètre, d'une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu'il appartient à l'intervalle [74,4~;~75,6].

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $0,25$.

La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de $Y$.

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(72.9,-0.1)(77.1,0.51)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.1pt]
\multido{\n=0.000+0.125}{5}{\psline[linewidth=0.1pt](73,\n)(77,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=75]{->}(75,0)(73,-0.01)(77,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=75](75,0)(73,-0.01)(77,0.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{73}{77}{0.398942 2.71828 x 75 sub 0.25 div dup mul 2  div exp div}
\uput[d](75,-0.02){75}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Indiquer par lecture graphique la valeur de $\mu$.
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice la probabilité $P(74,4 \leqslant Y \leqslant 75,6)$.
\item En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de $h$ pour que 

\[P(75 - h \leqslant Y \leqslant 75 + h) \approx 0,95.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la machine $M_B$, on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est de 3\,\%.

Pour contrôler le bon  fonctionnement  de la machine $M_B$, on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, dans l'échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme.
\item Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine $M_B$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Une retenue d'eau artificielle contient $\np{100 000}$ m$^3$ d'eau le 1\up{er} juillet 2013 au matin.

La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4\,\% du volume total de l'eau par jour. De
plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue $500$ m$^3$ pour l'irrigation des cultures aux alentours.

Cette situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$.

Le premier juillet 2013 au matin, le volume d'eau en m$^3$ est $u_0 =  \np{100000}$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur à 0, $u_n$ désigne le volume d'eau en m$^3$ au matin du $n$-ième jour qui suit le 1\up{er} juillet 2013.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le volume d'eau $u_1$ au matin du 2 juillet 2013 est égal à \np{95500}~m$^3$.
		\item Déterminer le volume d'eau $u_2$, au matin du 3 juillet 2013.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} =  0,96u_n -  500$.
	\end{enumerate}
\item Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer
l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il
donne le résultat attendu.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|lX|}\hline
L1&\textbf{Variables :}&$u$ est un nombre réel\\
L2&&$n$est un entier naturel\\
L3&\textbf{Traitement :}&Affecter à $u$ la valeur \np{100000}\\
L4&&Affecter à $n$ la valeur 0\\
L5&&Tant que $u > 0$\\
L6&&\hspace{1cm} Affecter à $n$ la valeur \ldots\\
L7&&\hspace{1cm} Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
L8&&Fin Tant que\\
L9&\textbf{Sortie :}&Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n + \np{12500}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$. Préciser son premier terme.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n =  \np{112500} \times  0,96^n  -  \np{12500}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $\np{112500} \times  0,96^n  -  \np{12500} \leqslant 0$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G
(standard de transmission de données).

Une étude a montré que d'une année à l'autre :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 41\,\% des clients de l'opérateur SAFIR le quittent pour l'opérateur TECIM ;
\item[$\bullet~~$] 9\,\% des clients de l'opérateur TEcIM le quittent pour l'opérateur SAFIR ;
\item[$\bullet~~$] Aucun client ne renonce à l'utilisation de la 4G.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste $\mathcal{G}$ de sommets S et T où :
 
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $S$ est l'évènement \og l'utilisateur de la 4G est un client de l'opérateur SAFIR \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$ est l'évènement \og l'utilisateur de la 4G est un client de l'opérateur TECIM \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

Chaque année on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel $n$ :

\setlength\parindent{0mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$s_n$ la probabilité que cet utilisateur soit un client de l'opérateur SAFIR en $2014 + n$ ;
\item[$\bullet~~$]$t_n$ la probabilité que cet utilisateur soit un client de l'opérateur TECIM en $2014 + n$.
\end{itemize}

\medskip

On note $P_n = \left(s_n\quad  t_n\right)$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2014 + n$.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'opérateur TECIM atteindra l'objectif d'avoir comme
clients au moins 80\,\% de la population utilisatrice de la 4G.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste $\mathcal{G}$.
\item On admet que la matrice de transition du graphe $\mathcal{G}$ en considérant les sommets dans l'ordre $S$ et $T$ est $M = \begin{pmatrix}0,59& 0,41\\0,09& 0,91\end{pmatrix}$.

On note $P = (a\quad  b)$ la matrice ligne correspondant à l'état stable de ce graphe $\mathcal{G}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{r c l}
0,41a - 0,09b&=&0\\ a + b &=& 1\end{array}\right.$.
		\item Résoudre le système précédent.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que $a = 0,18$ et $b = 0,82$.
Déterminer, en justifiant, si l'opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En 2014, on sait que 35\,\% des utilisateurs de la 4G sont des clients de l'opérateur SAFIR et que 65\,\%
sont des clients de l'opérateur TECIM. Ainsi $P_0 = (0,35\quad 0,65)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $t_{n+1} = 0,5t_n + 0,41$.
\item Pour déterminer au bout de combien d'années l'opérateur TECIM atteindra son objectif, on a
commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet
algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l X|}\hline
L1&\textbf{Variables :}& $T$ est un nombre\\
L2&& $N$ est un nombre entier\\
L3&\textbf{Traitement :}& Affecter à $T$ la valeur 0,65\\
L4&& Affecter à $N$ la valeur 0\\
L5&& Tant que $T < 0,80$\\
L6&& Affecter à $T$ la valeur \ldots\\
L7&& Affecter à $N$ la valeur \ldots\\
L8&& Fin Tant que\\
L9&\textbf{Sortie :}& Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = t_n - 0,82$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$. Préciser son premier terme.
		\item En déduire que : $t_n = - 0,17 \times  0,5^n + 0,82$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation: $- 0,17 \times  0,5^n + 0,82 \geqslant 0,80$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}