\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{arydshln}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add}
% Tapuscrit Denis Vergès
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES/L Liban},
pdftitle = {29 mai 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[np]{numprint}\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%le i des complexes
\usepackage{arydshln}% lignes en tirets dans un tableau

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 29 mai 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Liban}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Liban
29 mai 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $S$ l'événement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{};
\item $M$ l'événement \og le voyageur porte un objet métallique \fg{}.
\end{list}

On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
  
\begin{enumerate}
\item 
\begin{list}{\textbullet}{On admet que:}
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
\end{list}
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.25cm]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$M$}\naput{$\cdots$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$\cdots$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\cdots$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{$\cdots$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$\cdots$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\cdots$}	   
 	  }
}
\bigskip
\end{center}

		\item Montrer que: $P(S)=\np{0,02192}$.
		\item En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$.)
	\end{enumerate}
\item 80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $\np{0,02192}$.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de:}
\item la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique;
\item la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.
\end{list}
		\item Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de L}

\medskip

Maya possède 20~\euro{} dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2018.

À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place $20$~\euro{} supplémentaires.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n$-ième mois. On a $u_0 = 20$. 


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1\ier{} mois est de $35$~\euro.
\item Calculer $u_2$.
\end{enumerate}

\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n + 20$.

On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
\hline
$U \longleftarrow 20$\\
$N \longleftarrow 0$\\
Tant que $U < 70$\\
\hspace*{1cm} $U \longleftarrow 0,75 \times U + 20$\\
\hspace*{1cm} $N \longleftarrow N+1$\\
Fin Tant que\\
Afficher $N$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième.

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*5{>{\ca}p{2cm}|}}
\cline{1-2}\cdashline{3-3}[1pt/2pt]\cline{4-5}
Valeur de $U$ & 20 & \hspace*{2cm}  &  & \\
\cline{1-2}\cdashline{3-3}[1pt/2pt]\cline{4-5}
Valeur de $N$ & 0 & & & \\
\cline{1-2}\cdashline{3-3}[1pt/2pt]\cline{4-5}
\shortstack{Condition\\$U<70$} & vrai & & vrai & faux \\
\cline{1-2}\cdashline{3-3}[1pt/2pt]\cline{4-5}
\end{tabular}
\end{center}

\item Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

\end{enumerate}

\item Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
\item Préciser son premier terme $v_0$.
\item En déduire que, pour tout entier $n$, $u_n=80-60\times 0,75^{n}$.
\item Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2019.
\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item parmi les clients de l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}, 70\,\% se réabonnent à ce même opérateur et 30\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone};
\item parmi les clients de l'opérateur \emph{GenialPhone}, 55\,\% se réabonnent à ce même opérateur et 45\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{Efficaceréseau}.
\end{list}

On note $E$ l'état: \og la personne possède un contrat chez l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} \fg{} et $G$ l'état: \og la personne possède un contrat chez l'opérateur \emph{GenialPhone} \fg{}.

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On note également:}
\item $e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$;
\item $g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$;
\item $P_n = \begin{pmatrix} e_n & g_n \end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne traduisant l'état probabiliste du système au 1\ier{} janvier $(2018+n)$.
\end{list} 

Au 1\ier{} janvier 2018, on suppose que 10\,\% des clients possèdent un contrat chez \emph{EfficaceRéseau}, ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
		\item Vérifier qu'au 1\ier{} janvier 2020, environ 57\,\% des clients ont un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1} = P_n\times M$.
  
Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1} = 0,25 e_n + 0,45$.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1\ier{} janvier $(2018+n)$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|l|}
\hline 
$E\longleftarrow 0,1$\\
$G \longleftarrow 0,9$\\
Pour $I$ allant de 1 à $N$\hspace*{3cm}\\
\hspace*{1cm} $E \longleftarrow \cdots \times E + \cdots $\\
\hspace*{1cm} $G \longleftarrow \cdots$\\
Fin Pour\\
Afficher $E$ et $G$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $N=3$. Arrondir au centième.
		\item Déterminer l'état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.}

Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} et \textbf{3.}, on a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d'abscisses respectives 2 et 4.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\def\xmin {-4.8}   \def\xmax {8.8}
\def\ymin {-3.6}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\def\f{x x x 6 sub mul 4 add mul 32 add 8 div}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\rput(-2.6,-2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x 2 div}% Tangente en x = 4
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x neg 5 add}% Tangente en x = 2
\psdots[dotstyle=+](4,2)(2,3)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $f'(4)$ est égal à:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $2$ & \textbf{B.} \quad $-1$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $0,5$ & \textbf{D.} \quad $0$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item $f$ est convexe sur l'intervalle:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $]-\infty\,;\,2]$ & \textbf{B.} \quad $]-\infty\,;\,0,5]$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $[0\,;\,4]$ & \textbf{D.} \quad $[2\,;\,5]$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,5]$ est:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $-0,1$ & \textbf{B.} \quad $2,5$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $2,9$ & \textbf{D.} \quad $14,5$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que

\[P(X \leqslant 649) \approx \np{0,1587}.\]

On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l'espérance et l'écart-type de cette loi normale.

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-5}   \def\xmax {165}
\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline(-5,0)(165,0)
\def\m{80}% moyenne 
\def\s{20}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{\xmin} \def\sup{60}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](80,0)(80,0.4)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
\multido{\n=646+1,\i=0+20}{9}
{
\uput[d](\i,0){\n}
\psline(\i,0.0005)(\i,-0.0005)
}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $P(X\leqslant 651) \approx \np{0,6587}$ & \textbf{B.} \quad $P( 649  \leqslant X\leqslant 651) \approx \np{0,683}$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $\sigma=650$ & \textbf{D.} \quad $\mu=649$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1\,;\,25]$ par

\[f(x)=\dfrac{x+2-\ln(x)}{x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item On admet que $f$ est dérivable sur $[1\,;\,25]$.

Démontrer que pour tout réel $x$ appartient à l'intervalle $[1\,;\,25]$,

\[f'(x)=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}.\]

\medskip

		\item Résoudre dans $[1\,;\,25]$ l'inéquation $-3+\ln(x)>0$.
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[1\,;\,25]$.
		\item Démontrer que dans l'intervalle $[1\,;\,25]$, l'équation $f(x)=1,5$ admet une seule solution. On notera $\alpha$ cette solution.
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$ à l'aide de la calculatrice.
	\end{enumerate}

\item Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et \np{2500} pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques.

On admet que lorsque $x$ centaines de pièces sont fabriquées, avec $1 \leqslant x \leqslant 25$, le coût moyen de fabrication d'une pièce est de $f(x)$ euros.

En utilisant les résultats obtenus à la question \textbf{1.}:
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal.

Déterminer alors ce coût moyen, au centime d'euro près.
		\item Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euro.
		\item Est-il possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}