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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat /LES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 5 juin 2017}
\pagestyle{fancy}
\label{Liban}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L Liban
~\decofourright\\[4pt]
5 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{2}{x}$.

La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~e] est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2 &\textbf{b~~} $\frac{1}{\text{e} - 1}$&\textbf{c.~~}$\frac{2}{\text{e} - 1}$&\textbf{d.~~}$\frac{- 2}{\text{e} - 1}$
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-dessous représente la fonction de densité $f$ associée à la variable $X$.\index{loi normale}

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=2cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3,algebraic=true,comma=true}
\def\xmin {-0.1}   \def\xmax {2}
%\def\ymin {-0.02} \def\ymax {500}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.25)(2,2.2)
%\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%\multido{\n=-4+1}{34}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.11)}
%\multido{\n=0.00+0.02}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](-4,\n)(30,\n)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,ticksize=-0pt 0pt,Dx=0.2,Dy=10]%
(0,0)(0,0)(2,0)
\def\m{1}% moyenne 
\def\s{0.2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0.6}{1.4}{\f}
\psline(1.4,0)(0.6,0)(0.6,0.28)}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{2}{\f}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,2)
\uput[u](0.4,0.12){\blue $\mathcal{C}_f$}
\rput(1,0.18){Aire $\approx 0,95$}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item L'espérance de $X$ est $0,4$.
		\item L'espérance de $X$ est $0,95$.
		\item L'écart-type de $X$ est environ $0,4$.
		\item L'écart-type de $X$ est environ $0,2$.
	\end{enumerate}
\item À l'occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de $10$~euros d'achats. L'hypermarché affirme que 15\,\% des tickets à gratter sont gagnants, c'est-à-dire donneront droit à un bon d'achat de 5~euros.
	
Amandine a reçu 50 tickets à gratter après un achat de $500$~euros dans cet hypermarché. Deux d'entre eux étaient gagnants.
	
On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu'un échantillon de 50 tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de $50$~tickets à gratter est [0,051~;~0,249], les bornes étant arrondies au millième.\index{intervalle de fluctuation asymptotique}
		\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de $50$~tickets à gratter est [0,100~;~0,200], les bornes étant arrondies au millième.
		\item La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est $\dfrac{50}{500}$.
		\item Amandine peut annoncer avec un risque de 5\,\% que l'affirmation de l'hypermarché n'est pas mensongère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A : L'accord de Kyoto (1997)}

\medskip

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO$_2$.

En 2011, la France a émis 486 mégatonnes de GES en équivalent CO$_2$ contre 559 mégatonnes en 1990.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans l'accord de Kyoto, la France s'est engagée à réduire ses GES de 8\,\% entre 1990 et 2012.

Peut-on dire qu'en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.
\item  Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de 5,6\,\% par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à $0,1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle}

\medskip

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2\,\% d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO$_2$.

En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO$_2$ au total.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de CO$_2$ émis dans cette zone industrielle au cours de l'année $2005 + n$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_0$ et $u_1$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98 \times u_n + 0,2$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Préciser son premier terme.\index{suite géométrique}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 31 \times (0,98)^n + 10$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$, par rapport à l'année 2005.\index{algorithme}

	\begin{enumerate}
	
\newpage	
	
		\item ~
		
\parbox{0.4\linewidth}{Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de
l'algorithme} \hfill \parbox{0.57\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
1& Variables\\
2&\quad $U$ est du type nombre\\
3&\quad  $n$ est du type nombre entier\\
4& Début Algorithme\\
5&\quad  $U$ prend la valeur $41$\\
6&\quad  $n$ prend la valeur $0$\\
7&\quad  Tant que (\ldots \ldots ) faire\\
8&\quad \quad  Début Tant que\\
9&\quad \quad  $U$ prend la valeur \ldots\\
10&\quad \quad  $n$ prend la valeur $n + 1$\\
11&\quad \quad  Fin Tant que\\
12&\quad  Afficher $n$\\
13& Fin Algorithme\\ \hline
\end{tabularx}}

\item L'algorithme affiche 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.	
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\emph{Notations :}

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.

Si $A$ et $B$ sont deux évènements, on note $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.\index{probabilité}

\smallskip

\emph{Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième.}

\medskip

Une agence Pôle Emploi étudie l'ensemble des demandeurs d'emploi selon deux critères, le sexe et l'expérience professionnelle.

Cette étude montre que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 52\,\% des demandeurs d'emploi sont des femmes et 48\,\% sont des hommes ;
\item[$\bullet~~$] 18\,\% des demandeurs d'emploi sont sans expérience et les autres sont avec expérience;
\item[$\bullet~~$]parmi les hommes qui sont demandeurs d'emploi, on sait que 17,5\,\% sont sans expérience.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On prélève au hasard la fiche d'un demandeur d'emploi de cette agence. On note:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$S$ : l'évènement \og le demandeur d'emploi est sans expérience \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$F$ : l'évènement \og le demandeur d'emploi est une femme \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser $p(S)$ et $p_{\overline{F}}(S)$.
\item Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.\index{arbre de probabilités}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$F$} \naput{\ldots}}
	{\TR{$S$}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{F}$} \nbput{\ldots}}
	{\TR{$S$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\item Démontrer que $p\left(\overline{F} \cap S\right) = 0,084$. Interpréter le résultat.
\item La fiche prélevée est celle d'un demandeur d'emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.
\item Sachant que la fiche prélevée est celle d'une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d'un demandeur d'emploi sans expérience.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}


La responsable de l'agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d'emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d'emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d'emploi sans expérience.\index{loi binomiale}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays.

En 2015, l'opérateur Alpha possède 30\,\% du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l'opérateur Bravo.

On étudie l'évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l'un ou l'autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l'opérateur Alpha soit chez l'opérateur Bravo.

On estime que, chaque année :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 12\,\% des abonnés de l'opérateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l'opérateur Bravo.
\item[$\bullet~~$] 86\,\% des abonnés de l'opérateur Bravo lui restent fidèles, les autres le quittent pour l'opérateur Alpha.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On modélise cette situation par un graphe probabiliste à deux sommets Alpha et Bravo :\index{graphe}

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ est l'évènement: \og l'abonné est chez l'opérateur Alpha \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ est l'évènement: \og l'abonné est chez l'opérateur Bravo \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner ce graphe probabiliste.

On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est : $M = \begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}$.

On note pour tout entier naturel $n$ :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Alpha l'année $2015 + n$ ;
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Bravo l'année $2015 + n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2015 + n$.
\item Donner $a_0$ et $b_0$.
\item Montrer qu'en 2018, il y aura environ 44,2\,\% des abonnés chez l'opérateur Alpha.
\item Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l'ensemble des abonnés sur le long terme. On note $P = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ l'état stable de la répartition des abonnés.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont solutions du système 
		$\left\{
		\begin{array}{l !{=} l}
		0,12x - 0,14y & 0\\
		x + y & 1
		\end{array}
		\right.$
		\item Résoudre le système précédent dans l'ensemble des réels.
		\item Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d'un grand nombre d'années. Arrondir les pourcentages à 0,1\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un opérateur français doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I à l'approche de la saison touristique. À ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.

Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées.

L'opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.

Dans le graphe ci-dessous :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les sommets représentent les stations de ski;
\item[$\bullet~~$] les arêtes représentent les différents tronçons qu'il est possible de déployer;
\item[$\bullet~~$] le poids de chaque arête correspond au coût associé, en milliers d'euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
%\psgrid
\begin{pspicture}(7.4,7.5)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0.5,5){A}{A} \cnodeput(0.5,7){B}{B} 
\cnodeput(4.5,6){C}{C} \cnodeput(6.8,4){D}{D}
\cnodeput(6,1.8){E}{E} \cnodeput(2,1){F}{F}
\cnodeput(0.5,0.5){G}{G}\cnodeput(1.3,2.5){H}{H}
\cnodeput(3,4){I}{I}
\ncarc{A}{B}\ncput*{5}\ncarc{A}{C}\ncput*{25}
\ncarc{B}{C}\ncput*{30}\ncarc{C}{D}\ncput*{20}
\ncarc{D}{E}\ncput*{20}\ncarc{D}{I}\ncput*{15}
\ncarc{E}{I}\ncput*{15}\ncarc{E}{F}\ncput*{20}
\ncarc{F}{G}\ncput*{5}\ncarc{F}{H}\ncput*{10}
\ncarc{G}{H}\ncput*{20}\ncarc{H}{I}\ncput*{20}
\ncarc{A}{I}\ncput*{15}\ncarc{A}{H}\ncput*{10}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G.\index{algorithme de Dijkstra}
\item Déterminer, en milliers d'euros, le coût de ce tracé.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties sont liées.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par 

\[f(x) =  \dfrac{1}{0,5 + 100\,\text{e}^{-x}}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~10].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ dans l'intervalle [0~;~10], on a \index{dérivée}

\[f'(x) =  \dfrac{100\,\text{e}^{-x}}{\left(0,5 + 100\,\text{e}^{-x} \right)^2}.\]

On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur l'intervalle [0~;~10].

Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de $f''(x)$ :

\[f''(x) = \dfrac{100\,\text{e}^{-x}\left(100\,\text{e}^{-x} - 0,5\right)}{\left(0,5 + 100\,\text{e}^{-x} \right)^3}.\]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, dans l'intervalle [0~;~10], l'inéquation $100\,\text{e}^{-x} - 0,5 \geqslant 0$ est équivalente à l'inéquation $x \leqslant  - \ln(0,005)$.
		\item En déduire le tableau de signes de la fonction $f''$ sur l'intervalle [0~;~10].
 	\end{enumerate}
\item  On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ tracée dans un repère.
	
Montrer, à l'aide de la question 2, que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l'abscisse.\index{point d'inflexion}
\item  En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.\index{fonction concave}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés \degres C.}

\medskip

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays.

Cet accord confirme l'objectif, d'ici l'année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2~\degres C la température de l'année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction $f$ de la partie A, une évolution de température possible permettant d'atteindre l'objectif de l'accord de Paris.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction 
est tracée ci-dessous, et I est son point d'inflexion.

Sur l'axe des abscisses, l'année 1900 correspond à 0 et une unité représente $25$~ans, donc l'année 1925 correspond à 1.

Sur l'axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.2)(10,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=4](0,0)(10,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(10,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{1 0.5 100 2.71828 x exp div add div}
\uput[r](0,2.9){Nombre de \degres C au-dessus de la température de 1900}
\uput[u](9,0){Rangs des années}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(10)$, en arrondissant le résultat au centième.
		\item En déduire qu'en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la partie A, déterminer l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. Arrondir le résultat à l'unité.
		\item Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.
 	\end{enumerate}
\item On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d'augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction $f'$.
	\begin{enumerate}
		\item Est-il vrai de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.
		\item Est-il vrai de dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5~\degres C la température de l'année 1900.
	
Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Annexe}

\bigskip

\emph{À rendre avec la copie}

\begin{center}

\textbf{Exercice 4 -- Question 1. a.}

\textbf{Candidats ayant sui l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$			&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$a_{2k+1}$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$2a_{2k+1}$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$R$			&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$I$			&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}