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% Tapuscrit François Hache 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small mai 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Liban mai 2019
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $\left ] 0~;\, +\infty\strut\right [$ par:
$u(x)=3 \ln(x) -2x+1$.\\
Soit $\mathcal{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ dans un repère.

\medskip

\textbf{Affirmation 1:} $y=x-2$ est l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_u$ au point d'abscisse 1.

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left [ \e~;\, \e^2\strut\right ]$ par $f(x)=\dfrac{1}{\e^{2}} \ln(x)$.

On admet que la fonction $x \longmapsto x \ln(x) - x$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto \ln(x)$ sur l'intervalle $\left [ \e~;\, \e^2\strut\right ]$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2:} $f$ est une fonction de densité sur $\left [ \e~;\, \e^2\strut\right ]$.

\medskip

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par: $g(x)=3\e^{-2x+1}$.

\medskip

\textbf{Affirmation 3:} La fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=-6\e^{-2x+1}+6$ est la primitive de $g$ qui s'annule en $\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $\left [ -8~;\, -0,5\strut\right ]$ par: $h(x)=\dfrac{4x+1}{x^2}$.

\medskip

\textbf{Affirmation 4:} La fonction $h$ est concave sur l'intervalle $\left [ -8~;\, -0,75\strut\right ]$.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambid\ae, originaire d'Extrême-Orient.
Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d'Ardèche donne les estimations suivantes:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Date & 01/06/18 & 02/06/18 & 03/06/18\\
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Nombre de chenilles en centaines & 97 & 181 & 258\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'exercice étudie et compare deux modélisations de l'évolution du nombre de chenilles.

\begin{flushleft}
\textbf{Partie 1:} \emph{Modèle 1}
\end{flushleft}

Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le 1\ier{} juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q=1,63$. Ainsi $u_0=97$.

\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_2$. Arrondir à l'unité.
 \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. 
 \item Justifier que la suite $(u_n)$ est croissante.
 \item Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018? Arrondir à la centaine.
 \end{enumerate} 

\begin{flushleft}
\textbf{Partie 2:} \emph{Modèle 2}
\end{flushleft}

Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour  après le 1\ier{} juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $(v_n)$ telle que:

\hfill{}$v_0=97$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0,91 v_n + 93$.\hfill{} 

\begin{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$: $v_n=\dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^n + \np{3100}\strut\right )$.

Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018? Arrondir à la centaine.

\item En étudiant le signe de $v_{n+1} - v_n$, montrer que la suite $(v_n)$ est croissante.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie 3:} \emph{Comparaison des différents modèles}
\end{flushleft}

La valeur relevée dans le camping le 13 juin 2018 est de 745 centaines de chenilles.

\begin{enumerate}
\item À partir de ce relevé, quel modèle paraît le plus adapté?
\item On reprend l'étude du deuxième modèle.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation: $v_n \geqslant \np{1000}$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie 1}
\end{flushleft}

Les clients d'un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours.
En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats: plat A, plat B et plat C.

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{D'un jour à l'autre, il constate que:}
\item Parmi les clients ayant choisi le plat A: $30\,\%$ reprennent le plat A le lendemain, $50\,\%$ prennent le plat B le lendemain.
\item Parmi les clients ayant choisi le plat B: $30\,\%$ reprennent le plat B le lendemain, $60\,\%$ prennent le plat A le lendemain.
\item Parmi les clients ayant choisi le plat C: $35\,\%$ prennent le plat A le lendemain, $45\,\%$ prennent le plat B le lendemain.
\end{list}

\begin{list}{\textbullet}{On note pour tout entier $n$ non nul:}
\item $a_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat A le $n$-ième jour;
\item $b_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat B le $n$-ième jour;
\item $c_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat C le $n$-ième jour.
\end{list}

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note
$P_n=\begin{pmatrix} a_n &  b_n & c_n \end{pmatrix}$
l'état probabiliste le $n$-ième jour.

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
\item Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
\item Le restaurateur a noté que le premier jour $35,5\,\%$ des clients ont pris le plat A, $40,5\,\%$ ont pris le plat B et $24\,\%$ ont pris le plat C.

Calculer $P_2$.
\item Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ $15,9\,\%$.

A-t-il raison? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie 2}
\end{flushleft}

Pour le dîner, le restaurateur décide de proposer des livraisons à domicile. Il fait un essai avec huit clients.

Sur le graphe ci-dessous, les sommets représentent les différents lieux d'habitation de ces huit clients. Les arêtes représentent les rues et les valeurs indiquent les durées moyennes des trajets exprimées en minutes.

\begin{center}
\def\ray{0.1cm}
\psset{unit=1cm,radius=\ray}
\begin{pspicture}(0,0.5)(11,5.5)
%\psgrid
\Cnode*(1,4){H1} \uput[l](H1){H$_1$} \Cnode*(3,5){H2} \uput[u](H2){H$_2$}
\Cnode*(5,3){H3} \uput[dl](H3){H$_3$} \Cnode*(3,2){H4} \uput[d](H4){H$_4$}
\Cnode*(7,1){H5} \uput[dr](H5){H$_5$} \Cnode*(7,5){H6} \uput[u](H6){H$_6$}
\Cnode*(9,4){H7} \uput[ur](H7){H$_7$} \Cnode*(10,2){H8} \uput[r](H8){H$_8$}
\ncline{H1}{H2}\ncput*{9} \ncline{H1}{H3}\ncput*{16} \ncline{H1}{H4}\ncput*{8}
\ncline{H2}{H6}\ncput*{17} \ncline{H2}{H7}\ncput*{11} \ncline{H2}{H3}\ncput*{23}
\ncline{H6}{H3}\ncput*{5} \ncline{H6}{H7}\ncput*{7} \ncline{H3}{H7}\ncput*{4}
\ncline{H4}{H5}\ncput*{15} \ncline{H5}{H3}\ncput*{7}
\ncline{H3}{H8}\ncput*{28}  \ncline{H7}{H8}\ncput*{9} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes en justifiant.
\begin{enumerate}
\item Existe-t-il un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois?
\item Un tel parcours peut-il partir de H$_1$ et y revenir?
\end{enumerate}
\item En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le temps minimal pour aller de H$_4$ vers H$_8$.
Préciser le trajet correspondant.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left [ -4~;\, 10\strut\right ]$ par:

\[f(x)=1+ \left ( -4x^2 - 10x +8\right )\e^{-0,5x}.\]

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left [ -4~;\, 10\strut\right ]$:

\[f'(x)=\left (2x^2-3x-14\right ) \e^{-0,5x}.\]

\item Dresser, en justifiant, le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $\left [ -4~;\, 10\strut\right ]$.\\
On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.

\newpage

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left [ -4~;\, -2\strut\right ]$.

\item 
\begin{multicols}{2}
%\parbox[t][4cm]{0.6\linewidth}{
On considère l'algorithme ci-contre.\\
\\
Recopier et compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous correspondant au deuxième passage dans la boucle.
%}
%\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{~

\columnbreak

\begin{tabular}{|@{\hspace*{1cm}}p{4cm}|}
\hline
$a\leftarrow -4$\\
$b\leftarrow -2$\\
Tant que $(b-a) > 10^{-1}$\\
\hspace*{1cm} $m \leftarrow \dfrac{a+b}{2}$\\
\hspace*{1cm} $p\leftarrow f(a)\times f(m)$\\
\hspace*{1cm} Si $p>0$ alors\\
\hspace*{2cm} $a\leftarrow m$ \\
\hspace*{1cm}  Sinon\\
\hspace*{2cm} $b\leftarrow m$\\
\hspace*{1cm} Fin Si\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
%}
\end{multicols}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{|*7{c|}}
\hline
 & $m$ & signe de $p$ & $a$ & $b$ & $b-a$ & $b-a>10^{-1}$\\
 \hline
 Initialisation & \cellcolor{lightgray!40} & \cellcolor{lightgray!40} & $-4$ & $-2$ & $2$ & VRAI\\
 \hline
 \parbox[c]{3.2cm}{\centering Après le 1\ier{} passage\\ dans la boucle} & $-3$\rule[-12pt]{0pt}{30pt} & Négatif & $-4$ & $-3$ & $1$ & VRAI\\
 \hline
 \parbox[c]{3.5cm}{\centering Après le 2\ieme{} passage\\ dans la boucle} & \hspace*{1cm} \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& &  &  &  & \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item À la fin de l'exécution de l'algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent les valeurs $\np{-3,1875}$ et $-3,125$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item On admet qu'une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left [ -4~;\, 10\strut\right ]$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=x + \left ( 8x^2 + 52x + 88 \right ) \e^{-0,5x}$.

Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left [ -4~;\, 10\strut\right ]$. Arrondir au centième.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

D'après un sondage sur la fréquence de rejet de produits polluants dans les canalisations, on estime que $72\,\%$ de la population est respectueuse de son environnement.

On interroge 300 personnes choisies au hasard pour savoir si elles jettent régulièrement des produits polluants dans les canalisations, ce qui permet de repérer des personnes respectueuses de leur environnement. On estime que la population est suffisamment grande pour que ce choix de 300 personnes soit assimilable à un tirage avec remise.

\smallskip

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes respectueuses de leur environnement dans un échantillon de 300 personnes choisies au hasard.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $X$? Justifier.
\item Calculer la probabilité que 190 personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
\item Calculer la probabilité qu'au moins 220 personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie 2}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation: $2x^2-7x-4 \geqslant 0$.
\item On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle $\left [ 0~;\, 10\strut\right ]$.
Calculer la probabilité que ce nombre soit solution de l'inéquation précédente.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie 3}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $2,3$ et d'écart-type  $0,11$.
 \begin{enumerate}
 \item Calculer $P(2,18 \leqslant Z \leqslant 2,42)$. Arrondir à $10^{-2}$.
 \item Calculer $P(Z\geqslant 2,25)$.  Arrondir à $10^{-2}$.
 \end{enumerate}

\item On suppose maintenant que $Z$ suit une loi normale d'espérance $2,3$ et d'écart-type $\sigma$.

Donner une valeur approchée de $\sigma$ pour que $P(2,18 \leqslant Z \leqslant 2,42) \approx 0,95$. Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}