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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small  11 septembre 2015}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole--La Réunion 11 septembre 2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Lors d'une opération promotionnelle, un magasin d'électroménager propose deux
modèles de téléviseurs: un modèle A et un modèle B.

On s'intéresse aux acheteurs qui profitent de cette promotion.

70\,\% des acheteurs choisissent un téléviseur de modèle A.

Pour ces deux téléviseurs, le magasin propose une extension de garantie de 5 ans.

40\,\% des acheteurs du téléviseur de modèle A choisissent l'extension de garantie et
50\,\% des acheteurs du téléviseur de modèle B choisissent cette extension.

On interroge au hasard un acheteur à la sortie du magasin.

Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.
Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.\index{probabilités}

On note :

$A$ l'évènement \og Un acheteur choisit le téléviseur de modèle A \fg{} ;

$B$ l'évènement \og Un acheteur choisit le téléviseur de modèle B \fg{} ;

$E$ l'évènement \og Un acheteur choisit l'extension de garantie \fg,

\medskip

On note $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.\index{arbre}
\item Calculer la probabilité qu'un acheteur choisisse le modèle A avec l'extension de
garantie.
\item Montrer que $p(E) = 0,43$.
\item Un acheteur n'a pas pris l'extension de garantie, calculer la probabilité qu'il ait
acheté le modèle A.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le directeur du magasin souhaite estimer, parmi tous ses clients, le pourcentage de
personnes qui trouvent l'opération promotionnelle intéressante.

Pour cela, il interroge au hasard $210$~clients et note que $123$ la trouvent intéressante.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% pour la proportion de clients qui
trouvent l'opération promotionnelle intéressante.\index{intervalle de confiance}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour sa prochaine promotion, le directeur s'intéresse à l'âge de ses clients. On modélise
l'âge des clients en années par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de
moyenne $\mu = 40$ et d'écart-type $\sigma = 8$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un client ait plus de $60$~ans.
\item Calculer la probabilité qu'un client ait un âge compris entre $30$ et $50$~ans.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~5].

\bigskip

\textbf{Partie A - À l'aide d'un graphique}

\medskip

On a représenté ci-dessous la courbe $\left(C_{f'}\right)$ de la fonction dérivée $f'$ ainsi que la courbe $\left(C_{f''}\right)$ de la fonction dérivée seconde $f''$ sur l'intervalle [0~;~5].

Le point A de coordonnées (1~;~0) appartient à $\left(C_{f'}\right)$ et le point B de coordonnées (2~;~0) appartient à la courbe $\left(C_{f''}\right)$.

\begin{center}
\psset{xunit=2.3cm,yunit=1.15cm,comma=true}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture*}(-0.2,-6)(5,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=2](0,0)(0,-5.9)(5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{5 5 x mul sub 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{0}{5}{5 x mul 10 sub
 2.71828 x exp div}
\uput[u](0.8,0.8){\blue $\left(C_{f'}\right)$}
\uput[d](0.8,-3.9){\red $\left(C_{f''}\right)$}
\psdots(1,0)(2,0)
\uput[ur](1,0){A}\uput[ur](2,0){B}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Justifier.
\item Déterminer sur quel(s) intervalle(s), la fonction $f$ est convexe. Justifier.\index{fonction convexe}
\item La courbe de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s)
abscisse(s).\index{point d'inflexion}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur [0~;~5] par 

\[f(x) = 5x\text{e}^{-x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [0~;~5].
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur [0~;~5] par $F(x) = (- 5x - 5)\text{e}^{-x}$ est une
primitive de $f$ sur [0~;~5].
\item Déterminer alors la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité
par la courbe de $f$,  l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.\index{aire et intégrale}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité, candidats de L}

\medskip

Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2014 un abonnement annuel
pour ses spectacles.

L'évolution du nombre d'abonnés d'une année à la suivante est modélisée par le
directeur de l'opéra qui prévoit que 75\,\% des personnes abonnées renouvelleront leur
abonnement l'année suivante et qu'il y aura chaque année $300$ nouveaux abonnés.

Ainsi, pour tout entier naturel $n,\:u_n$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année
$(2014 + n)$.

Pour l'année 2014, il y a $500$ abonnés, autrement dit $u_0 = 500$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'entier.
\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,75u_n + 300$.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par :  pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - \np{1200}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et préciser $v_0$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire alors que pour tout entier naturel $n,\:u_n = - 700 \times 0,75^n + \np{1200}$.
		\item Calculer $u_{10}$ (arrondir à l'entier). Donner une interprétation concrète de la
valeur trouvée.
	\end{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher l'année à partir de
laquelle le nombre d'abonnements sera supérieur à \np{1190}.\index{algorithme}
	
On propose trois algorithmes :
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.15cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{Algorithme 1}&&\textbf{Algorithme 2}\\
Affecter à $n$ la valeur 0&&Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 500&&Affecter à $U$ la valeur 500\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$&&Tant que $U \leqslant  \np{1190}$\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$&&\hspace{0,4cm}Affecter à $U$ la valeur {$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$}\\
\hspace{0,4cm}Affecter à $U$ la valeur 
$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$&&\\
\hspace{0,4cm}&&\hspace{0.4cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
Fin Tant que&&Fin Tant que\\
Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$&&Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$\\
Afficher $n$&&Afficher $n$\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.25cm}X}\cline{1-1}
\textbf{Algorithme 3}&&\\
Affecter à $n$ la valeur 0&&\\
Affecter à $U$ la valeur $500$&&\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$&&\\
\hspace{0,4cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$&&\\
\hspace{0,4cm}Affecter à $U$ la valeur\\
\hspace{0,4cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$&&\\
\hspace{0,4cm}Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$&&\\
Fin Tant que&&\\
Afficher $n$&&\\ \cline{1-1}
\end{tabularx}

\medskip

Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème
posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une société d'assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque
mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que 30\,\% de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel
l'année suivante, alors que 85\,\% de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de
paiement l'année suivante.

En 2014, 60\,\% des clients paient en une fois et 40\,\% paient mensuellement.

\medskip

Dans toute la suite de l'exercice, $n$ désigne un nombre entier naturel.

On note :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie en une fois pour l'année
$2014 + n$ ;
\item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie mensuellement pour l'année $2014 + n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On a $a_0 = 0,6$ et $b_0 = 0,4$ et on note $P_n$ l'état probabiliste pour l'année $2014 + n$. Ainsi
$P_0 = \begin{pmatrix}0,6& 0,4\end{pmatrix}$.\index{matrice}

On note :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'état \og le client paie en une fois \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] B l'état \og le client paie mensuellement \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B.\index{graphe}
\item Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets
dans l'ordre alphabétique.
\item Déterminer la probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018
(arrondir les résultats au millième).
\item Déterminer l'état stable et en donner une interprétation.
\item Pour tout entier naturel $n$, justifier que $a_{n+1} = 0,55a_n + 0,15$.
\item On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire un algorithme permettant de déterminer cet entier $n$.
		\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
		
\[a_n  = \dfrac{4}{15} \times 0,55^n + \dfrac{1}{3}.\]
		
Déterminer par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
On considère la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = 2x^2\ln (x)\]

sur [0,2~;~10] et on note $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Le but de cet exercice est de prouver que la courbe $\left(C_f\right)$ admet sur [0,2~;~10] une seule tangente passant par l'origine du repère.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x \in [0,2~;~10],\: f'(x) = 2x(2\ln (x) + 1)$.\index{dérivée}
\item Soit $a$ un réel de [0,2~;~10], montrer que la tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = 2a(2\ln (a) + 1)x - 2a^2(\ln (a) + 1)$.
\item Répondre alors au problème posé.
\end{enumerate}
\end{document}