\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add,pst-func}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
% Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture Arié Yallouz
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {TES Métropole--La Réunion},
pdftitle = {13 septembre 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 13 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Metropoleseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Métropole--La Réunion ~~13 septembre 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
 Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou
l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
 
\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-contre :

On affecte 3 à la variable $N$.

Que contient la variable $S$, arrondie au dixième, à la fin de l'exécution de
l'algorithme ?
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.38\linewidth}
{\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline
$v \gets 9$\\
$S \gets 9$\\
Pour $i$ allant de 1 à $N$\\
\hspace{0.5cm}$v \gets 0,75 \times v$\\
\hspace{0.5cm}$S \gets S + v$\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabularx}
}

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 24,6 &\textbf{b.~~} $-25$ &\textbf{c.~~} 27 &\textbf{d.~~} 20,8
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Soit $a$ un réel, l'expression $\dfrac{2\text{e}^{a - 1}}{\left(\text{e}^a\right)^2}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1 &\textbf{b.~~} $2\text{e}^{3a-1}$ &\textbf{c.~~}$\text{e}^{-2}$&
\textbf{d.~~}$\dfrac{2}{\text{e}^{a + 1}}$ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\smallskip

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.

\smallskip

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée de $f'$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-7,-0.65)(7,0.65)
\multido{\n=-7+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.65)(\n,0.65)}
\multido{\n=-0.6+0.2}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](-7,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(-7,-0.65)(7,0.65)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2](0,0)(0,0)(7,0.65)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{7}{x x dup mul 1 add div}
\uput[d](-4.5,-0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le nombre de solutions dans $[-7~;~7]$ de l'équation $f'(x) = 0$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0 &\textbf{b.~~}1 &\textbf{c.~~}2 &\textbf{d.~~}3
\end{tabularx}
\medskip

\item Une valeur approchée de la solution de l'équation $f(x) = - 0,3$ sur l'intervalle $[-1~;~6]$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-3$ &\textbf{b.~~} $-0,3$ &\textbf{c.~~} 0,3 &\textbf{d.~~} 3
\end{tabularx}
\medskip

\item Le nombre de points d'inflexion dans $[- 7~;~7]$ de $\mathcal{C}_f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$0$ &\textbf{b.~~}1 &\textbf{c.~~}2 &\textbf{d.~~} 3
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, au millième.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude réalisée dans des écoles en France indique que 12,9\,\% des élèves sont gauchers. Parmi ces gauchers, on trouve 40\,\% de filles.

On choisit au hasard un élève et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $G$ : \og l'élève est gaucher \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $F$ : \og l'élève est une fille \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{Pour tout évènement $A$, on note $p(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire. De plus, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, on note $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre pondéré ci-contre et traduire sur cet arbre
les données de l'exercice.
\item Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit une fille
gauchère ?
\item Dans ces écoles, il y a 51\,\% de filles.

Montrer que $p\left(\overline{G} \cap  F\right) = \np{0,4584}$.
\item Sachant que l'on est en présence d'une élève fille, quelle est
la probabilité qu'elle soit droitière ?
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\hspace{0.4cm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1cm,levelsep=2cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G~$} \taput{\ldots}}
	{\TR{$F$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}~$} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$F$} 
	\TR{$\overline{F}$}
	}
}}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En France, la proportion de gauchers est de 13\,\%.

Un club d'escrime compte $230$ adhérents dont $110$ gauchers.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la fréquence de gauchers observée dans le club d'escrime ?
\item À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%, déterminer si le club d'escrime est représentatif de la population française.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs gauchers est modélisé par une
variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_1 = 268$ et d'écart type $\sigma_1 = 20$.

Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs droitiers est modélisé par une
variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_2 = 280$ et d'écart type $\sigma_2 = 22$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(X \leqslant 300)$ et $P(Y \leqslant 300)$.
		\item Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, les courbes $C$ et $C'$ représentent les fonctions de densité des variables aléatoires $X$ et $Y$.
	
Indiquer, pour chaque variable aléatoire $X$ et $Y$, la courbe correspondante. Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm,yunit=150cm,algebraic=true,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.005)(160,0.0275)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=200,Dx=10,Dy=0.005,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(160,0.0275)
%\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=84,sigma=20]{0}{160}
\def\f{1/(20*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-68)/20)^2)/2)}
\def\g{1/(22*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-80)/22)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{160}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{160}{\g}
\multido{\n=0+10}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.0275)}
\multido{\n=0.000+0.005}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(160,\n)}
\uput[ul](40,0.008){\blue $C$}\uput[ur](100,0.0125){$C'$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

Une école de danse a ouvert ses portes en 2016. Cette année là, elle comptait $800$ inscrits.

Chaque année, elle prévoit une augmentation de 15\,\% des inscriptions ainsi que $90$
désinscriptions.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'inscrits l'année $2016+n$.

\smallskip

Chaque inscrit paye une cotisation annuelle de $150$ euros, sur laquelle l'école conserve un bénéfice de $20$~euros après avoir payé tous ses frais fixes. L'école économise ce bénéfice afin de construire une nouvelle salle de danse. Pour cela, elle a besoin d'un budget de \np{125000}~euros.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée en annexe.

Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne C soient arrondis à
l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir en C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre
d'inscrits l'année de rang $n$ ?
\item Quelle formule peut-on saisir en E3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l'année de rang $n$ ?
\item Compléter sur l'annexe, à rendre avec la copie, les six cellules des lignes qui
correspondent aux années 2021 et 2022.
\item En quelle année l'école pourra-t-elle construire sa nouvelle salle de danse ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, \:$u_{n+1} = 1,15u_n - 90$ et préciser $u_0$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 600$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
		
Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 200 \times  1,15^n + 600$.
	\end{enumerate}
\item À partir de quelle année, cette école accueillera-t-elle plus de \np{2000} adhérents ?
\end{enumerate}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\textbf{Partie A}

\medskip

Un investisseur immobilier doit visiter plusieurs biens à vendre dans une ville. 

Le graphe ci-contre représente le plan de la
ville. Les biens à visiter sont identifiés par les
lettres A, B, C, D, E, F et G. 

Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minute,
entre deux biens.} \hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(12,6.5)
\rput(0.4,7){\dotnode{A}{\uput[u](A){A}}}
\rput(4,6.5){\dotnode{B}{\uput[u](B){B}}}
\rput(3,3.3){\dotnode{C}{\uput[l](C){C}}}
\rput(10,4){\dotnode{D}{\uput[r](D){D}}}
\rput(6.4,2){\dotnode{E}{\uput[d](E){E}}}
\rput(0.8,0.2){\dotnode{F}{\uput[d](F){F}}}
\rput(8.7,0.2){\dotnode{G}{\uput[d](G){G}}}
\begin{footnotesize}
\ncline{A}{B}\ncput*{8}
\ncline{A}{C}\ncput*{12}
\ncline{F}{A}\ncput*{14}
\ncline{C}{B}\ncput*{11}
\ncline{B}{D}\ncput*{16}
\ncline{B}{E}\ncput*{15}
\ncline{C}{E}\ncput*{10}
\ncline{F}{C}\ncput*{19}
\ncline{F}{E}\ncput*{9}
\ncline{E}{D}\ncput*{6}
\ncline{G}{D}\ncput*{6}
\ncline{F}{G}\ncput*{19}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Afin de découvrir la ville, l'investisseur souhaite emprunter, une fois et une seule, chacune des rues reliant les biens. Quelles caractéristiques du graphe
permettent d'affirmer qu'il existe un tel trajet ?
		\item Donner un exemple d'un tel trajet et préciser sa durée en minute.
	\end{enumerate}
\item Lorsque l'investisseur immobilier termine ses visites par le bien A, il souhaite revenir au bien G le plus rapidement possible. Déterminer ce plus court chemin à l'aide d'un algorithme. Quelle est sa durée en minute ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip


L'investisseur commande une étude sur la population de sa ville qui lui révèle qu'en 2018,
80\,\% des locataires occupent un studio et 20\,\% des locataires occupent un T2 (appartement de deux pièces).

Le nombre total de locataires ne varie pas mais chaque année :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la moitié des locataires en studio le conserve tandis que l'autre moitié change pour un T2 ;
\item[$\bullet~~$] un quart des locataires en T2 change pour un studio tandis que les autres conservent leur T2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère les événements suivants:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $S$ : \og le locataire occupe un studio \fg{};
\item[$\bullet~~$] $T$ : \og le locataire occupe un T2 \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets S et T.
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $s_n$ la proportion de locataires en studio et $t_n$ la proportion de locataires en T2 l'année $2018 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition associée à ce graphe.
		\item Donner l'état initial du graphe.
		\item Quel sera le pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, de locataires en studio en 2023 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Une entreprise vend des voitures télécommandées. La vente mensuelle varie entre \np{1000} et \np{5000}~voitures.

Une étude montre que la recette mensuelle totale de l'entreprise est de \np{70000} euros
lorsqu'elle vend \np{1000} voitures.

On note $r(x)$ la recette mensuelle réalisée par l'entreprise, exprimée en dizaine de milliers d'euros, pour la vente de $x$ milliers de voitures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $r(1)$.
\item On admet que, pour tout $x \in [1~;~5]$, la recette mensuelle est modélisée par :
\[r(x) = 6 + x + 2\ln (x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x \in [1~;~5]$,

\[r'(x) = \dfrac{x+2}{x}\]
		
		\item Étudier les variations de $r$ sur l'intervalle $[1~;~5]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $r(x) = 10$ admet une unique solution $\alpha$ dans
l'intervalle $[1~;~5]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ au millième.
		\item Déterminer le nombre minimal de voitures télécommandées vendues à partir
duquel l'entreprise réalise une recette supérieure à \np{100000}~euros.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in [1~;~5]$ par $g(x) = 2\ln (x)$.
		
Montrer que la fonction $G$ définie pour tout $x \in [1~;~5]$ par
		
\[G(x) = 2x[\ln (x) - 1]\]
		
est une primitive de la fonction $g$.
		\item En déduire une primitive $R$ de la fonction $r$ sur l'intervalle $[1~;~5]$.
		\item Donner une valeur approchée à la dizaine d'euros de la valeur moyenne de la
recette totale lorsque l'entreprise vend entre \np{2000} et \np{4000} voitures
télécommandées.
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
 \newpage
 
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  & A 		&B 				&C 					&D 				&E\\ \hline
1 &année 	&rang de l'année &nombre d'inscrits &bénéfice annuel &bénéfices cumulés\\ \hline
2 &2016 	&0 				&800 				&\np{16000} 		&\np{16000}\\ \hline
3 &2017 	&1 				&830 				&\np{16600} 		&\np{32600}\\ \hline
4 &2018 	&2 				&865 				&\np{17300} 		&\np{49900}\\ \hline
5 &2019 	&3 				&904 				&\np{18080} 		&\np{67980}\\ \hline
6 &2020 	&4 				&950 				&\np{19000} 		&\np{86980}\\ \hline
7 &2021 	&5				&					&					&\\ \hline
8 &2022 	&6				&					&					&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}