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% Tapuscrit François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion}}
\rfoot{\small 21 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Métropole - La Réunion~\decofourright\\[5pt] 21 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

\begin{enumerate}
\item \emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.}

On considère l'arbre pondéré suivant:

\begin{center}
{\bigskip
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\naput{$0,7$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$0,4$}
			                \TR{$\overline{S}$}\nbput{$0,6$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{$0,3$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$0,2$}
			                \TR{$\overline{S}$}\nbput{$0,8$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}

\textbf{Affirmation 1}: La probabilité de $\overline{R}$ sachant $S$ est $0,06$.

\medskip

\item Soit $k$ un réel tel que $0 \leqslant k < 18$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left [k~;\, 18\strut\right ]$. On suppose que l'espérance de $X$ est égale à 12.

\smallskip

\textbf{Affirmation 2}: La valeur de $k$ est 9.

\medskip

\item On considère l'équation suivante:

\[\ln\left (x^2\right ) - \ln \left ( \dfrac{x^5}{\e}\right ) + \ln(2) = \ln(2x) +5.\]

\smallskip

\textbf{Affirmation 3}: $\dfrac{1}{\e}$ est l'unique solution de cette équation.

\medskip

\item Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $\left [0~;\, 15\strut\right ]$. On suppose que sa fonction dérivée, notée $f'$, est continue sur $\left [0~;\, 15\strut\right ]$. Les variations de $f'$ sont représentées dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \esp & 5 & \esp & 15 \\
\hline
  & \Rnode{max1}{30}  &  &  &  & \Rnode{max2}{20}   \\
f'(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{-5} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Affirmation 4}: La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.

\smallskip

\textbf{Affirmation 5}: La fonction $f$ est convexe sur $\left [5~;\, 15\strut\right ]$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L}

\medskip

En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l'agriculture biologique, a acheté une ferme de 14 hectares de pommiers. Elle estime qu'il y a 300 pommiers par hectare. Chaque année, Laurence élimine 4\,\% des pommiers existants et replantera 22 nouveaux pommiers par hectare.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de pommiers par hectare l'année $2018+n$. On a ainsi $u_0=300$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n + 22$.
\item Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l'unité, en 2020.
\end{enumerate}
\item Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera 400 pommiers par hectare. Pour cela on utilise l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$N \leftarrow 0$\\
$U \leftarrow 300$\\
Tant que $U \ldots$\\
\hspace*{1cm} $N \leftarrow N+1$\\
\hspace*{1cm} $U \leftarrow \ldots$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus pour qu'il détermine le rang de l'année cherchée.
\item Quelle est la valeur de $N$ en sortie d'algorithme?
\end{enumerate}

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant $v_n = u_n - 550$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démonter que:

\[u_n = 550 - 250\times 0,96^{n}.\]
\item Estimer le nombre de pommiers de l'exploitation de Laurence en 2025.
\item En résolvant l'inéquation $u_n > 400$, retrouver le résultat obtenu à la question \textbf{2.b.}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

Pour se rendre à l'université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l'un passant par les routes départementales, l'autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires.

Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu'elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de $0,6$.

Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu'elle emprunte la voie rapide le lendemain est de $0,2$.

Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $D$ l'évènement \og Julie emprunte les routes départementales \fg{};
\item $R$ l'évènement \og Julie emprunte la voie rapide \fg{}.  
\end{list}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Traduire ces informations à l'aide d'un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $D$ et $R$.
\item Donner la matrice de transition $M$ correspondant au graphe probabiliste. Les sommets du graphe seront rangés dans l'ordre alphabétique.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, l'état probabiliste le $n$-ième jour est défini par la matrice
$P_n = \begin{pmatrix} d_n & r_n \end{pmatrix}$
où $d_n$ désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $n$-ième jour et $r_n$ la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le $n$-ième jour.

\begin{enumerate}
\item Donner $P_1$.
\item Calculer $M^2$ et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $3\ieme$ jour.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et en déduire les expressions de $d_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de $d_n$ et $r_n$.
\item Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes $d_3$ et $r_3$?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|}
\hline
Algorithme 1 & Algorithme 2 & Algorithme 3\\
\hline
$D \leftarrow 0$ & $D \leftarrow 0$ & $D \leftarrow 0$\\
$R \leftarrow 1$ & $R \leftarrow 1$ & $R \leftarrow 1$\\
Pour $N$ allant de 1 à 3 & Pour $N$ allant de 1 à 3 & Pour $N$ allant de 2 à 3\\
\hspace*{0.5cm} $D\leftarrow 0,8 D + 0,4 R$ & \hspace*{0.5cm} $D\leftarrow 0,8 D + 0,4 R$ & \hspace*{0.5cm} $D\leftarrow 0,8 D + 0,4 R$\\
\hspace*{0.5cm} $R\leftarrow 0,2 D + 0,6 R$ & \hspace*{0.5cm} $R\leftarrow 1-D$ & \hspace*{0.5cm} $R\leftarrow 1 - D$ \\
Fin Pour & Fin Pour  & Fin Pour \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1}=0,4 r_n + 0,2$.

\item On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=r_n-\dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_1$.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul:

\[v_n=\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{3}\times 0,4^{n}.\]

\item Que peut-on prévoir à long terme?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{\emph{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.}}

\emph{Les résultats seront arrondis au centième.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Les cours d'eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou de pénurie d'eau.

Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d'une rivière.

Ce débit en mètre cube par seconde (m$^3$.s$^{-1}$) peut être modélisé par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 15,5$ et $\sigma = 6$.

On estime qu'il y a pénurie d'eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à 8~m$^3$.s$^{-1}$.

On estime qu'il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à 26~m$^3$.s$^{-1}$.

Entre ces deux débits, il n'y a pas de vigilance particulière.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'il y ait pénurie d'eau.
\item Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas de vigilance particulière.
\item Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5$~m$^3$.s$^{-1}$ et $27,5$~m$^3$.s$^{-1}$ est d'environ $0,95$. 
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d'eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.

Un quart des relevés est effectué par l'équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.

On choisit 10 relevés au hasard sur l'ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à 10 tirages avec remise.
On s'intéresse au nombre de relevés effectués par l'équipe de Sébastien parmi ces 10 relevés.

\begin{enumerate}
\item Quelle loi de probabilité modélise cette situation? Préciser les paramètres de cette loi.
\item Calculer la probabilité que 4 relevés exactement soient effectués par l'équipe de Sébastien.
\item Calculer la probabilité qu'au moins 2 relevés soient effectués par l'équipe de Sébastien.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l'eau: \og satisfaisante \fg{} ou \og non satisfaisante \fg. On s'intéresse à la proportion de relevés de qualité \og satisfaisante \fg. Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de $95\,\%$ dont l'amplitude est inférieure à $0,1$?


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d'un fauteuil (ébauche du fauteuil en \textbf{annexe 1}).
On modélise l'accoudoir à l'aide de la fonction $f$ définie sur $\left [0~;\, 60\strut\right ]$ par;

\[f(x) = 70 + \left (14x+42\right ) \e^{-\frac{x}{5}}.\]

La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$ est donnée en \textbf{annexe 2}.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\emph{Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de $f$ donnée en \textbf{annexe 2}.}

\smallskip

On admet que le point A de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 7 est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une valeur approchée de $f(0)$ et $f(60)$.
\item Déterminer $f''(7)$.
\item On considère la surface située entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$, et les droites d'équation $x=0$ et $x=60$.
\begin{enumerate}
\item Hachurer la surface décrite ci-dessus sur l'\textbf{annexe 2}.
\item L'ébéniste estime l'aire de cette surface à \np{3800} unités d'aire. Cette estimation est-elle correcte?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$ on a:

\[f'(x)= \dfrac{1}{5}\left ( -14x+28\right )\e^{-\frac{x}{5}}.\]

\item
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$.

On arrondira à l'unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.
\end{enumerate}

\item Un logiciel de calcul formel permet d'afficher les lignes suivantes:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
1       & Dérivée $\left (\text{Dérivée }\left (70+\left (14x+42\right ) \e^{-\frac{x}{5}}\right )\right )$\\
$\circ$ & \boldmath{$\rightarrow\quad\dfrac{1}{25}\left (14x+42\right ) \e^{-\frac{1}{5}x} - \dfrac{28}{5\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\e^{-\frac{1}{5}x}$}\\
\hline
2      & Factoriser $\left (\dfrac{1}{25}\left (14x+42\right ) \e^{-\frac{1}{5}x} - \dfrac{28}{5}\e^{-\frac{1}{5}x} \right )$\\
$\circ$ & \boldmath{$\rightarrow\quad 14\e^{-\frac{1}{5}x}.\dfrac{x-7}{25\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$}\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}

En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de $f$.

\item Pour tout nombre réel de l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$, on pose:

\[g(x) = \left ( 14x+42\right ) \e^{-\frac{x}{5}}\]

\hfill{}et\hfill{}

\[G(x)=\left (-70x-560\right ) \e^{-\frac{x}{5}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$.
\item En déduire une primitive de $f$ sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$.
\item Calculer la valeur exacte de 
$\ds\int_{0}^{60} f(x) \d x$,
puis en donner une valeur approchée à l'unité d'aire près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

L'ébéniste découpe 2 accoudoirs identiques sur le modèle de la surface hachurée de l'annexe 2 en choisissant comme unité le cm.

Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (\textbf{annexe 1}) ainsi que le dossier du fauteuil dont l'aire est égale à \np{5400}~cm$^2$. Or il lui reste le quart d'un petit pot de vernis pouvant couvrir $10$~m$^2$. Aura-t-il suffisamment de vernis?

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexes: à rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 4}

\textbf{Annexe 1: ébauche du fauteuil}

%\begin{center}
%\includegraphics*[scale=0.3]{metro.eps}
%\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=.6cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(9,13)
\newrgbcolor{C0}{0.28 0.25 .35}
\newrgbcolor{C1}{.78 .75 .75}
\newrgbcolor{C2}{1 .26 .28}
\newrgbcolor{C3}{.88 .86 .84}
\newrgbcolor{C4}{.92 .91 .89}
\newrgbcolor{C5}{.92 .92 .92}
\psset{Alpha=150,Beta=35,linecolor=C0, linewidth=1pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\pstThreeDLine(.2,0.8,11.6922)(.2,5,11.6922)(.2,5,0)(.2,.8,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\pstThreeDLine(0.1,5,0)(.1,5,11.58)(.1,5.8,11.58)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](0.1,6){t 5.8 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,5.8,0)(6,5,0)(0,5.8,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](0,6){t 5 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,5,0)(0,5,0)(0,5,11.2)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\pstThreeDLine(6,0,5)(6,5,5)(0,5,5)(0,0,5)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\pstThreeDLine(0.1,0,0)(.1,0,11.58)(.1,0.8,11.58)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](0.1,6){t .8 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,0.8,0)(6,0,0)(0,0.8,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](0,6){t 0 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,0,0)(0,0,0)(0,0,11.2)
}
\pstThreeDLine(6,0,7)(6,0.8,7)\pstThreeDLine(6,5,7)(6,5.8,7)
\pstThreeDLine[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](0,0,0)(0,5,0)(0,5,5)\pstThreeDLine[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](0,5,0)(3.5,5,0)\pstThreeDLine[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](0,4,5)(0,.8,5)(6,.8,5)
\rput(-3,3){\rnode{A}{\psframebox{\parbox{1.5cm}{\centering{\sf{\small{Face d'un accoudoir}}}}}}}
\pnode(1,3){B}
\ncline[linewidth=1.5pt]{->}{A}{B}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Annexe 2}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm, yunit=0.05cm}
\def\xmin {-4}   \def\xmax {62}
\def\ymin {-10}   \def\ymax {145}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=2cm,yunit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(7,8) 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt,Dx=10,Dy=20]{->}%
(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
%\uput[dl](0,0){O}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{60}{70 14 x mul 42 add 2.7183 x -5 div exp mul add}
\uput[u](25,72,64){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000]{-1}{38}{-3.45 x mul 128.69 add}
\psdot(7,104.52) \uput[ur](7,104.52){A}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}