\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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%\usepackage{titletoc} %gestion des sections, titres ...
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\usepackage[np]{numprint}%  Formatage des nombres

%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

%Packages Figures et graphiques
%\usepackage{graphics} %inclusion de figures
\usepackage{graphicx} %inclusion de figures
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-coil,pst-node,pst-eucl,pst-text,pst-tree} %Graphiques

%Mise en page
\setlength{\parindent}{0cm} 
\setlength{\parskip}{0.25cm plus 1ex minus 1ex}

%Corrigé : Nathalie Daval
%Relu par François Hache
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}

\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\arabic{enumiii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii)}}
% permet d'avoir a. au lieu de (a) dans une énumération de niveau 2
% voir : http://cahiers.gutenberg.eu.org/cg-bin/article/CG_1994___17_32_0.pdf

%Divers
%\hbadness=10000
%\hfuzz=50pt
%\pdfcompresslevel9
\def\N{{\mathbb N}}
\def\R{{\mathbb R}}
\newenvironment{liste}{\begin{list}{$\bullet$}{\setlength{\itemsep}{\parsep}}}{\end{list}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%  displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%     crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%     crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal

\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Métropole - La Réunion - 22 juin 2016},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 

\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%% Corrigé : Nathalie DAVAL et François Hache pour la spécialité

\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{22 juin 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Métropole -- La Réunion~\decofourright\\[7pt]22 juin 2016}}}
\end{center}

\bigskip

\subsection*{Exercice 1 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}

\begin{enumerate}
   \item {\red b}
   
L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% est
$\left [ \dfrac{225}{300} - \dfrac{1}{\ds\sqrt{300}}\,;\,\dfrac{225}{300} + \dfrac{1}{\ds\sqrt{300}}\right]  \approx \cd  0,692\,;\,0,808 \cg$. 
   
   \item {\red d}

Si $X$ est la variable aléatoire donnant un nombre au hasard dans l'intervalle $\cd 4\,;\,11 \cg$; alors

$P(X \pp 10) = \dfrac{10-4}{11-4} = \dfrac{6}{7}$.   
   
   \item {\red d}
   
$f(x)= (x+1)\e^{-2x+3}$ donc 
$f'(x)=1\times \e^{-2x+3} + (x+1)(-2)\e^{-2x+3} = (-2x-1)\e^{-2x+3}$   
   
   \item {\red c}
   
La dérivée seconde $f''$ s'annule et change de signe en $x=1$, donc la courbe représentant la fonction $f$ admet un point d'inflexion en $x=1$.   
   
\end{enumerate}

\bigskip


\subsection*{Exercice 2 \hfill {\small Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité  et candidats de L} \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
     \item D'une année sur l'autre, le loueur vend 25\,\% de ses voitures donc il lui en reste 75\,\%, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac{25}{100} =0,75$. De plus, il achète 3\,000 voitures chaque année, qu'il faut ajouter au nombre de voitures du parc automobile. \\
     On a alors pour tout entier naturel $n$ : {\red $u_{n+1} = 0,75\times u_n+3\,000$}.
     \item 
     \begin{enumerate}
        \item On cherche une expression du type $v_{n+1} =q\times v_n$.
        \begin{align*}
           v_{n+1} & =u_{n+1}-\np{12000} \\
           & =0,75\times u_n+\np{3000}-\np{12000} \\
           & = 0,75\times(v_n+\np{12000})-\np{9000} \\
           & = 0,75\times v_n+\np{9000}-\np{9000} \\
           v_{n+1} & = 0,75\times  v_n
        \end{align*}
        $v_0=u_0-\np{12000} =\np{10000}-\np{12000} =-\np{2000}$\\
        {\red $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,75 de premier terme $-\np{2000}$}.

        \item Pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0 \times q^n$ soit {\red $v_n =-2\,000 \times 0,75^n$}. \\
        $\lim\limits_{n\to+\infty}0,75^n=0$ car $0<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}-\np{2000}\times 0,75^n =0$. \\
        {\red La limite de la suite $(v_n)$ est 0}.

        \item $u_n =v_n+\np{12000}$ donc, {\red $u_n=\np{12000}-\np{2000}\times 0,75^n$}.

        \item On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\np{12000}-\np{2000}\times 0,75^n=\np{12000}$. \\
        {\red On peut conjecturer qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre de voitures se stabilisera à \np{12000}}.
     \end{enumerate}

     \item

     \begin{enumerate}
        \item On complète l'algorithme:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l @{\hspace*{0.5cm}}l|}
\hline
Initialisation & U prend la valeur \np{10000}\\
               & N prend la valeur 0\\
Traitement     & Tant que {\red $\text U < \np{11950}$ faire}\\
               & \hspace*{0.3cm} N prend la valeur $\red \text N + 1$ \\
               & \hspace*{0.3cm} U prend la valeur $\red 0,75\,\text{U} + \np{3000}$ \hspace*{1cm}{}\\
               & Fin Tant que\\
Sortie         & Afficher {\red N}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

        \item La calculatrice donne {\red N =13}, ce qui correspond à l'année 2028.
        \item Résolution de l'inéquation :
        \begin{align*}
        \np{12000}-\np{2000}\times0,75^n\geqslant \np{11950} &\Longleftrightarrow-\np{2000} \times0,75^n\geqslant \np{11950}-\np{12000} \\
        &\Longleftrightarrow0,75^n\leqslant\dfrac{-50}{-\np{2000}} \\
        &\Longleftrightarrow\ln(0,75^n)\leqslant\ln(0,025)\\
        &\Longleftrightarrow n\ln(0,75)\leqslant\ln(0,025) \\
        &\Longleftrightarrow n\geqslant\dfrac{\ln(0,025)}{\ln(0,75)}
        \end{align*}
        Or, $\dfrac{\ln(0,025)}{\ln(0,75)}\approx 12,8$ donc, on retrouve bien la valeur de {\red $n  = 13$}.
     \end{enumerate}
 \end{enumerate}    

\bigskip

\subsection*{Exercice 2 \hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1\up{er} janvier 2014.
%
%On admet que :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;
%\item[$\bullet~~$] s'il ne court pas un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,4.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%On note $C$ l'état \og Hugo court \fg{} et $R$ l'état \og Hugo ne court pas \fg.
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $c_n$ la probabilité de l'évènement \og Hugo court le $(n + 1)$-ième jour \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $r_n$ la probabilité de l'évènement \og Hugo ne court pas le $(n + 1)$-ième jour\fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}c_n& r_n\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste le $(n + 1)$-ième jour.
%\end{itemize}
%
%\smallskip
%
%Le 1\up{er} janvier 2014, motivé, le jeune homme court.
%
%On a donc : $P_0 = \begin{pmatrix}c_0& r_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}

\item On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $R$:

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{$C$}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{$R$}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{0,2}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{0,6}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{0,8}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{0,4}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}%   définition des sommets
\ncarc{->}{G}{D} \Aput{\valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90]{->}{G}{4mm}   \Bput{\valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}

\item%  Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.


$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
c_{n+1} & 0,8\,c_n + 0,6\,r_n\\
r_{n+1} & 0,2\,c_n + 0,4\,r_n
\end{array}
\right .
\iff
\begin{pmatrix}
c_{n+1} & r_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c_{n} & r_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,8 & 0,2 \\ 0,6 & 0,4
\end{pmatrix}$ 

La matrice de transition de ce graphe est donc
$\red M=
\begin{pmatrix}
0,8 & 0,2 \\ 0,6 & 0,4
\end{pmatrix}$.

\item  On donne $M^6 = 
\begin{pmatrix}
\np{0,750016}&  \np{0,249984} 
\\\np{0,749952} &\np{0,250048}
\end{pmatrix}$·

%Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité $c_6$ qu'Hugo coure le 7\up{e} jour ?

%Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $c_6$.

Pour déterminer la probabilité $c_6$ qu'Hugo coure le 7\up{e} jour, il faut déterminer $P_6$. d'après le cours, on sait que $P_6=P_0 \times M^6$ donc:
$\begin{pmatrix} c_6 & r_6\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
\np{0,750016}&  \np{0,249984} 
\\\np{0,749952} &\np{0,250048}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\np{0,750016}&  \np{0,249984} 
\end{pmatrix}$

La probabilité qu'Hugo coure le 7\up{e} jour est d'environ {\red 0,75.} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.
Par définition, $\red P_{n+1} = P_n \times M$.

		\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $c_{n+1} = 0,2c_n + 0,6$.
$P_{n+1} = P_n \times M
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
c_{n+1} & 0,8\,c_n + 0,6\,r_n\\
r_{n+1} & 0,2\,c_n + 0,4\,r_n
\end{array}
\right.
\implies
c_{n+1} = 0,8\,c_n + 0,6\,r_n$

Mais, d'après le texte, pour tout $n$: $c_n+r_n=1$ donc:
		
$c_{n+1} = 0,8\,c_n + 0,6\,r_n
 = 0,8\,c_n + 0,6(1-c_n)
 = 0,8\,c_n + 0,6 - 0,6\,c_n
 = \red 0,2\,c_n + 0,6$		
				
	\end{enumerate}

\item  Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = c_n - 0,75$; donc $c_n=v_n+0,75$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,2$. Préciser le premier terme.
$v_{n+1}=c_{n+1}-0,75 = 0,2 c_n + 0,6 - 0,75
= 0,2(v_n+0,75) - 0,15
= 0,2 v_n + 0,15 - 0,15
= 0,2 v_n$

$v_0 = c_0 -0,75 = 1 - 0,75 = 0,25$

{\red Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,2$ et de premier terme $v_0=0,25$.}
  
		\item% Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, 
$v_n=v_0\times q^n = \red 0,25\times 0,2^n$.
		
%Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,2 et $0<0,2<1$ donc {\red la suite $(v_n)$ a pour limite 0.}

		\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\: $c_n = 0,75 + 0,25\times 0,2^n$.
On a vu que, pour tout $n$, $c_n=v_n+0,75$ et que $v_n=0,25\times 0,2^n$;

on en déduit que, pour tout $n$, $\red c_n=0,75 + 0,25\times 0,2^n$.

		\item% Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 ?

On sait que la suite $(v_n)$ a pour limite 0 et que, pour tout $n$, $c_n=0,75+v_n$; on peut donc en déduire que la suite $(c_n)$ a pour limite 0,75.

Entre le 1\ier{} janvier et le 29 décembre, il y a plus de 360 jours et on sait que $c_6 \approx 0,75$; donc on peut raisonnablement déduire que {\red la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre est voisine de 0,75.}
				
		\item% Conjecturer alors l'état stable de ce graphe.
On peut conjecturer que l'état stable 
$\begin{pmatrix} c & r \end{pmatrix}$
correspond à $c=0,75$ et $r=1-c=0,25$.

%Comment valider votre conjecture ?

$\begin{pmatrix} 0,75 & 0,25 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,8 & 0,2 \\ 0,6 & 0,4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,75\times 0,8 + 0,25\times 0,6
&  0,75\times 0,2 + 0,25\times 0,4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,75 & 0,25 \end{pmatrix}$

{\red L'état stable du système est donc
$\begin{pmatrix} 0,75 & 0,25 \end{pmatrix}$.}

  	\end{enumerate}

\end{enumerate}
      
\bigskip      
      
\subsection*{Exercice 3 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}   

\subsubsection*{Partie A}

%On résume les données du texte dans un arbre pondéré:
%      
%\begin{center}
%\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
%{
%	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$R$}\taput{\small 0,3}}
%	  { 
%		  \TR{$F$}\taput{\small $0,35$}
%		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{\small $0,65$}	   
%	  }
%	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline R$}\tbput{\small $0,7$}}
%	  {
%		  \TR{$F$}
%		  \TR{$\overline{F}$}
%	  }
%}
%\end{center}

\begin{enumerate}
   \item Une chanson est choisie au hasard et de façon équiprobable donc:
$p(R) =\dfrac{960}{3\,200} ={\red 0,3}$.

   \item 35\,\% des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français donc: $p_R(F) =\dfrac{35}{100} ={\red 0,35}$.

   \item $p(R\cap F) =p(R)\times p_R(F) =0,3\times0,35 ={\red 0,105}$

   \item D'après la formule des probabilités totales :
   
       $p(F)= p(R\cap F)  + p(\overline R\cap F)$ donc : $p(F\cap \overline R) =p(F) -p(R\cap F)$
       
38,5\,\% des chansons sont interprétées en français donc $p(F)=0,385$.        
       
      $p(F\cap \overline R) =0,385-0,105 ={\red 0,28}$

   \item $p_{\overline{R}}(F) =\dfrac{p(F\cap \overline R)}{p(\overline R)} =\dfrac{0,28}{1-0,3} ={\red 0,4}$
   
   {\red 40\,\% des chansons qui ne sont pas dans la catégorie rock sont interprétées en français}.
   
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
   \item À la calculatrice, on trouve {\red $p(15\leqslant X \leqslant 45) \approx 0,866$.}
   \item À la calculatrice, on trouve  {\red $p(X \geqslant 60) \approx 0,001$.}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Exercice 4 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}   

\subsubsection*{\textsc{Partie A: Étude graphique}}

\begin{enumerate}

   \item La tangente au point d'abscisse 1,5 est horizontale, donc {\red $f'(1,5) = 0$}.

   \item La tangente au point A a pour coefficient directeur 1 et comme ordonnée à l'origine 2 donc, une équation de sa tangente est {\red $T :y =x+2$}.

   \item L'aire est comprise {\red entre 3 et 4 unités d'aire}.

   \item La courbe semble {\red concave} sur l'intervalle $[\,0,5\,;\,6 \,]$ car {\red elle semble se situer en tout point en dessous de sa tangente}.

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\def\xmin {-0.5}     \def\xmax {6.2}
\def\ymin {-2.2}      \def\ymax {5.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}

\def\f{3 x ln mul 2 x mul sub 5 add}% définition de la fonction

%%% on hachure le domaine
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=red]
{
\def\inf{1} \def\sup{2}%   définition des bornes
\psset{plotpoints=2000}%   pour les tracés
\psplot{\inf}{\sup}{\f}
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath
}

\psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-0.1,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){$O$}
%\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180]


\psplot[plotpoints=2000]{0.5}{6}{\f}%   f
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{0}{3}{x 2 add}%   Tangente en A
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{0.2}{2.8}{3.2164}%   Tangente en B

\psdot(1,3)         \uput[dr](1,3){A}
\psdot(1.5,3.2164)  \uput[ur](1.5,3.2164){B}
\uput[dl](5.5,-1){(C)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\subsubsection*{\textsc{Partie B: Étude analytique}}

\begin{enumerate}
   \item $f(x)=-2x+5+3\ln(x)$. On calcule $f'(x)$ sur l'intervalle $\cd 0,5\,;\,6\cg$:

$f'(x) = -2\times1+0+3\times\dfrac1x = -2+\dfrac3x 
= {\red \:=\dfrac{-2x+3}{x}}$

  \item

   \begin{liste}
      \item $f(0,5) =-2\times0,5+5+3\ln(0,5) =4+3\ln(0,5) \approx 1,9 >0$
      \item $f(1,5) =-2\times1,5+5+3\ln(1,5) =2+3\ln(1,5) \approx 3,2 >0$
      \item $f(6) =-2\times6+5+3\ln(6) =-7+3\ln(6) \approx-1,6<0$
   \end{liste}  
    
   On obtient le tableau de signes et de variations suivant:

\smallskip

  \begin{center}
   \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
   \def\esp{2.5cm}
   \def\hauteur{20pt}
   $\begin{array}{|c|*5{c}|}
      \hline
      x & 0,5  & \hspace*{\esp} & 1,5 & \hspace*{1cm}{\red \alpha}\hspace*{0.5cm} & 6 \\ 
      \hline
      \text{signe de} -2x+3 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\
      \hline
      \text{signe de } x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\
      \hline
      \text{signe de } f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
      \hline
      & & & \Rnode{max}{2+3\ln(1,5)} & & \\
      \text{variations de } f & & & &  & \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
      &  \Rnode{min1}{4+3\ln(0,5)} & & & & \Rnode{min2}{-7+3\ln(6)}{}
      \ncline{->}{min1}{max} 
      \ncline{->}{max}{min2}       \rput*(-2.63,0.68){\red 0}\\
      \hline
   \end{array}$
   \end{center}

   \item
   Sur l'intervalle $[\,0,5\,;\,1,5\,]$, le minimum de $f$ est 1,9 qui est strictement positif, il n'y a donc pas de solution sur cet intervalle. \\
   Sur l'intervalle $[\,1,5\,;\,6\,]$, la fonction $f$ est décroissante et continue. \\
   $f(1,5)>0$ et $f(6)<0$; d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) =0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[\,1,5\,;\,6\,]$. \\
   Conclusion : {\red l'équation $f(x) =0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[\,0,5\,;\,6\,]$}. \\
   La calculatrice donne : \begin{tabular}{|p{4cm}}
                                        $f(4,87)\approx0,009>0$ \\
                                        $f(4,88)\approx-0,005<0$ \\
                                        \end{tabular} \\
   Une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près est {\red $4,87$} (ou {\red $4,88$}).

   \item Par lecture du tableau de variations et d'après la question précédente, $f$ est positive sur $[\,0,5\,;\,\alpha\,]$ et négative sur $[\,\alpha\,;\,0;5\,]$, d'où le tableau de signes :

\begin{center}
   \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
   \def\esp{2.5cm}
   \def\hauteur{20pt}
   $\begin{array}{|c|*5{c}|}
      \hline
      x & 0,5  & \hspace*{\esp} & \alpha & \hspace*{\esp} & 6 \\ 
      \hline
      \text{\red signe de } {\red f(x)} & & \pmb{\red+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\red 0} & \pmb{\red-} & \\
      \hline
   \end{array}$
\end{center}

\item 
   \begin{enumerate}
      \item On calcule la dérivée de la fonction $F$ définie par $F(x)=-x^2+2x+3x\ln(x)$:

      \begin{align*}
         F'(x) &=-2\times x+2\times1+3\times\ln(x)+3x\times\dfrac1x \\
         & =-2x+2+3\ln(x)+3 \\
         & =-2x+5+3\ln(x) \\
         F'(x) &=f(x)
      \end{align*}

Donc {\red $F$ est bien une primitive de $f$}.

      \item Soit $\mathcal{A}$ l'aire demandée. $f$ est positive sur $[\,1\,;\,2\,]$ donc :

      \begin{align*}
         \mathcal{A}& =\displaystyle{\int_1^2} f(x)\text{d}x \\
         & =F(2)-F(1) \\
         & =(-2^2+2\times2+3\times2\ln(2))-(-1^2+2\times1+3\times1\ln(1)) \\
         & =-4+4+6\ln(2)+1-2 \\
         \mathcal{A} &=6\ln(2)-1 \approx3,159
      \end{align*}

      {\red L'aire est égale à $6\ln(2)-1\approx 3,2$ unités d'aire au dixième près.}

   \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}

