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% Tapuscrit François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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%%% redéfinitions à mettre après hypersetup
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{12 septembre 2017}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt]
 12 septembre 2017}}

\vspace{0,25cm}

%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

%\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\emph{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\def\interA{\cd -2~;~3\cg}

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\interA$. On note $f'$ la fonction dérivée de cette fonction sur l'intervalle $\interA$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {4}
\def\ymin {-2}   \def\ymax {4}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,90][$y$,0]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[dl](0,0){$0$}
\psset{linecolor=blue}
\def\f{x x x 4 mul 6 sub mul 24 sub mul 20 add 15 div}%          définition de la fonction f
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2}{3}{\f} \uput[ul](-1.8,1.36){\blue $\mathcal C$}%  tracé de la courbe
\psplot[plotpoints=2000]{-2}{3}{x neg 1.5 add} \uput[ur](-1.5,3){\blue $T$}% tangente T
\psplot[plotpoints=2000]{-2.5}{2.2}{x neg 13 30 div add} \uput[dl](-2.1,2.53){\blue $T'$}% tangente T'
\psdots(-0.5,2)(1.5,-1.067)(-1,2.267)(2,-1.33)(1,0.5)(-2,.8)(3,0.133)
{\small
\uput[dl](-0.5,2){\blue A} \uput[u](1.5,-1.067){\blue B} \uput[ul](-1,2.267){\blue D} 
\uput[u](2,-1.33){\blue E} \uput[ur](1,0.5){\blue F}  
}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{On dispose des renseignements suivants:}
\item $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point A\,$(-0,5~;~2)$, elle passe par le point F\,$(1~;~0,5)$.
\item $T'$ est la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point B d'abscisse $\dfrac{3}{2}$.
\item Les droites $T$ et $T'$ sont parallèles.
\item Les tangentes à $\mathcal C$ aux points D d'abscisse $-1$ et E d'abscisse $2$ sont parallèles à l'axe des abscisses.
\end{list}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.\index{vrai-faux}

\medskip

\textbf{Affirmation 1.}

Les nombres $f'\left (-\dfrac{1}{2}\right )$ et $f'\left (\dfrac{3}{2}\right )$ sont tous deux égaux à $-1$.\index{dérivée}

\smallskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\textbf{Affirmation 2.}\\
La courbe ci-contre représente la fonction $f'$ sur $\interA$.

\bigskip

\textbf{Affirmation 3.}

La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $\interA$.\index{fonction concave}

\bigskip

\textbf{Affirmation 4.}

Sur $\cd -2~;~0\cg$, toute primitive de $f$ est croissante.\index{primitive}

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=0.6cm}
\def\xmin {-2.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {2.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=0.3cm,subgriddiv=1, griddots=5, gridlabels=0, gridcolor=gray](0,0)(-5,-7)(7,5) 
\psaxes[arrowsize=2pt 2, ticksize=0pt 0pt,labelFontSize=\small](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[dl](0,0){$0$}
\psset{linecolor=blue}
\def\f{4 neg x x 1 sub mul 2 sub mul 5 div}%définition de la fonction f
\psplot[plotpoints=2000]{-2}{3}{\f} %tracé de la courbe
\psdots(-2,-3.2)(3,-3.2)
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\emph{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\smallskip

En janvier 2015, le directeur d'un musée d'art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

\subsubsection*{\centering Partie A}

Le musée dispose d'un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut se rendre au guichet d'entrée du musée ou commander un billet en ligne.

\begin{list}{\textbullet}{Trois types de visites sont proposés :}
\item La visite individuelle sans location d'audioguide.
\item La visite individuelle avec location d'audioguide.
\item La visite en groupe d'au moins 10 personnes. Dans ce cas, un seul billet est émis pour le groupe.
\end{list}

\medskip

Le site internet permet uniquement d'acheter les billets individuels avec ou sans audioguide.

Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d'entrée du musée.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{Sur l'année 2015 l'enquête a révélé que:}
\item 55\,\% des billets d'entrée ont été achetés au guichet du musée;
\item parmi les billets achetés au guichet du musée, 51\,\% des billets correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide, et 37\,\% à des visites avec location d'audioguide ;
\item 70\,\% des billets achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide.
\end{list}

\medskip

On choisit au hasard un billet d'entrée au musée acheté en 2015.\index{probabilité}

\begin{list}{\textbullet}{On considère les évènements suivants:}
\item $E$: \og le billet a été acheté en ligne\fg;
\item $A$: \og le billet correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide\fg{};
\item $L$: \og le billet correspond à une visite individuelle sans  location d'audioguide\fg{};
\item $G$: \og le billet correspond à une visite de groupe\fg.
\end{list}

\medskip

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, $p(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé. On note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\begin{enumerate}

\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l'énoncé :\index{arbre pondéré}


\begin{center}
\bigskip
\psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=12mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
      {\TR{}}
      {
      \pstree[nodesepA=4pt,treesep=7mm]{\TR{$E$}\naput{}}
	                        {
	                        \TR{$A$}\naput{}
			                \phantom{\TR{ES}\naput{}}
		                    \TR{$L$} \nbput{}
	                        }
      \pstree[nodesepA=4pt,treesep=7mm]{\TR{$\overline E$}\nbput{$0,55$}}
                           {
	                        \TR{$A$}\naput{$0,37$}
	                        \TR{$L$}\naput{}
	                        \TR{$G$} \nbput{}
	                        }
     }
\bigskip
\end{center}

\item Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est égale à $0,135$.

\item Montrer que $p(A)=\np{0,3385}$.

\item Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée?

On arrondira le résultat au millième.

\end{enumerate}

\subsubsection*{\centering Partie B}

Pour gérer les flux des visiteurs, une partie de l'enquête a porté sur la durée d'une visite de ce musée. Il a été établi que la durée $D$ d'une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne $\mu = 90$ et d'écart-type $\sigma = 15$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(90 \pp D \pp 120)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Le directeur précise qu'il augmentera la capacité d'accueil de l'espace restauration du musée si plus de 2\,\% des visiteurs restent plus de 2 heures et 30 minutes par visite. Quelle sera alors sa décision ?
\end{enumerate}

\subsubsection*{\centering Partie C}

Sur l'ensemble des musées d'art contemporain, 22\,\% des visiteurs sont de nationalité étrangère. Sur un échantillon aléatoire de $\np{2000}$ visiteurs du musée considéré précédemment, $490$~visiteurs sont de nationalité étrangère.\index{intervalle de fluctuation asymptotique}

Que peut en conclure le directeur de ce musée ? Argumenter.

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\bigskip

Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d'information générale et politique, c'est-à-dire le nombre moyen d'exemplaires imprimés par jour.

Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
Année & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014\\
\hline
\small Tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires &\np{10982}  &\np{10596}  &\np{10274}  &\np{10197}  &\np{10182} &\np{9793}  &\np{9321}  &\np{8854} \\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source: D.G.M.I.C (Direction générale des médias et des industries culturelles)}} 
\end{tabularx}

\end{center}

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.\index{taux d'évolution}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année $(2007+n)$.

On modélise la situation en posant: $V_0 = \np{10982}$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[V_{n+1} = 0,96 V_n +100.\]\index{suite}

\item Calculer $V_1$ puis $V_2$.

\item Soit $(W_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $W_n = V_n-\np{2500}$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $0,96$ puis déterminer son premier terme.\index{suite géométrique}
		\item Déterminer l'expression de $W_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $V_n= \np{8482}\times 0,96^n + \np{2500}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017.
		\item Déterminer la limite de la suite $(W_n)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année $(2007+n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur.\index{algorithme}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\emph{Candidats de la série ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans une commune, l'école de musique propose des cours d'éveil musical.

En 2013, 20\,\% des enfants de la commune suivaient les cours d'éveil musical de cette
école. Chaque année, 70\,\% des enfants inscrits restent dans l'école l'année suivante, et
par ailleurs, 20\,\% des enfants de la commune qui n'y étaient pas inscrits viennent s'y
ajouter.

Pour tout entier naturel $n$, on note:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $c_n$ la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical en $(2013 + n)$,
\item[$\bullet~~$] $d_n$  la proportion des enfants de la commune qui ne sont pas inscrits à cet éveil musical en 

$(2013 + n)$,
\item[$\bullet~~$]  $E_n = \begin{pmatrix}c_n& d_n\end{pmatrix}$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $(2013 + n)$.\index{matrice}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Ainsi, on a $E_0 = \begin{pmatrix}0,2 &0,8\end{pmatrix}$.

\smallskip

On choisit au hasard un enfant de la commune.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un graphe probabiliste. On note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ l'état \og l'enfant est inscrit aux cours d'éveil musical \fg
\item[$\bullet~~$] $D$ l'état \og l'enfant n'est pas inscrit aux cours d'éveil musical \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item  Déterminer la matrice $A$ de transition, c'est-à-dire la matrice vérifiant, pour tout entier naturel $n$,\: $E_{n+1} = E_n \times  A$.
\item  Déterminer $E_1$ et $E_2$.
\item  Déterminer l'état probabiliste stable en justifiant votre réponse. Interpréter les
résultats.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que pour tout entier naturel $n$, on a $c_n + d_n = 1$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,5c_n + 0,2$.\index{suite}

On admet pour la suite de l'exercice que tout entier naturel $n$,\: $c_n = - 0,2 \times 0,5^n + 0,4$.
\item Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Proposer un algorithme affichant la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical à partir de 2013 jusqu'à l'année $(2013 + n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur.\index{algorithme}
		\item La proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical franchira-t-elle le seuil de 39\,\% ? Si oui, indiquer l'année en expliquant la démarche.
	\end{enumerate}
\item  Le directeur de cette école affirme que si ce modèle d'évolution reste valable, la
proportion d'enfants de la commune inscrits à cet éveil musical dépassera le seuil de
50\,\%. 
	
Peut-on valider cette affirmation ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}

\medskip
 
\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\emph{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d'une enceinte est de $300$ euros.

On note $x$ le prix de vente en centaines d'euros d'une enceinte.

Une étude de marché permet de modéliser la situation: pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cd 3~;~10 \cg$, si le prix de vente d'une enceinte est $x$ centaines d'euros, alors le nombre d'acheteurs est modélisé par

\[f(x) = \e^{-0,25x+5}.\]\index{fonction exponentielle}

Ainsi, $f(x)$ est une approximation du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de $x$ centaines d'euros. Par exemple, si le prix de vente d'une enceinte est fixé à $400$~euros, le nombre d'acheteurs est approché par $f(4)$.

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approximative du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de $400$~euros.

On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.

\item Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de $400$~euros par enceinte ?

\smallskip

On note $g(x)$ la marge brute, en centaines d'euros, réalisée par l'entreprise pour un prix de vente de $x$ centaines d'euros par enceinte.

\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\cd 3~;~10\cg$,

\[g(x)=(x-3) \e^{-0,25x + 5}.\]\index{fonction exponentielle}

\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|m{10cm}|}\hline
$\text{factoriser}\left ( \text{dériver}\left [(x-3) * \text{exp}(-0,25x+5)\right ]\right )$\\\hline
\hfill{}$-\dfrac{x-7}{4}\e^{-\frac{1}{4}x+5}$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}{~}\\\hline
\end{tabular}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\cd 3~;~10\cg$.

\item Pour quel prix de vente unitaire l'entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l'euro près.
\end{enumerate}

\item Soit $G$ la fonction telle que $G(x)=(-4x-4)\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ de $\cd 3~;~10\cg$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$.\index{primitive}
		\item On pose $I=\ds\int_{3}^{10} g(x) \d x$. Déterminer la valeur exacte de $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}