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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small 16 novembre 2016}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright
\\[5pt]16 novembre 2016} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\index{Q. C. M.}

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte
ni n'enlève aucun point.

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (2x + 3)\text{e}^{-x}.\]

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~} $f'(x) = 2\text{e}^{-x}$	&\textbf{b.~~} $f'(x) = - 2\text{e}^{- x}$\\ \hline
\textbf{c.~~} $f'(x) = (2x + 5)\text{e}^{-x}$ &\textbf{d.~~} $f'(x) = (- 2x - 1 )\text{e}^{-x}$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère le nombre $I = \displaystyle\int_0^1 \left(2\text{e}^{2x} + 3\right)\:\text{d}x$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~}$I = \text{e}^2 + 3$&\textbf{b.~~}$I = \text{e}^2 + 2$\\ \hline
\textbf{c.~~} $I = 2\text{e}^2 + 3$&\textbf{d.~~} $I = 2\text{e}^2 - 2$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\item On considère $g$ la fonction définie sur $\R$ par:

\[g(x) = 5\text{e}^x + 3.\]

La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $0$ passe par le point :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~}A$(1~;~5\text{e} + 3)$&\textbf{b.~~}B$(-1~;~5)$\\ \hline
\textbf{c.~~}C(1~;~13)& \textbf{d.~~}D(0~;~ 3)\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère $h$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[h(x) = x^3 - 6x + 3.\]

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~} $h$ est strictement croissante sur $\R$&\textbf{b.~~} $h$ est concave sur $[0~;~+ \infty[$\\ \hline
\textbf{c.~~} $h$ est concave sur $\R$& \textbf{d.~~} $h$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$\\\hline
\end{tabularx}\index{fonction convexe}
\medskip\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : \index{suite}

\[u_0 = 350 \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n,\:
u_{n+1} = 0,5u_n + 100.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$w_n = u_n - 200$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\index{suite}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
		
\[u_n = 200 + 150\times 0,5^n.\]
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une commune propose aux enfants d'adhérer à une association sportive. Au premier septembre
2015 le nombre d'enfants inscrits dans cette association est $500$ dont $350$ filles.

Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l'évolution du nombre
d'adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Chaque année, la moitié des filles inscrites l'année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l'association accueille chaque année $100$ nouvelles filles.
\item D'une année à l'autre, le nombre de garçons inscrits à l'association augmente de 10\,\%.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente l'évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite 
$\left(F_n\right)$ où $F_n$ désigne le nombre de filles adhérentes à l'association en l'année $2015 + n$. On a donc $F_0 = 350$.

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $F_{n+1}$ en fonction de $F_n$.
\item On représente l'évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite $\left(G_n\right)$, où $G_n$ désigne le nombre de garçons adhérents à l'association l'année $2015 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $G_n$ en fonction de $n$.
		\item À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de $300$ garçons ?
	\end{enumerate}
\item On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles. On propose l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $G$ la valeur 150\\
Affecter à $F$ la valeur 350\\
\textbf{Traitement}\\
\\
Tant que $G \leqslant F$\\
\hspace{5mm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\hspace{5mm}$G$ prend la valeur $1,1G$\\
\hspace{5mm}$F$ prend la valeur $0,5F + 100$\\
Fin tant que\\
\\
\textbf{Sortie}
Afficher le nombre $n$\\ \hline
\end{tabular}\index{algorithme}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats
seront arrondis à l'unité.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $n$				&0 		&1 		&\ldots	&\\ \hline
Valeur de $G$				&150	&\ldots	&\ldots	&\\ \hline
Valeur de $F$				&350	&		&		&\\ \hline
Condition $G \leqslant F$	&vrai	&\ldots	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item En déduire l'affichage obtenu, puis répondre au problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pierre prend des cours de natation ; il effectue plusieurs plongeons.

Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est de 0,7.

Par contre, lorsqu'il ne  réussit pas un plongeon, la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est égale  à 0,2.\index{probabilités}

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon.

L'état \og plongeon réussi \fg{} est noté $R$.

L'état \og plongeon non réussi \fg{} est noté $\overline{R}$.

Pour tout entier naturel $n > 1$, la probabilité que Pierre réussisse son $n$-ième plongeon est notée $a_n$, tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son $n$-ième plongeon est notée $b_n$.

La matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ donne l'état probabiliste du système lors du $n$-ième plongeon.\index{matrice}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $R$ et $\overline{R}$.\index{graphe probabiliste}
\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe, les sommets $R$ et $\overline{R}$ étant classés dans cet ordre.
\item Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}1& 0 \end{pmatrix}$.
\item Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: a_{n+1} =  0,5a_n + 0,2$.
\item Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à
$0,41$, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause.

On cherche alors à déterminer au bout de combien d'essais Pierre arrête sa série de
plongeons.

On cherche donc à déterminer le plus petit entier naturel $n \geqslant 1$ tel que 

$a_n \leqslant 0,41$.

Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre à la question
posée.\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
Affecter à $N$ la valeur $1$\\
$A$ prend la valeur $1$\\
\\
\textbf{Traitement}\\
Tant que \ldots \ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm}$N$ prend la valeur \ldots \ldots.\\
\hspace{0.5cm}$A$ prend la valeur \ldots \ldots.\\
Fin Tant que\\
 \\
\textbf{Sortie}\\ 
Afficher \ldots \ldots \ldots\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par

\[u_n = a_n - 0,4.\]\index{suite}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n  \geqslant 1,\: a_n = 0,6 \times  0,5^{n-1} + 0,4$.
		\item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \leqslant 0,41$.
		\item Au bout de combien d'essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les trois parties A, B et C sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une enquête révèle que dans un lycée, 67\,\% des élèves jouent régulièrement aux jeux vidéo.

On sait de plus que 57\,\% des élèves du lycée sont des filles et que, parmi elles, 49\,\% jouent régulièrement aux jeux vidéo.

On choisit au hasard un élève du lycée.

On note : $J$ l'évènement: \og l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo \fg, et $F$ l'évènement : \og l'élève est une fille \fg.\index{probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la
probabilité correspondante.\index{arbre de probabilités}

\begin{center}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$F$}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{$J$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{J}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{F}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$J$}
		  \TR{$\overline{J}$}	  
	  }
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que l'élève soit une fille qui joue régulièrement aux jeux vidéo.
\item Montrer que la probabilité que l'élève soit un garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo est égale à \np{0,3907}.
\item Calculer la probabilité que l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo sachant que c'est un garçon. Arrondir au dix-millième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Zoé, grande amatrice de jeux vidéo, souhaite s'offrir une tablette numérique pour son
anniversaire. Elle pense commander sur un site web marchand une tablette de marque Alpha.

Elle s'inquiète quant à l'autonomie de sa tablette en mode veille.

On admet que l'on peut modéliser la durée d'autonomie de chaque tablette de marque Alpha
en mode veille par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 120$ et d'écart-type $\sigma = 10$.\index{loi normale}

La durée $X$ est exprimée en heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la tablette numérique ait en mode veille une autonomie
strictement inférieure à 5 jours.
\item Déterminer $p(96 \leqslant X \leqslant 144)$. Arrondir le résultat au millième.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le service des ventes de la société Alpha affirme que 91\,\% des utilisateurs de cette tablette sont satisfaits de leur achat.

Le gestionnaire du site marchand organise une enquête afin de vérifier cette affirmation.

Il interroge au hasard $150$~clients ayant acheté cette tablette; parmi eux, $130$ se déclarent satisfaits de leur acquisition.

Peut-on valider l'affirmation du service des ventes de la société ? Justifier.\index{intervalle de confiance}\hyperlink{Index}{*}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

La fonction $f$ est  définie sur l'intervalle [0,5~;~10] par : 

\[f(x) = ax + 2 + b \ln (x)\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé:

\begin{itemize}
\item la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $f$ ;
\item la droite $d$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point A de coordonnées (1~;~1) ;
\item la droite $d'$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point B d'abscisse 3.
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(13,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=4,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(13,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-3,2.29584)(13,2.29584)
\psplot{-0.5}{3}{x 2 mul 1 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.4}{10}{x ln 3 mul x  sub 2 add}
\uput[u](7.5,0.5){\blue $\Gamma$}
\uput[ul](2.7,4.5){$d$}\uput[u](9.5,2.29584){$d'$}
\uput[ul](1,1){A} \uput[ur](3,2.29584){B}\uput[dr](0,-1){E}
\psdots(1,1)(3,2.29584)(0,-1)
\end{pspicture}
\end{center}

On sait de plus que :

\begin{itemize}
\item la tangente au point A passe par le point E de coordonnées $(0~;~-1)$.
\item la tangente au point B est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner par lecture graphique la valeur de $f'(1)$, puis celle de $f'(3)$.\index{lecture graphique}
\item Calculer $f'(x)$.
\item En déduire les valeurs des nombres $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0,5~;~10] par :

\[f(x) = - x + 2 + 3\ln (x).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x$ dans [0,5~;~10],

\[f'(x) = \dfrac{- x + 3}{x}.\]

\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point A d'abscisse~1.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~10], puis dresser le tableau de
variations de $f$ sur cet intervalle.
\item Montrer que sur l'intervalle [0,5~;~3] l'équation $f(x) = 0$ admet une unique
solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième.
\item Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|Xr|}\hline
1 &\emph{intégrer} $[3\ln (x) - x + 2]$& \\ \hline
&&$3x\ln (x) - x -\dfrac{x^2}{2}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

Calculer, en unités d'aire, l'aire $S$ du domaine délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des
abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 8$.\index{aire}

On donnera la valeur exacte de $S$ puis sa valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Tom observe que sur le dessin précédent, la courbe représentative de $f$ est située en
dessous des deux tangentes aux points A et 8. Il affirme :

\og La courbe représentative de $f$ sur l'intervalle [0,5~;~10] est entièrement située
en dessous de chacune de ses tangentes. \fg

Démontrer que l'affirmation de Tom est exacte.
\end{document}