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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : François Hache, relecture Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Amérique du Sud 13 novembre 2019},
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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%     le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%  le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small 26 novembre 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L -- Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[5pt]
26 novembre 2019} 
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\large Exercice 1\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\index{Q. C. M.}
Chaque question comporte quatre réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
 \textbf{Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}\\
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-0,9x^3 + 1,5 x^2 + 1,5$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. Le nombre de points d'intersection entre la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $y=2$ est:\index{equation@équation}
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item 0
\item 1
\item 2
\item 3
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Une des solutions de l'inéquation $1-0,85^n > 0,99$ d'inconnue $n$ entier naturel est:\index{inequation@inéquation}
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item 28$\vphantom{\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}}$
\item 29$\vphantom{\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}}$
\item $\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}$
\item $28,336\vphantom{\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Esteban va à l'école chaque matin avec une trousse.
À la fin de la journée, il oublie sa trousse avec une probabilité de $0,2$.
Dans l'année le nombre de jours d'école est de 162.\\
On considère que les oublis journaliers sont indépendants les uns des autres.\\
La probabilité qu'il oublie sa trousse 30 fois exactement dans l'année est environ:\index{loi binomiale}
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $0,19$
\item $0,07$
\item $0,60$
\item $0,36$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Une enquête a pour objectif d'estimer la proportion de personnes partant en vacances à l'étranger durant la semaine de Noël.\index{intervalle de confiance}
Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,001$ au niveau de confiance $0,95$ de cette proportion, la taille de l'échantillon doit être égale à:
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item \np{4000000}
\item \np{1000}
\item \np{2000}
\item \np{1000000}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip 

\textbf{\emph{Les parties {\bf A} et {\bf B} peuvent être traitées de manière indépendante.}}

\smallskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

La responsable d'un aquarium public constate qu'en l'absence d'action particulière la population d'une espèce de poisson augmente de $20\,\%$ par an.

Pour démarrer un nouveau bassin, elle décide de prélever 28 poissons à la fin de chaque année

La situation est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0=150$, le terme $u_n$ donnant une estimation du nombre de poissons au 1\ier{} janvier de l'année $2018+n$.\index{suite}

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Justifier que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} = 1,2u_n - 28$.
\item On définit la suite $\left(w_n\right)$ par : $w_n = u_n - 140$ pour tout $n\in\N$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.

Préciser son terme initial.\index{suite geometrique@suite géométrique}
\item Exprimer pour tout $n\in\N$, $w_n$ en fonction de $n$.

En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Sachant que l'aquarium ne peut contenir plus de 200 poissons, la responsable doit-elle prévoir l'achat d'un autre aquarium dans les années à venir? Si oui, en quelle année?
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

On sait qu'il y a eu \np{1350} visiteurs le premier mois et que le prix d'entrée est fixé à 8 euros.
La responsable fait l'hypothèse d'une augmentation mensuelle de la fréquentation des visiteurs de $12\,\%$.
Elle veut alors savoir, sous cette hypothèse, la recette totale accumulée durant les six premiers mois.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine la recette cherchée. \index{algorithme}

\begin{center}
\fbox{
 \begin{tabular}{l}
 $S \leftarrow 0$\\
 $V \leftarrow \np{1350}$\\
 Pour $N$ allant de 1 à \dots \quad\\
 \qquad $S \leftarrow \dots$\\
 \qquad $V \leftarrow 1,12 V$\\
 Fin Pour\\
 $S \leftarrow 8S$\\
 \end{tabular}
 }
 \end{center} 
 
\item Quel est le montant de la recette cherchée?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\smallskip

\textbf{\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Sur son lieu de vacances d'été, Inaé décide de pratiquer son activité favorite: le vélo tout terrain (VTT). Le plan des sentiers VTT de la région est représenté par le graphe ci-dessous.\index{graphe}\\
Les arêtes représentent les sentiers, les sommets représentent les intersections de ces sentiers et le poids des arêtes désigne la distance en km entre chaque intersection.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,7)
\psset{nodesep=0pt, radius=2pt}
%\psgrid
\Cnode*(0.5,4){A}      \uput[l](A){\blue A}
\Cnode*(3,6.5){B}     \uput[u](B){\blue B}
\Cnode*(6.5,6){C}  \uput[70](C){\blue C}
\Cnode*(9,4.5){D}    \uput[ur](D){\blue D}
\Cnode*(4.5,3.5){E}     \uput[ul](E){\blue E}
\Cnode*(6,2.5){F}  \uput[ul](F){\blue F}
\Cnode*(3.5,1.5){G}  \uput[dl](G){\blue G}
\Cnode*(7,0.5){H}  \uput[d](H){\blue H}
\Cnode*(10,2){I}  \uput[r](I){\blue I}
\ncline{A}{B}\ncput*{5}
\ncline{A}{C}\ncput*{8}
\ncline{A}{D}\ncput*{12}
\ncline{A}{G}\ncput*{8}
\ncline{B}{C}\ncput*{2}
\ncline{C}{D}\ncput*{5}
\ncline{C}{F}\ncput*[npos=0.2]{2}
\ncline{D}{E}\ncput*[npos=0.8]{6}
\ncline{D}{F}\ncput*{2}
\ncline{D}{H}\ncput*{1}
\ncline{D}{I}\ncput*{7}
\ncline{E}{G}\ncput*{2}
\ncline{F}{G}\ncput*{2}
\ncline{F}{H}\ncput*{5}
\ncline{G}{H}\ncput*{6}
\ncline{H}{I}\ncput*{7}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pourra-t-elle explorer tous les sentiers en ne passant qu'une fois sur chacun d'entre eux? Justifier.
\item Inaé se trouve en A et a rendez-vous au point I. Elle veut s'y rendre en empruntant l'itinéraire le plus court. Déterminer à l'aide d'un algorithme cet itinéraire en en préciser la longueur.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

En 2018, des vélos électriques ont été mis en location. Les clients ont donc eu le choix entre des vélos classiques et des vélos électriques. En 2018, seulement $10\,\%$ des clients ont loué des vélos électriques.

\begin{list}{\textbullet}{On admet que tous les clients louent un vélo et que:}
\item $85\,\%$ des clients ayant loué un vélo électrique une année en relouent un l'année suivante;
\item $70\,\%$ des clients ayant loué un vélo classique une année en relouent un l'année suivante.
\end{list}

On suppose que le nombre de clients chaque été reste constant. On s'intéresse à la répartition des clients dans les années à venir.

\begin{list}{\textbullet}{On note pour tout entier naturel $n$:}
\item $c_n$ la probabilité qu'un client pris au hasard choisisse un vélo classique l'année $2018+n$;\index{probabilites@probabilités}
\item $e_n$ la probabilité qu'un client pris au hasard choisisse un vélo électrique l'année $2018+n$; 
\item $P_n=\begin{pmatrix} c_n & e_n \end{pmatrix}$ la matrice correspondant à l'état probabiliste l'année $2018+n$.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.\index{graphe probabiliste}

On notera $C$ l'évènement \og le client loue un vélo classique \fg{} et $E$ l'évènement \og le client loue un vélo électrique \fg.
\item Donner la matrice $P_0$ traduisant l'état probabiliste initial ainsi que la matrice de transition $M$ en respectant l'ordre $C$ puis $E$ des sommets.
\item Calculer $P_1$.
\item Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\smallskip

\textbf{\emph{Les parties {\bf A, B} et {\bf C} peuvent être traitées de manière indépendante.}}

\emph{Les résultats seront arrondis au centième.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{list}{\textbullet}{Lors d'un safari photo en Afrique, un groupe de touristes souhaite observer des familles d'éléphants. Le guide leur explique que:}
\item la probabilité de voir des éléphants adultes dans la journée est de $0,85$;
\item la probabilité de voir des bébés éléphants sachant que l'on voit des éléphants adultes est de $0,5$;
\item la probabilité d'observer des bébés éléphants mais pas d'adultes éléphants dans la journée est de $0,015$.
\end{list}\index{probabilites@probabilités}

\begin{list}{}{On choisit au hasard un touriste de ce groupe et on considère les évènements suivants:}
\item $A$: \og Le touriste voit des éléphants adultes dans la journée \fg{};
\item $B$: \og Le touriste voit des bébés éléphants dans la journée \fg.
\end{list}

\emph{Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.}

\begin{enumerate}
\item Donner $p\left (\overline{A}\cap B \right )$.
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l'exercice.\index{arbre}
\item Montrer que $p(B)=0,44$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{\overline{A}}(B)$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

À 20~h, le groupe de touristes fait une pause autour d'un point d'eau pour observer le bain des éléphants. On considère que le temps d'attente en minute nécessaire pour observer des éléphants suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;\,90]$.\index{loi uniforme}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le groupe attende plus d'une heure avant d'apercevoir les éléphants?
\item Calculer l'heure moyenne d'arrivée des éléphants.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

Lors de leur séjour, les touristes ont appris que les éléphants d'Afrique sont généralement plus grands que les éléphants d'Asie.

On modélise la taille en centimètre d'un éléphant d'Afrique par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$. De même, on modélise la taille en centimètre d'un éléphant d'Asie par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne $\mu'$ et d'écart type $\sigma'$.\index{loi normale}

Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ des densités de probabilité associées à $X$ et $Y$ sont données en \textbf{annexe 1}.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Associer chaque courbe $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ à sa variable aléatoire.
\item Donner une valeur approchée à la dizaine de l'espérance pour chacune d'entre elles.
\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement $p(X>330)$ et $p(Y>330)$ puis comparer ces deux probabilités.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer à l'aide de la calculatrice $p(Y>330)$ sachant que $\mu'=268$ et $\sigma'=50$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:

\[f(x) = (-5x^2+5)\e^{x}\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, et $f''$ la fonction dérivée seconde.\index{fonction exponentielle}
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan, donnée en \textbf{annexe 2}.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point A, intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées. Placer le point A dans le repère fourni en \textbf{annexe 2}.
\item Démontrer que $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en deux points. Déterminer leurs coordonnées et les placer dans le repère fourni en \textbf{annexe 2}.
\item Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=(-5x^2-10x+5)\e^{x}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5~;\, 2]$.
\end{enumerate}

\item Soit $\Delta$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.\index{tangente}
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation de $\Delta$ est $y=5x+5$.
\item Tracer la droite $\Delta$ dans le repère fourni en \textbf{annexe 2}.
\end{enumerate}

\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants que l'on pourra utiliser sans justification:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{l|l}
\cellcolor{lightgray}1 & $f(x)$\\
\cellcolor{lightgray}$\circ$ & $\rightarrow \: (-5x^2+5)\e^{x}$\\
\hline
\cellcolor{lightgray}2 & $f''(x)$\\
\cellcolor{lightgray}$\circ$ & $\rightarrow \: -20 x \e^{x} - 5 x^2 \e^{x} -5\e^{x}$\\
\hline
\cellcolor{lightgray}3 & $\text{Résoudre }(f''(x)=0,x)$\\
\cellcolor{lightgray}$\circ$ & $\rightarrow \: \left \lbrace x=-\sqrt{3}-2\,,\, x=\sqrt{3}-2 \strut \right \rbrace$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x\in [-5~;\,2]$, $f''(x)=-(5x^2+20x+5)\e^{x}$.
\item Étudier la convexité de le fonction $f$ sur l'intervalle  $[-5~;\,2]$.\index{convexite@convexité}
\end{enumerate}

\item On s'intéresse à l'aire $\mathcal{A}$, en unité d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =- 1$ et $x = 0$.
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur \textbf{l'annexe 2} ce domaine.
\item On admet que sur l'intervalle $[-1~;\, 0]$, la droite $\Delta$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$.\\
Justifier que l'aire $\mathcal{A}$ est inférieure à $2,5$ unités d'aire.
\item On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par

\[F(x) = (-5x^2+10x-5)\e^{x}\]

est une primitive de $f$.

Calculer $\ds\int_{-1}^{0} f(x) \d x$.

On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.\index{integrale@intégrale}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexes à rendre avec la copie}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 1}

\textbf{Exercice 3}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm, yunit=300cm, comma, arrowsize=3pt 3,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin}
\def\xmin {181}   \def\xmax {450}
\def\ymin {-0.0019} \def\ymax {0.012}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=220+20}{12}{\psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.012)}
\multido{\n=0.002+0.002}{5}{\psline[linecolor=lightgray](200,\n)(450,\n)}
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt, Dx=20, Dy=0.002,Ox=200]{->}(200,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psGauss[mue=268,sigma=50,linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}
\uput[u](268,0.008){\blue $\mathcal{C}_2$}
\psGauss[mue=330,sigma=50,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}
\uput[u](330,0.008){\blue $\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 2}

\textbf{Exercice 4}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm,comma,labelFontSize=\scriptstyle}
\def\xmin {-4.55} \def\xmax {3}
\def\ymin {-7} \def\ymax {7}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=0.8cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-9,-7)(6,7)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5](0,0)(-4.49,-6.95)(2.95,6.95) 
\def\f{-5 x dup mul mul 5 add 2.7183 x exp mul}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\uput[ur](0.7,5.4){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%\newpage
%\printindex
\end{document}