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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small 28 novembre 2017}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Nouvelle-Calédonie~\decofourright
\\[4pt]
28 novembre 2017} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la
réponse donnée.}

\bigskip

\textbf{Affirmation 1.}

\medskip

Pour tout réel $a$ strictement positif, $\ln \left(a^3\right) - \ln\left(a^2\right) = \ln \left(a^{25}\right) - \ln \left(a^{24}\right)$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2.}

\medskip

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur [0~;~100], alors $P(X < 75) = P(X > 25)$.

\medskip

\textbf{Affirmation 3.}

\medskip

On a prélevé un échantillon aléatoire de $400$ pièces dans une production et observé
$6$ pièces défectueuses. La borne supérieure de l'intervalle de confiance de la proportion
de pièces défectueuses dans la production au niveau de confiance de 95\,\% est égale à
$0,08$.

\medskip

\textbf{Affirmation 4.}

\medskip

L'équation $x \ln(x) = 2 \ln (x)$ admet exactement deux solutions : $2$ et $1$ sur $]0~;~+ \infty[$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième}

\medskip

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client
effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le
choix du mode de transport peut changer entre l'aller et le retour.

À l'aller, le bateau est choisi dans 65\,\% des cas.

Lorsque le bateau est choisi à l'aller, il l'est également pour le retour $9$ fois sur $10$.

Lorsque le train a été choisi à l'aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70\,\% des
cas.

\medskip

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og le client choisit de faire l'aller en bateau \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og le client choisit de faire le retour en bateau \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
On rappelle que si $E$ est un évènement, $p(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et
on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation par un arbre pondéré.
\item On choisit au hasard un client de l'agence.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau.
		\item Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à $0,31$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard $20$ clients de cette agence. On note $X$ la variable aléatoire qui
compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport.
	
On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l'on puisse considérer que $X$
suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
		\item Déterminer la probabilité qu'exactement $12$ clients utilisent les deux moyens de
transport différents.
		\item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins $2$ clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.
	\end{enumerate}
\item Le coût d'un trajet aller ou d'un trajet retour est de \np{1560}~\euro{} en bateau ; il est de \np{1200}~\euro{}  en train. 
	
On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en
euro de son trajet aller-retour.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

En 2012, un village ne comptait qu'un seul médecin, Albert. 

Début 2013, un nouveau médecin, Brigitte, s'installe dans ce village.

À l'arrivée de Brigitte, 90\,\% des habitants du village choisirent Albert comme médecin,
les autres choisirent Brigitte. 

On suppose que chaque habitant du village est patient du même médecin, Albert ou Brigitte, tout au long d'une année. 

On observe, à partir de 2013, que chaque année :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]13\,\% des patients d'Albert changent de médecin et deviennent des patients de
Brigitte ;
\item[$\bullet~~$]8\,\% des patients de Brigitte deviennent des patients d'Albert.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On choisit au hasard un habitant de ce village. Pour tout entier naturel $n$,

$a_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient d'Albert pour l'année (2013+n),

$b_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient de Brigitte pour l'année (2013+n),

$P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ est la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 

$(2013 + n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.
\item Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,791& 0,209\end{pmatrix}$.
\item Exprimer $P_n$ en fonction de $P_0$,\: $M$ et $n$.
\item En déduire la matrice ligne $P_4$ et interpréter le résultat. Les résultats seront arrondis au
millième.
\item Déterminer l'état stable $\begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ de la répartition des patients des médecins Albert et Brigitte. 

En donner une interprétation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le médecin Albert, qui officie dans le village A, doit rendre visite à un patient d'un village
voisin G. Il a construit le graphe ci-dessous où les sommets représentent les villages
alentours. Sur les arêtes sont indiquées les distances en kilomètres.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\cnode*(0.3,2.8){0.1cm}{A}\uput[ul](0.3,2.8){A}
\cnode*(2.3,3.8){0.1cm}{B}\uput[ul](2.3,3.8){B}
\cnode*(5.3,4.8){0.1cm}{C}\uput[ur](5.3,4.8){C}
\cnode*(3.6,2.5){0.1cm}{D}\uput[r](3.6,2.5){D}
\cnode*(0.6,1){0.1cm}{E}\uput[dl](0.6,1){E}
\cnode*(4.5,0.3){0.1cm}{F}\uput[dr](4.5,0.3){F}
\cnode*(6.3,2.3){0.1cm}{G}\uput[r](6.3,2.3){G}
\ncline{A}{B}\ncput*{8}\ncline{A}{D}\ncput*{18}\ncline{A}{E}\ncput*{13}
\ncline{B}{C}\ncput*{23}\ncline{B}{D}\ncput*{9}
\ncline{C}{D}\ncput*{10}\ncline{C}{F}\ncput*{4}\ncline{C}{G}\ncput*{3}
\ncline{D}{F}\ncput*{7}\ncline{E}{F}\ncput*{13}\ncline{F}{G}\ncput*{9}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer le plus court chemin pour aller du village A au village G.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Début 2013, la superficie totale des forêts sur la terre représente un peu plus de
4 milliards d'hectares.

Au cours de l'année 2013, on estime qu'environ 15 millions d'hectares ont été détruits.

Des plantations d'arbres et une expansion naturelle des forêts ont ajouté $10,2$ millions
d'hectares de nouvelles forêts en 2013.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la superficie totale des forêts détruites au cours de l'année 2013 représente
$0,375$\,\% de la superficie totale des forêts mesurée au début de l'année.

On admet dans la suite que chaque année, la proportion des surfaces détruites de forêts
et la superficie de nouvelles forêts restent constantes.

On note $u_n$ la superficie (en millions d'hectares) occupée par les forêts sur la Terre au
début de l'année $(2013+n)$ avec $u_0 = \np{4000}$.

\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \np{0,99625}u_n + 10,2$.
		\item Montrer que la superficie totale des forêts sur la Terre, au début de l'année 2014, en
millions d'hectares, est $u_1 = \np{3995,2}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(d_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n = u_n - \np{2720}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $d_{n+1} = \np{0,99625} \times d_n$.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Calculer $d_0$.
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $d_n$, en fonction de $n$ ; en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Proposer un algorithme affichant la superficie (en millions d'hectares) occupée par
les forêts sur la Terre, pour chaque année de 2013 à 2029.
		\item À partir de quelle année la superficie des forêts présentes sur la Terre sera inférieure à $3,9$ milliards d'hectares? Préciser la démarche utilisée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-1~;~2]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$.

La courbe $\left(\mathcal{C}_2\right)$ ci-dessous représente, dans le repère orthonormé, la fonction  $f''$.

Le point A(0~;~1) est situé sur la courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$.

Le point B est le point d'intersection de $\left(\mathcal{C}_2\right)$ avec l'axe des abscisses. Une valeur approchée de l'abscisse de B est $0,37$.

La tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$ au point A est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.25,-2.6)(3.1,2.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=5,gridwidth=1.5pt,subgridwidth=1pt,subgriddots=5]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-1.5,-2.75)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](2.9,0){$x$}\uput[r](0,2.4){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{x dup mul 2.71828 x exp 1 x sub mul add}\uput[r](1.75,-1.5){\blue $\left(\mathcal{C}_1\right)$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{2}
{2 2.71828 x exp  x 1 add  mul sub}\uput[r](0.75,-1.5){\red $\left(\mathcal{C}_2\right)$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique,
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f(0)$.
		\item Donner la valeur de $f'(0)$.
		\item Étudier la convexité de $f$ sur $[-1~;~2]$. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item On admet désormais que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ dans $[-1~;~2]$ par:

\[f(x) = (1 - x)\text{e}^x + x^2.\]

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
1 &$f(x)$ :\: $= (1 - x) * \text{exp} (x) + x^2$\\
&\hspace{3cm}$ \to (1 - x)\text{e}^x + x^2$\\ \hline
2 &factoriser( dériver($f(x)$))\\
&\hspace{3cm}$\to x\left(2 - \text{e}^x\right)$\\ \hline
3 &primitive ($f(x)$)\\
&\hspace{3cm}$\to \dfrac{1}{3}x^3 + (-x + 2)\text{e}^x$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier le résultat trouvé par le logiciel pour le calcul de $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction
$f$ sur $[-1~;~2]$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[-1~;~2]$.
		\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente à $\left(\mathcal{C}_1\right)$ au point d'abscisse 1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier la ligne 3 du tableau de calcul formel.
		\item On admet que la fonction $f$ est positive sur $[-1~;~1]$. En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$, l'axe des abscisses et les droites
d'équation $x = -1$ et $x = 1$, puis en donner une valeur arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
