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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small 26 février 2018}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L obligatoire  Nouvelle-Calédonie~\decofourright
\\[4pt]
26 février 2018} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples CQCM). Pour chacune des quatre
questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie sans
justifier le choix effectué.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un laboratoire désire tester l'efficacité d'un médicament Pour cela, il constitue un
échantillon aléatoire de $500$ malades auxquels on prescrit ce médicament. On constate
que $325$ sont guéris au bout d'un mois.

Un intervalle de confiance au niveau $0,95$ de la proportion de patients guéris au bout
d'un mois est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} [0,305~;~0,395] &\textbf{b.~~} [0,32~;~0,33] &\textbf{c.~~} [0,605~;~0,695]&\textbf{d.~~}  [0,648~;~0,652]
\end{tabularx}
\medskip

\item  Dans le laboratoire précédent, le nombre minimal de patients à interroger pour obtenir
un intervalle de confiance de longueur inférieure ou égale à $0,01$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}200 &\textbf{b.~~}\np{40000} &\textbf{c.~~} \np{4000} &\textbf{d.~~} \np{1000}
\end{tabularx}
\medskip

\item  On admet que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
$f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$ est dérivable sur cet intervalle. 

Si on note $f'$ sa fonction dérivée, alors pour tout réel $x$ de
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$ &\textbf{b.~~}$f'(x) = \dfrac{\ln (x) - 1}{x^2}$
&\textbf{c.~~} $f'(x) = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2}$
&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{1}{x}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Deux collègues communiquent régulièrement par vidéoconférence. On suppose que la
durée d'une communication entre ces deux personnes, exprimée en minutes, suit la loi
uniforme sur l'intervalle [0~;~120].

Sachant que la communication dure depuis 30 minutes, la probabilité que la durée de la
communication ne dépasse pas 90 minutes est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{3}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{2}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{2}{3}$&\textbf{d.~~} ~
$\dfrac{3}{4}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cette étude porte sur l'utilisation principale des véhicules du parc automobile français.

Les réponses seront arrondies au dix-millième.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les véhicules de la région parisienne représentent 16\,\% du parc automobile français en
2015.

22\,\% des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet
entre le domicile et le travail, 34\,\% pour les loisirs.

En province, 49\,\% des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le
domicile et le travail, 31\,\% pour les loisirs.

On choisit un véhicule au hasard dans le parc automobile français.

\smallskip

On note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement : \og le véhicule provient de la région parisienne \fg,
\item[$\bullet~~$] $\overline{R}$ l'évènement : \og le véhicule provient de la province \fg,
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement : \og le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail \fg,
\item[$\bullet~~$] $L$ l'évènement : \og le véhicule est utilisé principalement pour les loisirs \fg,
\item[$\bullet~~$] $F$ l'évènement : \og le véhicule est utilisé principalement pour d'autres fonctions
que le travail ou les loisirs\fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On rappelle que, si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité de
l'évènement $A$ et $p_B(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement
$B$ est réalisé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre de probabilité.
\item  Montrer que la probabilité qu'un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre
le domicile et le travail est égale à \np{0,4468}.
\item  Madame Dupont et Monsieur Durand ont une conversation sur l'utilisation de leur
véhicule. Madame Dupont dit utiliser principalement sa voiture pour les loisirs,
Monsieur Durand principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Qui de Madame Dupont ou de Monsieur Durand a la plus grande probabilité d'habiter la
région parisienne ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On sélectionne un échantillon aléatoire de $10$ véhicules du parc automobile français. On
note $X$ la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre de véhicules
utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la loi de probabilité de $X$ ainsi que ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité qu'exactement deux véhicules soient utilisés principalement
pour le trajet entre le domicile et le travail.
\item Déterminer la probabilité qu'au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le
trajet entre le domicile et le travail.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution du parc automobile de la région parisienne. On considère
qu'en 2018 le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en région
parisienne suivra la loi normale de moyenne $50$ et d'écart type $4$.

\smallskip

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de milliers de véhicules nouvellement
enregistrés en 2018 en région parisienne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région
parisienne en 2018 soit compris entre \np{42000} et \np{58000} ?
\item Pour ne pas avoir de délais d'enregistrement trop longs, le nombre de dossiers doit être
inférieur à \np{55000}. Quelle est la probabilité que les délais d'enregistrement ne soient pas
trop longs en 2018 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip


On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015. 

Le tableau suivant indique, pour chaque année de 2011 à 2015, le nombre d'abonnés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2011 		&2012 			&2013 			&2014 		&2015\\ \hline
Nombre d'abonnés 			&\np{620214}&\np{610156} 	&\np{575038} 	&\np{578282}&\np{555239}\\ \hline
Taux d'évolution annuel 	&			&$- 1,62$\,\% 	&$- 5,76$\,\% 	&$0,56$\,\% &$- 3,98$\,\%\\ \hline
Taux d'évolution par rapport
 à l'année 2011				&			&$- 1,62$\,\%	&$- 7,28$\,\% 	&$- 6,76$\,\% 	&$- 10,48$\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Retrouver par le calcul, le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013.
\item  Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de $-2,73$\,\%. Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin d'étudier cette évolution, on suppose qu'à l'avenir, tous les ans, 10\,\% des abonnés ne
renouvellent pas leur abonnement à ce quotidien mais que l'on compte $52$ milliers de
nouveaux abonnés.

En 2011, le nombre d'abonnés est égal, après arrondi, à $620$ milliers.

On s'intéresse, pour tout entier naturel $n$, au nombre d'abonnés, en milliers, pour l'année
$(2011 + n)$.

On note $u_n$ le nombre d'abonnés en milliers pour l'année $(2011 + n)$.

On fixe donc $u_0 = 620$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'abonnés en 2012 suivant ce modèle.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 0,9u_n + 52$.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 520$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \:  $u_n = 100 \times 0,9^n + 520$.
	\end{enumerate}
\item Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d'abonnés est
inférieur à $540$ milliers.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin d'afficher l'année à partir de laquelle
le quotidien sera en difficulté financière.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|m{2.5cm}|X|}\hline
\textbf{Variables}		& $N$ un nombre entier naturel non nul\\
						&$U$ un nombre réel\\ \hline
\textbf{Initialisation}	& Affecter à $U$ la valeur 620\\
						&Affecter à $N$ la valeur $0$\\ \hline
\textbf{Traitement} 	&Tant que \ldots\\
						&\qquad Affecter à $U$ la valeur \dotfill\\ 
						&\qquad Affecter à $N$ la valeur \dotfill\\ 
						&Fin Tant que\\ \hline
\textbf{Sortie} 		&Afficher \dotfill\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item  Résoudre l'inéquation $u_n \leqslant 540$.
		\item  Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer
la démarche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une
fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~8]$. On note $f'$ sa dérivée.

A est le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $-2$.

B est le point de $\mathcal{C}_f$ de coordonnées (0~;~3).

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A est horizontale.

La droite $T$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B d'abscisse 0 et elle passe par le point D(1~;~ 1).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.75)(8.5,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt](-3.5,0)(8.5,9)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.5,0)(8.5,8.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](8.4,0){$x$}\uput[r](0,8.9){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{8}{x 3 add 2.71828 x exp div}
\uput[u](3.5,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots(-2,7.389)(1,1)(0,3)
\uput[u](-2,7.389){A}\uput[ur](0,3){B}\uput[dl](1,1){D}
\psplot{-2.8}{1.7}{3 2 x mul sub}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-3,7.389)(-1,7.389)
\end{pspicture*}

\end{center}
\medskip

À l'aide du graphique :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f'( - 2)$.
\item Interpréter géométriquement $f'(0)$ et donner sa valeur.
\item La fonction $f$ est-elle convexe sur $[-2~;~2]$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet désormais que la fonction $f$ de la partie A est définie sur l'intervalle
$[-3~;~8]$ par 

\[f(x) = (x + 3)\text{e}^{- x}.\]

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|m{1.cm}|X|}\hline
\multirow{2}{1.cm}{1}&dériver $(x + 3) * \text{exp}( -x)$\\ \cline{2-2}
&\multicolumn{1}{r|}{$\text{exp}( -x) + (x + 3) * (- \text{exp}( -x))$} \\ \hline

\multirow{2}{1.cm}{2}& factoriser $(\text{dériver}(x + 3) * \text{exp} (- x))$\\  \cline{2-2}
&\multicolumn{1}{r|}{$(- x - 2) * \text{exp}( -x)$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de la dérivée de la fonction $f$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 3~;~8]$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3~;~-2]$.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[- 3~;~8]$ par :

		\[F(x) = (-x - 4)\text{e}^{- x}\]
		
est une primitive de $f$ sur le même intervalle.
		\item Calculer la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}