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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Thierry Petit
%Corrigé par Arié Yallouz 
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\everymath{\displaystyle}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin  2016}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  10 juin  2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

On s'intéresse à l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandes banques.

Une étude montre que 42\,\% des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Karl, 35\,\%
des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa, alors que cette proportion est de
23\,\% pour la banque Miro.

Par ailleurs :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] 76\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Karl sont acceptées ;
\item[$\bullet$~~] 65\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Lofa sont acceptées ;
\item[$\bullet$~~] 82\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Miro sont acceptées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprès des trois
banques.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] $K$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Karl \fg{} ;
\item[$\bullet$~~] $L$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Lofa \fg{} ;
\item[$\bullet$~~] $M$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Miro \fg{} ;
\item[$\bullet$~~] $A$ : \og la demande de prêt est acceptée \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité et on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire.\index{probabilités}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice on donnera, si nécessaire, des valeurs approchées au millième des résultats.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.\index{arbre de probabilités}
\item Calculer la probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit
acceptée.
\item Montrer que $P(A) \approx 0,735$.
\item La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu'elle ait été déposée à la banque
Miro.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la durée moyenne d'un prêt immobilier.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, en années.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 7$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans.
\item Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près du nombre réel $a$ tel que 

$P(X > a) = 0,1$.

Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2010 &2011 &2012\\ \hline
Nombre d'écrans 3D vendus& 0&\np{5000} &\np{11000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année $(2010 + n)$ est modélisé par une suite $\left(u_n\right)$, arithmético-géométrique, de premier terme $u_0 = 0$.\index{suite}

On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel $n$, une relation
de récurrence de la forme $u_{n+1} = a \times u_n + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En supposant que $u_1 = \np{5000}$, déterminer la valeur de $b$.
		\item En supposant de plus que $u_2 = \np{11000}$, montrer que pour tout entier naturel $n$, on a :

		\[u_{n+1} = 1,2 \times u_n + \np{5000}.\]
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_3$ et $u_4$.
		\item En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement \np{18000} et \np{27000} écrans 3D.
		
La modélisation semble-t-elle pertinente ?		
	\end{enumerate}
	
\textbf{Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre
d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.}
		
\smallskip
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[v_n = u_n + \np{25000}.\]\index{suite}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.
		
Préciser la valeur de son premier terme $v_0$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: u_n = \np{25000} \times 1,2^n - \np{25000}$.
	\end{enumerate}
\item On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D
dépassera \np{180000} unités.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que résoudre l'inéquation $u_n > \np{180000}$ revient à résoudre l'inéquation $1,2^n > 8,2$.
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine et affiche le plus petit
entier naturel $n$, solution de l'inéquation $1,2^n > 8,2$.\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline		
\textbf{Variables :}		& $N$ est un entier naturel\\
							&$W$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation :}	&$N$ prend la valeur 0\\
							&$W$ prend la valeur \ldots\ldots\\
\textbf{Traitement :}		&Tant que \ldots\ldots\\
							&\hspace{0,5cm} \begin{tabular}{|l}
							$W$ prend la valeur $W \times 1,2$\\
							\ldots\ldots
							\end{tabular}\\
							&Fin du Tant que\\
\textbf{Sortie :}			&Afficher \ldots\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Déterminer cet entier naturel $n$.
\item À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15\,\% par an du nombre de ses ventes d'écrans
3D. Combien d'écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ?
	\end{enumerate}\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.\\ Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}\index{Vrai--Faux}

\medskip

\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

On rappelle que $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x \ln x - x + 1.\]

\textbf{Affirmation A :} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle ]0~;~1[.

\textbf{Affirmation B :} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.\index{fonction convexe}

\textbf{Affirmation C :} Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: f(x) \leqslant 50$.
\item On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$ définie sur $\R$.

On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on rappelle que $g$' désigne la fonction dérivée de la
fonction $g$.

On a tracé en pointillé la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point A de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.1)(3.1,8.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,dash=3pt 2pt,gridwidth=0.4pt](-2,-2)(3,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.08,8)(-.9,2.5)(-.6,1.8)(0,2.7)(.3,3.15)(.45,3.1)(1,2)(1.5,1)(1.5,1.7)(3,2.9)
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-1.25}{3}{4 x 2 mul  sub}
\psdots(1,2)\uput[ur](1,2){A}\uput[u](2.8,2.8){\blue $\mathcal{C}_g$}
\uput[dl](2.8,-1.5){$T$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Affirmation D :} $g'(1) = -2$.

\textbf{Affirmation E :} $\displaystyle\int_0^1 g(x)\:\text{d}x < 3$.\index{intégrale}
\end{enumerate}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne le graphe probabiliste suivant :\index{graphe}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1)
\Rnode{A}{$A$}\hskip 4cm\Rnode{B}{$B$}
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}
%\pnode(1,1.25){$A$} \pnode(7,1.25){$B$}
\ncarc{->}{A}{B}\Aput{0,6}
\ncarc{->}{B}{A}\Aput{0,3}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,4}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,7}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Affirmation A :} L'état stable associé à ce graphe est $\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.\index{etat stable@état stable}
\item On donne le graphe pondéré $G$ suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1.5)(2,2.5)(5.5,2.5)(7,1.5)(5.5,0.5)(2,0.5)%ABCDEF
\uput[l](0.5,1.5){$A$} \uput[ul](2,2.5){$B$} \uput[ur](5.5,2.5){$C$} 
\uput[r](7,1.5){$D$} \uput[dr](5.5,0.5){$E$} \uput[dl](2,0.5){$F$}
\psline(5.5,2.5)(2,0.5)(2,2.5)(5.5,0.5)%CFBE
\rput(1.2,2.2){2}\rput(3.75,2.7){3} \rput(6.4,2.1){1}\rput(6.4,0.8){1}
\rput(3.75,0.3){4}\rput(1.2,0.8){1}\rput(1.85,1.5){2}\rput(3,1.3){4}\rput(4.4,1.3){2}

\end{pspicture}
\end{center}
\textbf{Affirmation B :} Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce
graphe.\index{chaîne}

\textbf{Affirmation C :} La plus courte chaîne entre les sommets $A$ et $D$ est une chaîne de poids 5.

\item On considère la matrice\index{matrice}
\[M = \begin{pmatrix}
0 &1 &0 &1\\ 1 &0 &1 &1\\0 &1 &0 &0\\1 &1&0&0\end{pmatrix}.\]

On suppose que $M$ est la matrice d'adjacence d'un graphe à quatre sommets $A, B, C, D$ dans
cet ordre.

\textbf{Affirmation D :} Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommet $B$ au sommet $D$.
\item On considère les matrices $A = \begin{pmatrix}a&0\\0&a \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&a\end{pmatrix}$.

\textbf{Affirmation E :} Il existe un nombre réel $a$ pour lequel $B$ est l'inverse de $A$.
\end{enumerate}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un publicitaire envisage la pose d'un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de
skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction
$f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par :

\[f(x) = 4\text{e}^{-0,4x}.\]

Cette courbe $\mathcal{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère d'origine O :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-1.)(10.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(10.5,5.5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-1.5,4)(0,4)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{4 2.71828 0.4 x mul exp div}
\uput[r](0,5.4){$y$ (en mètres)}
\uput[u](9.5,0.1){$x$ (en mètres)}
\uput[u](6,0.4){$\mathcal{C}_{f}$}
\psframe[fillstyle=hlines](1.25,2.426)
\uput[ul](0,0){A}\uput[ur](0,2.426){D}\uput[ur](1.25,2.426){C}\uput[ur](1.25,0){B}
\end{pspicture}
\end{center}

Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le
point A est situé à l'origine du repère, le point B est sur l'axe des abscisses, le point D est sur l'axe des ordonnées et le point C est sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse $x = 2$.

Montrer qu'une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est $3,6$~m$^2$.
\item Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ?

On donnera les dimensions d'un tel panneau au centimètre près.
\end{enumerate}
\end{document}