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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Thierry Petit
%Corrigé par Arié Yallouz 
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-node,pst-func}% pst-func pour les courbes de distribution normale
\everymath{\displaystyle}
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{12 juin  2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  12 juin  2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}\index{Q. C. M.}

\smallskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ strictement positif par 

\[g(x) = 2\text{e}^{3x} + \dfrac{1}{2}\ln (x).\]\index{fonction exponentielle}

Si $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$, on a :\index{dérivée}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}}
\textbf{a.~}\small  $g'(x) = 2\text{e}^{3x} + \dfrac{2}{x}$&\textbf{b.~} $g'(x) = 6\text{e}^{3x} + \dfrac{2}{x}$& \textbf{c.~} $g'(x) = 6\text{e}^{3x} + \dfrac{1}{2x}$&\textbf{d.~}$g'(x) = 6\text{e}^{x} + \dfrac{1}{2x}$
\end{tabularx}
\medskip

\item La courbe représentative $C$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ est donnée ci-dessous. La tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $0$ traverse la courbe en ce
point.\index{représentation graphique}

\parbox{0.48\linewidth}{
La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle :

\textbf{a.~} $[-1~;~4]$

\textbf{b.~} $[-2~;~0]$

\textbf{c.~} $[-2~;~-1]$

\textbf{d.~} $[0~;~4]$}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1)(4.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.5,-0.99)(4.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(4.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{2 x add 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2}{3}{2 x sub}
\uput[u](3.5,0.2){$C$}\uput[l](2.8,-0.8){$T$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\item On donne l'algorithme ci-dessous.

\parbox{0.48\linewidth}{
La valeur affichée en sortie de cet algorithme est :\index{algorithme}

\textbf{a.~} 7,1

\textbf{b.~} 7,6

\textbf{c.~} 8

\textbf{d.~} 17}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline 
\textbf{Variables}\\
\hspace{0.4cm}$n$ : un nombre entier naturel\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $n$ la valeur $0$\\
\hspace{0.4cm}Tant que $1,9^n < 100$\\
\hspace{0.8cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\hspace{0.4cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{0.4cm}Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [0~;~5] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.\index{loi uniforme}

\parbox{0.48\linewidth}{On a alors :

\textbf{a.~} $P(X \geqslant 3) = P(X < 3)$

\textbf{b.~} $P(1 \leqslant  X \leqslant 4) = \dfrac{1}{3}$

\textbf{c.~} $E(X) = \dfrac{5}{2}$

\textbf{d.~} $E(X) = \dfrac{1}{5}$}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{xunit=0.8cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.15)(6.1,0.65)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
\multido{\n=0.2+0.2}{3}{\psline[linecolor=cyan](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.1)(6,0.65)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6,0.65)
\psline[linewidth=1.25pt](0,0.2)(5,0.2)
\uput[l](0,0.2){$\frac{1}{5}$}
\end{pspicture*}
}\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

Sur une exploitation agricole, une maladie rend la conservation de fruits difficile. Un organisme
de recherche en agronomie teste un traitement sur un champ: sur une partie du
champ, les fruits sont traités, sur l'autre, non.

On considère que le nombre de fruits récoltés est extrêmement grand et que la maladie
touche les fruits de manière aléatoire.

\bigskip

\textbf{Partie A Étude de l'efficacité du traitement}

\medskip

On prélève au hasard 100 fruits sur la partie du champ traité et 100 fruits sur l'autre
partie du champ. On constate que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item sur l'échantillon des 100 fruits traités, 18 sont abimés;
\item sur l'échantillon des 100 fruits non traités, 32 sont abimés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion de fruits abimés par la
maladie au niveau de confiance de 95\,\% :\index{intervalle de confiance}
	\begin{enumerate}
		\item pour la partie du champ traitée;
		\item pour la partie du champ non traitée.
	 \end{enumerate}
\item  Au vu des intervalles obtenus à la question 1, peut-on considérer que le traitement
est efficace ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Qualité de la production}

\medskip

Une étude plus poussée permet d'estimer la proportion de fruits abimés à $0,12$ dans la
partie du champ traitée et à $0,30$ dans la partie non traitée.
On sait de plus qu'un quart du champ a été traité.

Une fois récoltés, les fruits sont mélangés sans distinguer la partie du champ d'où ils
proviennent.

On prélève au hasard un fruit récolté dans le champ et on note :

\begin{description}
\item[ ] $T$ l'évènement \og Le fruit prélevé provient de la partie traitée \fg{} ;
\item[ ] $A$ l'évènement \og Le fruit prélevé est abimé \fg.
\end{description}

On arrondira les résultats au millième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.\index{arbre}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le fruit prélevé soit traité et abimé.
		\item  Montrer que $P(A) = 0,255$.
 	\end{enumerate}
\item  Un fruit prélevé au hasard dans la récolte est abimé, Peut -on affirmer qu'il y a une
chance sur quatre pour qu'il provienne de la partie du champ traitée ?
\item  Dans le but d'effectuer un contrôle, cinq fruits sont prélevés au hasard dans le
champ. Calculer la probabilité qu'au plus un fruit soit abimé.\index{loi binomiale}\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un constructeur de planches de surf fabrique 3 modèles. La conception de chaque modèle
nécessite le passage par 3 postes de travail. Le \textbf{tableau 1} indique le nombre d'heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le \textbf{tableau 2} indique le coût horaire par poste de travail.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-4}\cline{5-7}
Tableau 1& Poste 1 	&Poste 2 	&Poste 3&	&Tableau 2	&\\ \cline{1-4}\cline{5-7}
Modèle 1 &8 h 		&10 h 		&14 h	&	&Poste 1	& 25 \euro/h\\ \cline{1-4}\cline{5-7}
Modèle 2 &6 h 		&6 h 		&10 h	&	&Poste 2	& 20 \euro/h\\ \cline{1-4}\cline{5-7}
Modèle 3 &12 h 		&10 h 		&18 h	&	&Poste 3	& 15 \euro/h\\ \cline{1-4}\cline{5-7}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ et $C$ les deux: matrices suivantes : $H = \begin{pmatrix}8&10&14\\6&6&10\\12&10 &18\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}25\\20\\15\end{pmatrix}$.\index{matrice}
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice produit $P = H \times C$.
		\item Que représentent les coefficients de la matrice $P = H \times C$ ?
	\end{enumerate}
\item  Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle
soient les suivants :
	
	\begin{center}
Modèle 1 : 500 \euro{} ;\quad  Modèle 2 : 350 \euro{} ;\quad Modèle 3 : 650 \euro \end{center}
	
Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés $a$,\: $b$ et $c$, permettant
d'obtenir ces prix de revient.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les réels $a$, $b$ et $c$ doivent être solutions du système 
		
		$H \times \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}500\\350\\650\end{pmatrix}$.
		\item Déterminer les réels $a$,\: $b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La façade du magasin dans lequel sont commercialisées les planches est illuminée par un
très grand nombre de spots qui sont programmés de la manière suivante :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]les spots s'allument tous à 22 heures ;
\item[$\bullet~~$]toutes les 10 secondes à partir de 22 heures, et ce de manière aléatoire, 30\,\% des spots allumés s'éteignent et 50\,\% de ceux qui sont éteints se rallument.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note : $A$ l'état: \og le spot est allumé\fg{} et $E$ l'état : \og le spot est éteint \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner un graphe probabiliste traduisant la situation.\index{graphe}
		\item Recopier et compléter la matrice de transition (dans l'ordre $A$,\: $E$) associée au graphe, 
		
$M = \begin{pmatrix}\cdots& 0,3\\0,5&\cdots\end{pmatrix}$.\index{matrice}
	\end{enumerate}
\item On note $n$ le nombre d'étapes (c'est à dire d'intervalles de temps de 10 secondes) qui
s'écoulent à partir de 22 heures et $P_n = \left(a_n\quad b_n\right)$ l'état d'un spot à l'étape $n$, où $a_n$ est la probabilité qu'il soit allumé et $b_n$ la probabilité qu'il soit éteint.
	
On a alors, pour tout entier naturel $n$ :\: $P_{n+ 1} = P_n \times M$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$. Écrire une relation entre $P_0$ et $P_n$.
		\item Déterminer les coefficients de la matrice $P_3$. Quelle est la probabilité que le spot considéré soit éteint à 22 heures et 30 secondes ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable $(a\quad b)$ du graphe probabiliste.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les techniciens d'un aquarium souhaitent régler le distributeur automatique d'un produit
visant à améliorer la qualité de l'eau dans un bassin. La concentration recommandée du
produit, exprimée en mg.l$^{-1}$ (milligramme par litre), doit être comprise entre 140 mg.l$^{-1}$ et 180 mg.l$^{-1}$.

Au début du test, la concentration du produit dans ce bassin est de 160 mg.l$^{-1}$.

On estime que la concentration du produit baisse d'environ 10\,\% par semaine.

Afin de respecter les recommandations portant sur la concentration du produit, les techniciens
envisagent de régler le distributeur automatique de telle sorte qu'il déverse chaque
semaine une certaine quantité de produit.

Les techniciens cherchent à déterminer cette quantité de façon à ce que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la concentration du produit soit conforme aux recommandations sans intervention de leur part, pendant une durée de 6 semaines au moins ;
\item[$\bullet~~$] la quantité de produit consommée soit minimale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\bigskip
 
\textbf{Partie A}
 
\medskip
 
Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le
distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 10 mg.l$^{-1}$.
 
On s'intéresse à l'évolution de la concentration chaque semaine. La situation peut être modélisée
par une suite $\left(C_n\right)$, le terme en donnant une estimation de la concentration du produit, en mg.l$^{-1}$, au début de la $n$-ième semaine. On a $C_0 = 160$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, \:$C_{n+1} = 0,9 \times  C_n + 10$.
\item  Soit la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $V_n = C_n - 100$.\index{suite}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et que $V_0 = 60$.\index{suite géométrique}
		\item Exprimer $V_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$C_n = 0,9^n \times  60 + 100$.
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(C_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini.
Justifier la réponse.

Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée.
		\item Au bout de combien de semaines la concentration devient -elle inférieure à 140~mg.l$^{-1}$ ?
	\end{enumerate}
\item  Le réglage envisagé du distributeur répond-il aux attentes ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip

Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le
distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 12 mg.l$^{-1}$.
Que penser de ce réglage au regard des deux conditions fixées par les techniciens ?\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une compagnie aérienne propose à partir du premier janvier de l'année 2000 une nouvelle
formule d'achat de billets, la formule \emph{Avantage} qui s'ajoute à la formule \emph{Privilège} déjà existante.

Une étude a permis de modéliser l'évolution du nombre de passagers transportés depuis
l'année 2000 et la compagnie admet que ce modèle est valable sur la période allant de l'année
2000 à l'année 2016.

Le nombre de passagers choisissant la formule \emph{Privilège} est modélisé par la fonction P définie sur l'intervalle [0~;~16] et le nombre de passagers choisissant la formule \emph{Avantage} est modélisé par la fonction $A$ définie sur l'intervalle [0~;~16]. Le graphique donné ci-dessous représente les courbes représentatives $C_P$ et $C_A$ de ces deux fonctions.

Lorsque $x$ représente le temps en année à partir de l'année 2000, $P(x)$ représente le nombre
de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule \emph{Privilège} et $A(x)$ représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule \emph{Avantage}.\index{représentation graphique}

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(16.5,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8](0,0)(16.5,10)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(16.5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](14.7,0){\scriptsize En années, après 2000}
\uput[r](0,9.6){\scriptsize En \np{10000} passagers}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{x 1 add ln 2 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{16}{3 3 2.71828 x 0.2 mul  exp div add}
\uput[u](15.5,5.6){\blue $C_A$}
\uput[d](15.5,3.1){\red $C_P$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, les estimations seront obtenues par lecture graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation du nombre de passagers qui, au cours de l'année 2002, avaient
choisi la formule \emph{Privilège}.
\item Donner une estimation de l'écart auquel la compagnie peut s'attendre en 2015 entre le
nombre de passagers ayant choisi la formule \emph{Avantage} et ceux ayant choisi la formule
\emph{Privilège}.
\item Comment peut-on interpréter les coordonnées du point d'intersection des deux courbes
au regard de la situation proposée ?
\item Justifier que la compagnie aérienne peut, selon ce modèle, estimer que le nombre total
de passagers ayant choisi la formule \emph{Privilège} durant la période entre 2007 et 2015 sera
compris entre \np{240000} et \np{320000}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $A$ est définie sur l'intervalle [0~;~16] par 

\[A(x) = 2\ln(x + 1)\]\index{fonction logarithme népérien}

et que la fonction $P$ est définie sur l'intervalle [0~;~16] par 

\[P(x) = 3 + 3\text{e}^{-0,2x}.\]\index{fonction exponentielle}

On s'intéresse à la différence en fonction du temps qu'il y a entre le nombre de passagers
ayant choisi la formule \emph{Avantage} et ceux ayant choisi la formule \emph{Privilège}. Pour cela, on considère la fonction $E$ définie sur l'intervalle [0~;~16] par $E(x) = A(x) - P(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $E'$ la fonction dérivée de $E$ sur l'intervalle [0~;~16].
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $E' (x) = \dfrac{2}{x + 1} + 0,6\text{e}^{-0,2x}$. Justifier que $E'$ est strictement positive sur l'intervalle [0~;~16].
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $E$ sur l'intervalle [0~;~16].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $E(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle [0~;~16]. Donner la valeur de $\alpha$ en arrondissant au dixième.
		\item Dresser le tableau de signes de la fonction E sur l'intervalle [0~;~16]. Interpréter les résultats obtenus au regard des deux formules proposées par la compagnie
aérienne.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}