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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\label{Polynesie}
\rfoot{\small 21 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES Polynésie 21 juin 2019
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune
justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour répondre, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ d'expression

\[f(x) = - 1,5x^2 + x^2\ln (x).\]

La fonction dérivée de $f$ est donnée pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $f'(x) = - x + 1$&\textbf{b.~~} $f'(x) = 2x\ln (x) - 2x$\\
\textbf{c.~~} $f'(x) = - 3 x + 2$&\textbf{d.~~} $f'(x) = - x \ln (x) - 0,5 x$
\end{tabularx}
\end{center}
\item  Entre 2006 et 2018, dans un restaurant universitaire, le prix d'un repas est passé de 2 euros à 3,50~euros en augmentant chaque année de x\,\%. Parmi ces valeurs, la valeur la plus proche de $x$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~} 6,25 &\textbf{b.~~} 4,77&\textbf{c.~~} 14,58 &\textbf{d.~~} 0,85
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Un adolescent joue à un jeu dont les parties successives sont indépendantes.

À chaque partie, il a une chance sur 25 de sortir vainqueur. 

Après 13 parties, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait gagné au moins une fois est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~} 0,588 &\textbf{b.~~} 0,412&\textbf{c.~~}0,025&\textbf{d.~~}0,975
\end{tabularx}
\end{center}

\item  ~

\parbox{0.53\linewidth}{On considère une fonction $g$ définie sur $\R$,
dont la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ est donnée ci-contre.

La fonction $g$ admet une primitive sur $\R$ notée $G$.

La fonction $G$ est:

\textbf{a.~~} convexe sur l'intervalle $[-1~;~5]$.

\textbf{b.~~} concave sur l'intervalle $[-1~;~5]$.

\textbf{c.~~} croissante sur l'intervalle [2~;~5].

\textbf{d.~~} décroissante sur l'intervalle [2~;~5]}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2)(6.25,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.6pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-2)(6.25,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.5,-2)(6.25,4.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{6}{x 16 mul x dup mul 4 mul sub 20 add 9 div}
\uput[ur](4,2.1){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\begin{center}
Les parties sont indépendantes\end{center}

\smallskip

Une entreprise vend des téléviseurs.

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. 

Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.

L'étude indique que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 3\,\% des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci 2\,\% ont aussi un défaut
sur le condensateur.
\item[$\bullet~~$] 5\,\% des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ :\og le téléviseur a un défaut sur la dalle \fg{};
\item[$\bullet~~$] $C$ :\og le téléviseur a un défaut sur le condensateur\fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Les résultats seront approchés si nécessaire à \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath près}.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer les trois données numériques de l'énoncé sous forme de probabilités.
		\item  Recopier l'arbre ci-dessous et \textbf{compléter uniquement les pointillés} par les probabilités associées:
		
		\begin{center}
		\bigskip
		\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~~}\naput{\ldots}}
	{\TR{$C$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$C$}\naput{}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{}
	}
}
\bigskip
\end{center}

		\item  Calculer la probabilité $p(D \cap C)$ de l'évènement $D \cap C$.
		\item  Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu'il ait un défaut sur la dalle ?
		\item  La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle vaut \np{0,0494}. Justifier cette affirmation.
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Les résultats seront approchés à \boldmath $10^{-2}$ près}.

On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur prélevé, associe le temps exprimé en mois avant la première panne. On admet que $T$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 84$ et d'écart type $\sigma = 6$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité qu'un téléviseur tombe en panne pour la première fois après $72$ mois d'utilisation.
		\item  Quelle est la probabilité que la première panne arrive entre $6$ années et $8$ années d'utilisation.
		\item  Le téléviseur n'a pas eu de panne après $6$ années d'utilisation. Quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant $8$ années d'utilisation?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin de satisfaire davantage de clients, l'entreprise décide d'apporter des améliorations à son service d'assistance. Après quelques mois de mise en place du nouveau service, elle affirme que 90\,\% des clients sont maintenant satisfaits. Un service de contrôle indépendant veut vérifier cette affirmation. Pour cela il interroge au hasard $300$ clients. Parmi eux, $265$ affirment être satisfaits.

Les résultats de cette étude remettent-ils en cause l'affirmation de l'entreprise ?

Justifier la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Sur un site de vente en ligne, Antoine a commandé une machine à café à capsules.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque capsule achetée à l'unité coûte $0,60$~\euro. Une offre permet d'acquérir $150$ capsules au prix de $60$~\euro.

De quel pourcentage de réduction bénéficie-t-on grâce à l'offre par rapport à un achat à
l'unité ?
\item Au 1\up{er}janvier 2017, on comptait \np{60000} utilisateurs de cette machine à café. 

On estime que chaque mois, 10\,\% des propriétaires cessent de l'utiliser mais on compte \np{24000} nouveaux utilisateurs.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi le nombre d'utilisateurs de cette machine à café $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2017, peut être modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ définie par:
		
\[u_0 = \np{60000} \quad \text{ et }\:\: u_{n+1} = 0,9u_n + \np{24000}.\]
		
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: $v_n = u_n - \np{240000}$.
Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$  est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $n$ étant un entier naturel, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \np{240000} - \np{180000} \times 0,9^n$.
 	\end{enumerate}
\item Au bout de combien de mois le nombre d'utilisateurs de cette machine à café dépassera-t-il pour la première fois \np{230000} ?
\item L'entreprise qui fabrique cette machine à café prétend qu'elle touchera un certain mois plus de \np{250000} utilisateurs. Que penser de cette affirmation?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d'un liquide industriel.

On suppose que le nombre total de clients reste fixe d'une année sur l'autre.

En 2017, 45\,\% des clients se fournissaient chez le grossiste A et 55\,\% chez le grossiste B.

D'une année sur l'autre, 6\,\% des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve 86\,\% de ses clients.

Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide.

Pour tout entier naturel $n$ on note :

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité qu'il soit client du grossiste A en $(2017+n)$,
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'il soit client du grossiste B en $(2017+n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne représentant l'état probabiliste de
l'année $(2017+n)$.  On rappelle que $a_n + b_n= 1$.

On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste dans lequel les sommets A et B correspondent aux noms des grossistes.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $T$ associée à ce graphe (les sommets seront rangés par ordre alphabétique).
		\item Quelle sera, exprimée en pourcentage, la répartition prévisible des ventes entre ces deux grossistes en 2020 ? Justifier la réponse. On arrondira les résultats à 0,1\,\% près.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 0,8a_n + 0,14$.
	\begin{enumerate}
		\item On pose pour tout naturel $n$ : $u_n = a_n - 0,7$.
		
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $a_n = - 0,25\times 0,8^n + 0,7$.
		\item  Quelle part du marché, exprimée en pourcentage, le grossiste A peut-il espérer à long terme ? Justifier la réponse.
		\item  À partir de quelle année le grossiste A détiendra t-il plus de 65\,\% du marché?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~9] par 

\[f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x).\]

On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pneus produits.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~9] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~9] on a : $f'(x)= \dfrac{x^2 -7 x + 6}{x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~9] :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 1 & \esp & 6 & \esp & 9 \\
\hline
  & \Rnode{max1}{\phantom{0}}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\phantom{0}}   \\
\text{Variations de } f & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{\phantom{0}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8.5,2.5)
%\psframe(8.5,2.5)
%\psline(0,2)(8.5,2)\psline(0,2.5)(8.5,2.5)
%\psline(2.5,0)(2.5,2.5)
%\uput[u](1.25,1.9){$x$} \uput[u](2.6,1.9){$1$} \uput[u](5.5,1.9){$6$} \uput[u](8.35,1.9){$9$} 
%\rput(1.25,1){\small Variations de $f$}
%\psline{->}(3,1.5)(5,0.5)\psline{->}(6,0.5)(8,1.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

		\item  Justifier que, sur l'intervalle [1~;~9], l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
		\item  Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
		\item  On considère l'algorithme ci-dessous:
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$X \gets 1$\\
$Y \gets 7,5$\\
Tant que $Y > 5$\\
\hspace{12mm}$X \gets X + 0,01$\\
\hspace{12mm}$Y \gets 0,5X^2 - 7X + 14 + 6*\ln (X)$\\
Fin Tantque\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À la fin de l'exécution de l'algorithme, quelle valeur numérique contient la variable $X$?
	\end{enumerate}
\item  Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est-il minimal ?
À combien s'élève-t-il ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip


Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par 

\[g (x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}\]

modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de $x$ semoirs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~100].
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~100].
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{document}