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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\label{Polynesie}
\rfoot{\small 4 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES Polynésie 4 septembre 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une
justification est attendue.

\bigskip

\textbf{Affirmation A}

\medskip

Un objet subit trois augmentations successives de 10\,\%. Une baisse de 25\,\% suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.

\bigskip

\textbf{Affirmation B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x - \dfrac{1}{x} + 2$ et 
$\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 passe par le point de coordonnées (2~;~3).

\bigskip

\textbf{Affirmation C}

\medskip

La valeur exacte de la somme des 12 premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme 4 et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[ 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.

\bigskip

\textbf{Affirmation D}

\medskip

Dans un hôtel, le petit déjeuner n'est servi que jusqu'à 10 heures 15 minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre 9 heures et 11 heures.

On admet que l'heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[9~;~11]$. La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit déjeuner est $0,425$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\begin{center}

\textbf{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.\\[5pt]
Sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme approchée à \boldmath $0,001$\unboldmath près}

\bigskip

\textbf{Partie A}\end{center}

Une étude portant sur la recharge des véhicules électriques indique que 10\,\% des recharges sont effectuées sur des bornes publiques. Dans les autres cas, la recharge s'effectue chez des particuliers.

\smallskip

Il existe deux types de recharge: la recharge \og standard \fg{} et la recharge \og accélérée \fg.

Les recharges \og standard \fg{} représentent 25\,\% des recharges effectuées sur des bornes publiques et 95\,\% des recharges effectuées chez les particuliers.

On choisit au hasard un véhicule électrique qui vient d'être rechargé et on considère les
évènements suivants  :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$U$ : \og la recharge a été effectuée sur une borne publique\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$S$ : \og la recharge a été effectuée de façon standard \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux évènements, la probabilité de l'évènement $A$ est notée $P(A)$ et celle de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$. De plus, $\overline{A}$ désigne l'évènement contraire de $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$U$~} \naput{\ldots}}
	{\TR{$S$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{U}$~} \nbput{\ldots}}
	{\TR{$S$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Justifier que $P(S) = 0,88$.
\item Sachant que le véhicule choisi a été rechargé de façon standard, calculer la probabilité que la recharge ait été effectuée sur une borne publique.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}


Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale de moyenne $6$ et d'écart type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant qu'environ 95\,\% des durées de charge sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h, justifier que l'on peut choisir $\sigma = 1,7$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(T > 7)$.
		\item Sachant que l'une des batteries mise en charge n'est pas rechargée complètement au bout de 7 heures, quelle est la probabilité qu'elle ne le soit toujours pas au bout de 9 heures ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}

Le fabriquant de batteries affirme que 80\,\% de ses batteries peuvent assurer $350$ cycles de rechargement complet sans perte significative de puissance.

Une association de consommateurs réalise une enquête sur $57$ batteries de cette marque.

Parmi celles-ci, seules 40 n'ont pas subi de perte de puissance significative. Cette étude peut-elle remettre en cause l'affirmation du constructeur ? Justifier la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}


Au 1\up{er} janvier 2018, madame DURAND dispose d'un capital de \np{16000}~\euro. Le 1\up{er} juillet de chaque année, elle prélève 15\,\% du capital disponible en prévision de ses vacances estivales.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On modélise le montant du capital de madame DURAND au 1\up{er} janvier par une suite 
$\left(u_n\right)$. Plus précisément, si $n$ est un entier naturel, $u_n$ désigne le montant du capital de madame DURAND disponible le 1\up{er} janvier de l'année $2018+n$.

On a donc $u_0 =  \np{16000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en justifiant votre réponse.
		\item Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide d'un algorithme, madame DURAND souhaite déterminer le nombre d'années à
partir duquel son capital devient inférieur ou égal à \np{2000}~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le résultat attendu.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline	
$U \gets \ldots$\\ 
$N \gets 0$\\
Tant que $U \ldots$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets \ldots$\\
\hspace{0.5cm}$U \gets \ldots$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur numérique contenue par la variable $N$ à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Cherchant à anticiper la diminution de son capital disponible, madame DURAND décide d'ajouter à son capital disponible 300~\euro{} chaque 1\up{er} décembre.

On note $v_n$ la valeur du capital le 1\up{er} janvier de l'année $2018 + n$. On a ainsi $v_0 = \np{16000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_{n + 1} = 0,85 \times v_n + 300$.
\item  On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n - \np{2000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_0$.
		\item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$.
		\item En déduire que, pour tout entier $n$,\: $v_n = \np{2000} + \np{14000} \times 0,85^n$.
 	\end{enumerate}
\item  En s'y prenant ainsi, madame DURAND espère toujours disposer d'un capital supérieur à \np{2500}~\euro. A-t-elle raison ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

En vacances, Assan et Chloé projettent de visiter sept sites touristiques et se sont procurés le plan des sentiers reliant ces sites. 

Ci-dessous, ils ont représenté ce plan par un graphe connexe pondéré par les temps de parcours en minutes séparant les lieux de visites notés A, B, C, D, E, F et G.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,radius=5pt}
\begin{pspicture}(12,6.5)
%\rput(9.4,3.4){\circlenode{A}{A}}
\cnodeput(9.4,3.4){A}{A}
\cnodeput(9.7,1){B}{B}
\cnodeput(6.5,3.3){C}{C}
\cnodeput(4.2,0.5){D}{D}
\cnodeput(9.4,5.6){E}{E}
\cnodeput(2.5,5.2){F}{F}
\cnodeput(0.3,2){G}{G}
\ncline{B}{A}\ncput*{13}
\ncline{C}{A}\ncput*{17}
\ncline{C}{B}\ncput*{8}
\ncline{D}{B}\ncput*{10}
\ncarc[arcangle=-40]{B}{E}\ncput*{7}
\ncline{D}{C}\ncput*{5}
\ncline{C}{E}\ncput*{2}
\ncline{F}{C}\ncput*{12}
\ncline{F}{D}\ncput*{4}
\ncline{G}{D}\ncput*{22}
\ncline{F}{E}\ncput*{14}
\ncline{G}{F}\ncput*{15}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Est-il possible, pour Assan et Chloé, d'effectuer un trajet empruntant une et une seule fois tous les sentiers? Justifier votre réponse.
\item Déterminer, par la méthode de votre choix, le trajet le plus court leur permettant de relier la station A à la station G en précisant le temps de parcours.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur les sites B et G, l'office de tourisme loue des audio-guides que les visiteurs peuvent rendre sur l'un ou l'autre des deux sites à la fin de la journée. Une étude a mis en évidence que chaque jour :


\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]10\,\% des audio-guides loués sur le site B sont rendus sur le site G, les autres étant rendus sur le site B ;
\item[$\bullet~~$]15\,\% des audio-guides loués sur le site G sont rendus sur le site B, les autres étant rendus sur le site G.
\end{itemize}

On étudie l'évolution de la répartition des audio-guides sur les deux sites.

Pour tout entier naturel non nul $n$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] on note $b_n$ la probabilité qu'un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site B à la fin de la $n$-ième journée,
\item[$\bullet~~$] on note $g_n$ la probabilité qu'un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site G à la fin de la $n$-ième journée.
\end{itemize}

À l'ouverture de la saison, il y a autant d'audio-guides sur le site B que sur le site G.

\smallskip

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}b_n& g_n\end{pmatrix}$ la matrice de l'état probabiliste à la fin de la $n$-ième journée. On rappelle que $b_n + g_n = 1$. On pose $P_0= \begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le graphe probabiliste suivant:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{0 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{B}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{G}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$\ldots$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$\ldots$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$\ldots$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$\ldots$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
           \psset{arrowsize=3pt 3}
\ncarc[linecolor=colorG,arcangle=40,ArrowInside=-<]{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc[arcangle=40,ArrowInside=-<]{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}


\item Donner la matrice de transition $M$ associée au graphe.
\item  On rappelle que, pour tout entier naturel $n$,\: $P_{n+1} = P_nM$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_2$. On approchera les valeurs à $10^{-3}$ près.
		\item Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans la suite, on admettra que pour tout entier naturel $n$, on a 

\[b_{n+ 1} = 0,75 b_n+ 0,15.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item  Parmi les quatre propositions suivantes, une seule fournit, pour tout entier $n$, l'expression de $b_n$ en fonction de $n$. Préciser laquelle et justifier votre réponse :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $b_n = -0,1 \times 0,75^n + 0,6$&\textbf{b.~~}$b_n = - 0,6 \times 0,75^n + 0,1$\\
\textbf{c.~~} $b_n = 0,1 \times 0,75^n + 0,6$&\textbf{d.~~}$b_n= - 0,1 \times 0,75^n - 0,6$

\end{tabularx}
\end{center}

\item  La personne chargée de la gestion des audio-guides prétend que le site G accueillera un jour moins de 35\,\% des audio-guides. Qu'en pensez-vous ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 6~;~4]$ et dont la courbe $\mathcal{C}$ est représentée ci-dessous.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-3.5)(6,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6.5,-3.5)(5.9,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2.2}{5.5}{1.5 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{4}{2 x mul 1 sub 2.71828 x 0.5 mul neg exp add}
\uput[r](-6,6.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[r](-1.8,-2.8){$\mathcal{D}$}
\psdots(4,6)\uput[r](4,6){B}
\end{pspicture*}
\end{center}

On a représenté $\mathcal{D}$, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

La droite $\mathcal{D}$ passe par l'origine du repère et par le point B(4~;~6).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique:
	\begin{enumerate}
		\item donner la valeur de $f(0)$ ;
		\item donner la valeur de $f'(0)$ ;
		\item conjecturer la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[- 6~;~4]$ et que son expression est 
	
	\[f(x) = 2x - 1 + \text{e}^{-\frac{1}{2}x}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.
		\item Montrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ est l'intervalle $[-2\ln (4)~;~4]$.
		\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle 
		$[- 6~;~4]$.
		\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.
	\end{enumerate}
\item  Donner un encadrement au centième près de la solution non nulle de l'équation $f (x) = 0$ sur l'intervalle $[-6~;~4]$.
\item  Démontrer la conjecture émise dans la question 1. c.
\item  Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par 
	
	\[g(x) = x^2 - x - 2 \text{e}^{-\frac{1}{2}x}.\]
	
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur [0~;~4].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ est une primitive la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4] .
		\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		
En donner une valeur approchée à $0,01$ près
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}