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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Thierry Petit
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-node,pst-func}% pst-func pour les courbes de distribution normale
\everymath{\displaystyle}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Polynésie - 9 septembre 2015},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{9 septembre  2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  9 septembre  2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

À une roue de loterie dans une fête foraine, la probabilité annoncée de gagner une partie est
égale à $0,12$. Un joueur a la possibilité de jouer plusieurs parties.\index{probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un joueur achète un carnet de tickets permettant de faire quatre parties. La valeur la
plus approchée de la probabilité que le joueur gagne une seule fois sur les quatre parties
est :\index{loi binomiale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} \np{0,3271}& \textbf{b.} \np{0,0002} &\textbf{c.} \np{0,4824} &\textbf{d.} \np{0,1215}
\end{tabularx}
\medskip

\item  Après avoir gagné une partie, le joueur a la possibilité d'emporter son lot ou de le remettre en jeu. La probabilité qu'un joueur emporte son lot sachant qu'il a gagné est 0,8. La valeur la plus approchée de la probabilité qu'il parte avec son lot après une seule partie est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} 0,024 &\textbf{b.} 0,12 &\textbf{c.} 0,096 &\textbf{d.} 0,8
\end{tabularx}
\medskip

On modélise le nombre de parties jouées par jour à cette loterie par une variable aléatoire $X$
qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart-type $\sigma = 10$.
\item  Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(140 < X < 160)$ est :\index{loi normale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} 0,954 & \textbf{b.} 0,683 &\textbf{c.} 0,997 &\textbf{d.} 0,841
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{4.}] la fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x}$, a pour expression :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $(-x - 1)\text{e}^{-x}$ & \textbf{b.} $(- 2x - 3)\text{e}^{-x}$ & \textbf{c.} $(2x + 3)\text{e}^{-x}$ & \textbf{d.} $(-2x + 1)\text{e}^{-x}$
\end{tabularx}\index{dérivée}
\medskip

\item[\textbf{5.}] Soit un nombre réel strictement positif $a$. Parmi ces suites d'inégalités quelle est l'inégalité correcte ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $a < \ln a < \text{e}^a$& \textbf{b.} $\text{e}^a < a < \ln a$
& \textbf{c.} $\ln a < \text{e}^a < a$& \textbf{d.} $\ln a < a < \text{e}^a$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de réduire l'utilisation des automobiles en ville en instaurant une taxe pour les automobiles circulant dans une zone du centre ville appelée ZTL (Zone à Trafic Limité) et de développer un réseau de navettes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans
la zone ZTL, dans les deux ans à venir.

Initialement, 40\,\% des automobiles circulant dans la ville, circulaient dans cette zone ZTL.
Suite à l'instauration de la taxe, l'évolution du trafic dans la ville a été suivie mois après mois.

L'étude a révélé que, parmi les automobiles circulant dans la ville :

\begin{itemize}
\item[*] 3\,\% des automobiles circulant dans la zone ZTL n'y circulaient plus le mois suivant.
\item[*] 0,2\,\% des automobiles qui ne circulaient pas dans la zone ZTL ont été amenés à y circuler le mois suivant.
\end{itemize}

On note $Z$ l'état: \og l'automobile a circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg et 
$\overline{Z}$ l'état :
\og l'automobile n'a pas circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item[*] $a_n$ la proportion d'automobiles circulant dans la zone ZTL au cours du $n$-ième mois;
\item[*] $b_n$ la proportion d'automobiles ne circulant pas dans la zone ZTL au cours du $n$-ième mois;
\item[*] $P_n = \left(a_n\: b_n\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste après $n$ mois.
\end{itemize}

On a : $a_n + b_n; = 1$ et $P_0 = \begin{pmatrix}0,4& 0, 6\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $Z$ et $\overline{Z}$.\index{graphe}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe (la première colonne concerne $Z$ et la deuxième concerne $\overline{Z}$).\index{matrice}
		\item Vérifier que $P_1 = \begin{pmatrix}\np{0,3892}& \np{0,6108}\end{pmatrix}$.
 	\end{enumerate}
\item  L'objectif affiché par la municipalité sera-t-il atteint ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\parbox{0.4\linewidth}{Un réseau de navettes gratuites est mis en
place entre des parkings situés aux abords
de la ville et les principaux sites de la ville.
 
Le graphe ci-contre indique les voies et les
temps des liaisons, en minutes, entre ces différents
sites.}\hfill
\parbox{0.57\linewidth}{ \psset{unit=1.15cm}
\begin{pspicture}(6.5,5)
\cnodeput(2,4.5){A}{A}
\cnodeput(2,2.5){B}{B}
\cnodeput(2,0.5){C}{C}
\cnodeput(4,4.5){D}{D}
\cnodeput(4,0.5){E}{E}
\cnodeput(5.5,4.5){F}{F}
\cnodeput(6,2.5){G}{G}
\cnodeput(0.5,2.5){H}{P}
\ncline{A}{D}\ncput*{5}
\ncline{D}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\ncline{A}{H}\ncput*{9}
\ncline{A}{E}\ncput*{6}
\ncline{B}{H}\ncput*{8}
\ncline{B}{C}\ncput*{3}
\ncline{B}{E}\ncput*{5}
\ncline{C}{H}\ncput*{4}
\ncline{C}{E}\ncput*{9}
\ncline{D}{B}\ncput*{6}
\ncline{D}{E}\ncput*{4}
\ncline{D}{G}\ncput*{8}
\ncline{D}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\ncline{E}{G}\ncput*{10}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Peut-on envisager un itinéraire qui relierait le parking P à la gare G en desservant une et
une seule fois tous les sites ?
\item Peut-on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?
\item Déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G.\index{algorithme de Dijskra}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises}

\medskip

Un cabinet d'audit a été chargé d'étudier la répartition des salaires dans deux filiales d'une entreprise, appelées A et B. Pour l'étude, les salaires sont classés par ordre croissant.
\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{Le cabinet d'audit a modélisé la répartition de
salaires par la fonction $u$ pour la filiale A et par la fonction $v$ pour la filiale B.

Les fonctions $u$ et $v$ sont définies sur l'intervalle [0~;~1] par :

$u(x) = 0,6x^2 + 0, 4x$ et

$v(x) = 0,7x^3 + 0,1x^2 + 0, 2x$.

On a tracé ci-contre les courbes représentatives
$C$ et $C'$ des fonctions $u$ et $v$.}
\hfill
\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.1,1.1)
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}
\psgrid[linestyle=dashed,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,1.1)
\psdots(0.6,0.3072)\uput[dr](0.6,0.3072){E}
\uput[dr](0.72,0.5){$C$}\uput[ul](0.33,0.17){$C'$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\rput{45}(0.75,0.8){$D : y = x$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}{x dup mul 0.6 mul 0.4 x mul add}
\psplot[linewidth=1pt]{0}{1}{x 3 exp  0.7 mul x dup mul  0.1 mul add 0.2 x mul add}
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la courbe représentative de la fonction $u$ en justifiant la réponse.
\item Lorsque $x$ représente un pourcentage de salariés, $u(x)$ et $v(x)$ représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives.

Exemple : pour la courbe $C$, le point E(0,60~;~0,3072) signifie que 60\,\% des salariés ayant
les plus bas salaires se partagent 30,72\,\% de la masse salariale.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50\,\% des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires.
		\item Pour les 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale ?
		\item  Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire ?
 	\end{enumerate}
\item  Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une
fonction $f$ modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule :\index{coefficient de Gini}
	
\[c_f = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x\right).\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $c_u = 0,2$.
		\item En observant que $\dfrac{c_v}{2} = \displaystyle\int_0^1x\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^1v(x)\:\text{d}x$, donner une interprétation graphique de
$\dfrac{c_v}{2}$ en termes d' aires.
		\item En déduire que $c_v$ est compris entre 0 et 1.
		\item Justifier l'inégalité $c_u \leqslant c_v$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $P$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~60].

On donne, ci-dessous, la courbe représentative $C$ de la fonction $P$.

\begin{center}

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(62,18)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,subgriddots=5,gridlabels=0](0,0)(62,18)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(62,18)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{60}{2.71828 0.1 x mul 5 sub exp 60 x sub mul 6 add}
\uput[u](28,9.5){\blue $C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

À partir d'une lecture graphique répondre aux questions qui suivent :\index{lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En argumentant la réponse, donner le signe de $P'(54)$, où $P'$ est la fonction dérivée de $P$.
\item Donner un intervalle sur lequel la fonction $P$ est convexe.
\item Donner, à l'unité près, les solutions de l'équation $P(x) = 10$.
\item On note $A$ le nombre $\displaystyle\int_0^{10}  P(x)\:\text{d}x$ ; choisir l'encadrement qui convient pour $A$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$0 < A < 60$& $60 < A < 70$& $6 < A < 7$& $10 < A < 11$
\end{tabularx}

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
La fonction $P$ est définie sur l'intervalle [0~;~60] par : 
 
\[P(x) = 6 + (60 - x )\text{e}^{0,1x-5}.\]
 
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu les résultats suivants :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth} {|*{2}{X|}}\hline
\textbf{Actions}&\textbf{Résultats}\\ \hline\hline
definir(P(x)=6+(60-x)*exp(0,1*x-5))	& x $\mapsto$ 6+(60-x)*exp(0.1*x-5)\\ \hline
deriver(P(x),x)						&(-0.1*x+5)exp(0.1*x-5)\\\hline
deriver(deriver(P(x),x),x)			&(-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5)\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $P'(x)$ sur l'intervalle [0~;~60] où $P'$ est la fonction dérivée de $P$.\index{dérivée}
		\item En déduire les variations de la fonction $P$ sur l'intervalle [0~;~60] et vérifier que la fonction $P$ admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $P(x) = 10$ a une solution unique $x_0$ sur l'intervalle [0~;~40].
	
Donner une valeur approchée de $x_0$ à 0,1 près.
\item En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité
de la fonction $P$.\index{fonction convexe}
\end{enumerate}
\end{document}