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%Tapuscrit : Denis Vergès relu par Arié Yallouz 
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 26 avril 2017} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry~\decofourright\\[4pt]26 avril 2017}} 
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. \\Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~10]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère d'origine O :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(11,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{10}{x ln x mul x dup mul 4 div sub  0.8 mul}
\rput(8,0.75){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre de solutions sur l'intervalle ]0~;~10] de l'équation $f'(x) = 0$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 1 &\textbf{b.~~} 2 &\textbf{c.~~} 3
\end{tabularx}
\medskip

\item Le nombre réel $f'(7)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} nul &\textbf{b.~~} strictement positif &\textbf{c.~~} strictement négatif
\end{tabularx}
\medskip

\item La fonction $f'$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~} croissante sur ]0~;~10] &\textbf{b.~} croissante sur [4~;~7] &\textbf{c.~} décroissante sur [4~;~7]
\end{tabularx}
\medskip
\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle ]0~;~10] on a: $f'(x) = \ln x - \dfrac{x}{2} + 1$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet sur cet intervalle un point d'inflexion:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} d'abscisse 2,1 &\textbf{b.~~} d'abscisse 0,9 &\textbf{c.~~} d'abscisse 2
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.

Dans cet exercice, tous les résultats approchés seront donnés à $10^{-3}$ près.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 34\,\% des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes;
\item[$\bullet~~$] parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5\,\% ont plus de 60 ans;
\item[$\bullet~~$] parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84\,\% ont moins de 60 ans.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og le coureur a terminé le marathon en moins de 234 minutes \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og le coureur a moins de 60 ans \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, la probabilité de l'évènement $E$ est notée 
$P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$. De plus $\overline{E}$ désigne l'évènement contraire de $E$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l'exercice :
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\naput{0,34}}
	{\TR{$B$}\naput{\dots}
	\Tr{$\overline{B}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$B$}\naput{\dots}
	\Tr{$\overline{B}$}\nbput{\ldots}
	}
} 
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234~minutes et soit âgée de plus de 60 ans.
		\item Vérifier que $P\left(\overline{B}\right) \approx 0,123$.
		\item Calculer $P_{\overline{B}}(A)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville
est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart type $\sigma = 39$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(210 \leqslant T \leqslant 270)$.
\item Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre $210$ minutes et $270$ minutes pour finir le marathon.

Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de $240$ minutes.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P (T \leqslant 300)$.
		\item Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $t$, arrondi à l'unité, vérifiant $P(T \geqslant t) = 0,9$.
		\item Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité, candidats L}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par 

\[u_0 = 150\: \:\text{ et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 0,8 u_n + 45.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Voici deux propositions d'algorithmes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$N$ est un entier naturel&&$N$ est un entier naturel\\
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation:}&&\textbf{Initialisation:}\\
$U$ prend la valeur 150&&$U$ prend la valeur 150\\
$N$ prend la valeur 0&&$N$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}&&\textbf{Traitement :}\\
Tant que $U \geqslant 220$&&Tant que $U < 220$\\
$U$ prend la valeur $0,8 \times U + 45$&&$U$ prend la valeur $0,8 \times U + 45$\\
$N$ prend la valeur $N + 1$&&$N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que&&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}&&\textbf{Sortie :}\\
Afficher $N$&&Afficher $N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 1}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 2}}
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 220$.
		
Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.
		\item Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme choisi à la question précédente ?
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

$v_n = u_n - 225$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 225 - 75 \times  0,8^n$.
	\end{enumerate}
\item Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son
centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de $150$.
		
On fait l'hypothèse que d'une année sur l'autre :

\setlength\parindent{25mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20 \,\% des participants ne reviennent pas l'année suivante ;
\item[$\bullet~~$] 45 nouveaux participants s'inscrivent à la course.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le
nombre de participants à 250.

Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Alexis part en voyage dans l'Est des Etats-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes :
\begin{center}
Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).\end{center}

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(12,9.5)
%\psgrid
\rput(.5,8.5){\circlenode{C}{C}}
\rput(12,9){\circlenode{B}{B}}
\rput(10.5,7){\circlenode{N}{N}}
\rput(8,6){\circlenode{W}{W}}
\rput(3,3.5){\circlenode{A}{A}}
\rput(4.5,0.5){\circlenode{M}{M}}
\ncarc[arcangle=20]{C}{B}\ncput*[nrot=:U]{130}
\ncarc[arcangle=-30]{N}{B}\ncput*[nrot=:U]{170}
\ncarc[arcangle=30]{W}{N}\ncput*[nrot=:U]{140}
\ncarc[arcangle=20]{C}{W}\ncput*[nrot=:U]{120}
\ncarc[arcangle=20]{C}{A}\ncput*[nrot=:U]{100} 
\ncarc[arcangle=-50]{C}{M}\ncput*[nrot=:U]{150}
\ncarc[arcangle=20]{M}{W}\ncput*[nrot=:U]{160}
\ncarc[arcangle=-50]{M}{N}\ncput*[nrot=:U]{250}
\ncarc[arcangle=20]{A}{W}\ncput*[nrot=:U]{130}
\end{pspicture}
\end{center}

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles caractéristiques du graphe permettent d'affirmer qu'il existe un trajet qui permet à Alexis d'emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
		\item Donner un exemple d'un tel trajet.
	\end{enumerate}
\item Alexis veut relier Boston à Miami.
	
En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher ainsi que le coût de ce trajet.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice d'adjacence $P$ de ce graphe en classant les sommets par ordre
alphabétique.
		\item Alexis souhaite aller d'Atlanta à Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes.
		
Combien y a-t-il de trajets possibles ? Justifier la démarche puis décrire chacun de ces
trajets.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le
graphique situé en annexe.

Celui-ci présente dans un repère d'origine O la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~7].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l'équation 

$f(x) = 10$ sur l'intervalle [0~;~7].
\item Donner le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~7] et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
\item La valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} [9~;~17]&\textbf{b.~~} [18~;~26] &\textbf{c.~~} [27~;~35]
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et
dérivable sur l'intervalle [0~;~7] d'expression:

\[f(x) = 2x \text{e}^{- x + 3}.\]

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~7], $f'(x) = (- 2x + 2)\text{e}^{-x + 3}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~7] puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
		\item Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~7].
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l'intervalle [0~;~7] que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
		\item On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près.
		
Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~7] par:
	
\[F(x) = (- 2x - 2)\text{e}^{-x + 3}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~7].
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par les droites d'équation $x = 1$,\: $x = 3$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d'objets ($x$ compris entre $0$ et $7$).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l'euro près, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets.
		\item L'entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à \np{10000} euros.
		
Déterminer le nombre d'objets possibles que l'entreprise devra vendre pour atteindre son
objectif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE}

\bigskip

\textbf{\large N'est pas à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,16)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,0)(8,16)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(8,16)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{2 x mul 2.71828 3 x sub exp mul}
\uput[d](7.5,0){$x$}\uput[l](0,15.5){$y$}
\uput[u](3,7){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}