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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : Arié Yallouz
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small 11 juin 2018}
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\label{Etranger}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers Terminale ES 11 juin 2018~\decofourright\\[5pt]}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
n'est demandée. \\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
n'enlèvent de point.\\
 Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.}
 
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \text{e}^{-3x} + \text{e}^2$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x) = - \text{e}^{-3x} + 2\text{e}$ 	&\textbf{B.~~} $f'(x) = -3\text{e}^{-3x}+ \text{e}^2$\\
\textbf{C.~~} $f'(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ 		&\textbf{D.~~} $f'(x) = \text{e}^{-3x}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  D'après une étude, le nombre d'objets connectés à Internet à travers le monde
est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L'arrondi au dixième
du taux d'évolution annuel moyen est de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} 10,5\,\% &\textbf{B.~~} 68,8\,\%\\
\textbf{C.~~} 39,3\,\% &\textbf{D.~~} 20,8\,\%
\end{tabularx}
\medskip
\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 13$ et
d'écart-type $\sigma = 2,4$. L'arrondi au centième de $P(X \geqslant 12,5)$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} 0,58&\textbf{B.~~} 0,42\\
\textbf{C.~~} 0,54&\textbf{D.~~} 0,63
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [14~;~16].
$P(X \leqslant 15,5)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~}0,97 &\textbf{B.~~} 0,75\\
\textbf{C.~~}0,5&\textbf{D.~~}$\dfrac{1}{4}$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe
un système de filtration.

En journée, la masse d'algues augmente de 2\,\%, puis à la nuit tombée, le propriétaire
actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 1$00$~kg d'algues. On
admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.

Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation
du système de filtration est de \np{2000}~kg.

On modélise par $a_n$ la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation
du système de filtration pendant $n$ jours ; ainsi, $a_0 = \np{2000}$. On admet que cette
modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d'algues après deux jours de
fonctionnement du système de filtration est de \np{1878,8} kg.
\item On affirme que pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 1,02a_n - 100$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier à l'aide de l'énoncé la relation précédente.
		\item  On considère la suite $\left(b_n\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par:
		
\[b_n = a_n - \np{5000}.\]
		
Démontrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme
$b_0$ et sa raison.
		\item  En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de
$n$, puis montrer que $a_n = \np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n$.
		\item  En déterminant la limite de la suite $\left(a_n\right)$, justifier que les algues finissent
par disparaître.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il détermine le nombre
de jours nécessaire à la disparition des algues.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline	
$N \gets 0$\\
$A \gets \np{2000}$\\
Tant que \ldots\\
\hspace{1cm}$A \gets \ldots$\\
\hspace{1cm}$N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\
Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Quel est le résultat renvoyé par l'algorithme ?
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre par le calcul l'inéquation $\np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n \leqslant 0$.
		\item Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une société d'autoroute étudie l'évolution de l'état de ses automates de péage en
l'absence de maintenance.

Un automate peut se trouver dans l'un des états suivants:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] fonctionnel (F) ;
\item[$\bullet~~$] en sursis (S) s'il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse;
\item[$\bullet~~$] défaillant (D) s'il ne fonctionne plus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

La société a observé que d'un jour sur l'autre :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] concernant les automates fonctionnels, 90\,\% le restent et 10\,\% deviennent
en sursis;
\item[$\bullet~~$] concernant les automates en sursis, 80\,\% le restent et 20\,\% deviennent
défaillants.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les
évolutions possibles de l'état d'un automate.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,1.5)
\cnodeput(0,0){A}{\large F}\cnodeput(3,0){B}{\large S}\cnodeput(6,0){C}{\large D}
\ncline{->}{A}{B}\ncline{->}{B}{C}
%\ncloop{A}{A}\ncloop{B}{B}\ncloop{C}{C}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{\ldots}
\nccircle[angleA=-90]{->}{C}{0.4cm}\Bput{1}
\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{0.4cm}\Aput{\ldots}
\uput[u](1.5,0){\ldots}\uput[u](4.5,0){\ldots}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  Interpréter le nombre 1 qui apparaît sur ce graphe.
(

		\item  Voici la matrice de transition $M = \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre F, S, D.

Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.
	\end{enumerate}
\item  À compter d'une certaine date, la société relève chaque jour à midi l'état de
ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :
	
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$f_n$ la probabilité qu'un automate soit fonctionnelle $n$-ième jour;
\item[$\bullet~~$] $s_n$ la probabilité qu'un automate soit en sursis le $n$-ième jour;
\item[$\bullet~~$] $d_n$ la probabilité qu'un automate soit défaillant le $n$-ième jour.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On note alors $P_n = \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste le $n$-ième jour.

Enfin, la société observe qu'au début de l'expérience tous ses automates sont fonctionnels: on a donc $P_0 = \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_1$.
		\item Montrer que, le 3\up{e} jour, l'état probabiliste est $\begin{pmatrix}0,729 &0,217 &0,054\end{pmatrix}$.
		\item  Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P = \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.
		
Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1} = 0,1f_n + 0,8s_n$.
		\item On vérifierait de même que pour tout entier naturel $n$,
		
\[d_{n+1} = 0,2s_n + d_n \quad \text{et } \:f_{n+1} = 0,9f_n.\]
		
Compléter l'algorithme ci-dessous de sorte qu'il affiche le nombre de jours au
bout duquel 30\,\% des automates ne fonctionnent plus.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$D \gets 0$\\
$S \gets ...$\\
$F \gets 1$\\
$N \gets 0$\\
Tant que \ldots\\
\hspace{1cm}$D \gets 0,2 \times S + D$\\
\hspace{1cm}$S \gets 0,1 \times F + 0,8 \times S$\\
\hspace{1cm}$F \gets 0,9 \times F$\\
\hspace{1cm}$N \gets ...$\\
Fin Tant que\\
Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  Au bout de combien de jours la proportion d'automates défaillants devient-elle
supérieure à 30\,\% ?
		\item  Dans le codage de la boucle \og Tant que \fg, l'ordre d'affectation des
variables $D$, $S$ et $F$ est-il important ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Une entreprise dispose d'un stock de guirlandes électriques. On sait que 40\,\% des
guirlandes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B.

Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes
provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des
raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en
intérieur qu'en extérieur.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard une guirlande dans le stock.

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On note $A$ l'évènement \og la guirlande provient du fournisseur A\fg{} et
$B$ l'évènement \og la guirlande provient du fournisseur B \fg.
\item[$\bullet~~$] On note $I$ l'évènement \og la guirlande peut être utilisée uniquement en
intérieur \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
		\item Montrer que la probabilité $P(I)$ de l'évènement $I$ est $0,3$.
		\item On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en
extérieur. Le responsable de l'entreprise estime qu'il y a autant de chance
qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
		
Le responsable a-t-il raison ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur est
vendue $5$~\euro{} et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est
vendue $3$~\euro.
	
Calculer le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock.
\item  Lors d'un contrôle qualité, on prélève au hasard $50$ guirlandes dans le stock. Le
stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un
tirage aléatoire avec remise. On admet que la proportion de guirlandes
défectueuses est égale à $0,02$.
	
Calculer la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le
résultat à $10^{-3}$.
\item L'entreprise souhaite connaître l'opinion de ses clients quant à la qualité de ses
guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon
aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de
confiance de 95\,\% à l'aide d'un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou
égale à 8\,\%.
	
Combien l'entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\medskip

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~20]$ par:

\[f(x) = \np{1000}(x + 5)\text{e}^{- 0,2x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A - Étude graphique}

\medskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la
fonction $f$.

\emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.0012cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-200)(22,6000)
\multido{\n=0.0+0.4}{56}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6000)}
\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,6000)}
\multido{\n=0+200}{31}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(22,\n)}
\multido{\n=0+1000}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(22,\n)}
\multido{\n=0+1000}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[u](21,0){$x$} \uput[l](0,5800){$f(x)$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=6000]{->}(0,0)(0,0)(22,6000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x 5 add 1000 mul 2.71828 0.2 x mul exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = \np{3000}$.
\item Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de $f$ entre 2 et 8 à
une unité d'aire près. Justifier la démarche.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude théorique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~20].

Démontrer que pour tout $x$ de [0~;~20], $f'(x) = - 200x\text{e}^{-0,2x}$.
\item  En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur
l'intervalle [0~;~20]. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans
le tableau.
\item  Démontrer que l'équation $f(x) = \np{3000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur
[0~;~20], puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l'aide de la
calculatrice.
\item  On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par l'expression

$F(x) = - \np{5000}(x + 10)\text{e}^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~20].

Calculer $\displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à
l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Application économique}

\medskip

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0~;~20] par la
fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.

Le nombre $f(x)$ représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est
égal à $x$ euros.

Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes:

\bigskip

\begin{enumerate}
\item En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle
supérieure à \np{3000}~objets ?
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle
[2~;~8]. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{document}