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% Tapuscrit François Hache et Arié Yallouz
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 22 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Métropole--La Réunion 22 juin 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu=45$ et d'écart-type $\sigma=12$.

\smallskip

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant:
\begin{enumerate}
\item $p(X=10)$
\item $p(X\geqslant 45)$
\item $p(21 \leqslant X \leqslant 69)$
\item $p(21 \leqslant X \leqslant 45)$
\end{enumerate}

\item Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché.

\item Déterminer la valeur de $a$, arrondie à l'unité, telle que $P(X\leqslant a)=0,30$. Interpréter la valeur de $a$ dans le contexte de l'énoncé.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

En 2013, une étude a montré que 89\,\% des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de 300 clients pris au hasard en 2013.
\end{enumerate}

Lors d'une enquête réalisée en 2018 auprès de 300 clients choisis au hasard, 286 ont déclaré être satisfaits.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l'enquête réalisée en 2018.
\item Peut-on affirmer, au seuil de 95\,\%, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.\\
Les parties \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes.}

\newpage

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Dans un établissement scolaire, 30\,\% des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, 40\,\% sont des filles. Parmi ceux n'étant pas inscrits dans un club de sport, 50\,\% sont des garçons.

\smallskip

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.}

\medskip
\begin{list}{\textbullet}{On interroge un élève au hasard et on considère les évènements suivants:}
    \item $S$: \og l'élève est inscrit dans un club de sport \fg{}
    \item $F$: \og l'élève est une fille \fg{}  
\end{list}

\begin{minipage}{0.75\linewidth}
La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-contre.

\begin{enumerate}
\item La probabilité $p_{\overline{F}}(S)$ est la probabilité que l'élève soit:
\begin{enumerate}
\item inscrit dans un club de sport sachant que c'est un garçon;
\item un garçon inscrit dans un club de sport;
\item inscrit dans un club de sport ou un garçon;
\item un garçon sachant qu'il est inscrit dans un club de sport.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.23\linewidth}
\scalebox{0.8}{
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S$}\naput{$0,3$}}
	{
	\TR{$F$}\naput{$0,4$}
	\TR{$\overline{F}$}\nbput{}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{S}$}\nbput{}}
	{
	\TR{$F$}\naput{}
	\TR{$\overline{F}$}\nbput{$0,5$}
	}
}
}% fin du scalebox
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On admet que $P(F)=0,47$. La valeur arrondie de $P_{F}(S)$ est:

\medskip

\hspace*{1cm}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$0,141$ & \textbf{b.}~~$0,255$ & \textbf{c.}~~$0,400$ & \textbf{d.}~~$0,638$
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1~;~4]$ par $g(x) = - x^3 + 3x^2 - 1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 a pour équation:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$y = - 3x^2 + 6x$ & \textbf{b.}~~$y= 3x-2$ & \textbf{c.}~~$y= 3x - 3$ & \textbf{d.}~~$y = 2x - 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-1~; a]$ est nulle pour:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$a=0$ & \textbf{b.}~~$a=1$ & \textbf{c.}~~$a=2$ & \textbf{d.}~~$a=3$
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d'une hauteur de 10~m.

On mesure le niveau de l'eau chaque jour à midi.

Le 1\ier{} janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de $6,05$~m.

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{Entre deux mesures successives, le niveau d'eau du lac évolue de la façon suivante:
}
\item d'abord une augmentation de 6\,\% (apport de la rivière);
\item ensuite une baisse de 15~cm (écoulement à travers le barrage).
\end{list}

\begin{enumerate}
\item On modélise l'évolution du niveau d'eau du lac par une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$, le terme $u_n$ représentant le niveau d'eau du lac à midi, en cm, $n$ jours après le 1\ier{} janvier 2018.

Ainsi le niveau d'eau du lac, en cm, le 1\ier{} janvier 2018 est donné par $u_0=605$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.
		\item Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=1,06 u_n - 15$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout $n\in \N$, $v_n=u_n-250$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,06$.

Préciser son terme initial.
		\item Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_n=355\times 1,06^{n}+250$.
	\end{enumerate}
\item Lorsque le niveau du lac dépasse 10~m, l'équipe d'entretien doit agrandir l'ouverture des vannes du barrage.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
		\item L'équipe d'entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Afin de déterminer la première date d'intervention des techniciens, on souhaite utiliser l'algorithme incomplet ci-dessous.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|p{5cm}|}
\hline
$N \leftarrow 0$\\
$U \leftarrow 605$\\
Tant que ..................... faire\\
\hspace{1cm} $U \leftarrow ....................$\\
\hspace{1cm} $N\leftarrow N+1$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme.
		\item À la fin de l'exécution de l'algorithme, que contient la variable $N$?
		\item En déduire la première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{multicols}{2}

Un parcours sportif est composé d'un banc pour abdominaux, de haies et d'anneaux. Le graphe orienté ci-contre indique les différents parcours conseillés partant de D et terminant à F.

\smallskip

Les sommets sont: D (départ), B (banc pour abdominaux), H (haies), A (anneaux) et F (fin du parcours).

Les arêtes représentent les différents sentiers reliant les sommets. 

\columnbreak

\begin{flushright}
\psset{unit=0.8cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {3.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
%%% définitions des points 
\psnode*(3;108){D}{}    \psnode*(3;36){H}{}   \psnode*(3;-36){A}{}
\psnode*(3;-108){F}{}   \psnode*(3;-180){B}{} 
%%% tracés des arêtes et des étiquettes
\ncline{D}{H} % \naput{19} %%% DH
\ncline{D}{A} % \naput{28} %%% DA
\ncline{D}{B} % \nbput{40} %%% DB
\ncline{H}{B} % \nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
\ncline{H}{F} % \nbput{32} %%% HF
\ncline{H}{A} % \naput{26} %%% HA
\ncline{A}{B} % \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
\ncline{A}{F} % \naput{25} %%% AF
\ncline{B}{F} % \nbput{14} %%% BF
%%% noms des points
\uput[-36](3;-36){A}       \uput[-180](3;-180){B}    \uput[108](3;108){D}
\uput[-108](3;-108){F}   \uput[36](3;36){H}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ordre du graphe?
\item On note $M$ la matrice d'adjacence de ce graphe où les sommets sont rangés dans l'ordre alphabétique.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $M$.
\item On donne
$M^3 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Assia souhaite aller de D à F en faisant un parcours constitué de 3 arêtes.

Est-ce possible? Si oui, combien de parcours différents pourra-t-elle emprunter?

Préciser ces trajets.
\end{enumerate}

\item Assia a relevé ses temps de course en minute entre les différents sommets. Ces durées sont portées sur le graphe ci-dessous.

Lors d'un entraînement, Assia souhaite courir le moins longtemps possible en allant de D à F. Déterminer le trajet pour lequel le temps de course est minimal et préciser la durée de sa course.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {3.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
%%% définitions des points 
\psnode*(3;108){D}{}    \psnode*(3;36){H}{}   \psnode*(3;-36){A}{}
\psnode*(3;-108){F}{}   \psnode*(3;-180){B}{} 
%%% tracés des arêtes et des étiquettes
\ncline{D}{H} \naput{19} %%% DH
\ncline{D}{A} \naput{28} %%% DA
\ncline{D}{B} \nbput{40} %%% DB
\ncline{H}{B} \nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
\ncline{H}{F} \nbput{32} %%% HF
\ncline{H}{A} \naput{26} %%% HA
\ncline{A}{B} \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
\ncline{A}{F} \naput{25} %%% AF
\ncline{B}{F} \nbput{14} %%% BF
%%% noms des points
\uput[-36](3;-36){A}       \uput[-180](3;-180){B}    \uput[108](3;108){D}
\uput[-108](3;-108){F}   \uput[36](3;36){H}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée T. De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont possibles.

\smallskip

La matrice d'adjacence $N$ associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans lequel les sommets sont classés en ordre alphabétique, est

\[N =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\]

Compléter l'annexe 1 à rendre avec la copie, en ajoutant les arêtes nécessaires au graphe orienté correspondant à la matrice $N$.

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ par

\[f(x) = (2x+1)\e^{-2x}+3.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in  [-2~;~4]$,
 
 \[f'(x)=-4x\e^{-2x}.\]
 
\item Étudier les variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2~;~0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
\item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. On admet que, pour tout $x\in [-2~;~4]$,

\[f''(x)=(8x-4)\e^{-2x}.\]

	\begin{enumerate}
 		\item Étudier le signe de $f''$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
		\item En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe. 
	\end{enumerate} 
\item On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~; 4]$ par $g(x) = (2x + 1)\e^{- 2x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in [-2~;~4]$ par $G(x)=(- x- 1)\e^{-2x}$ est une primitive de la fonction $g$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
		\item Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathcal{A}$, en unité d'aire, par deux entiers consécutifs.
		\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis une valeur approchée au centième. 
	\end{enumerate}
 \end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}\\
\textbf{Exercice 3 - Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
%%% définitions des points 
\psnode*(3;108){D}{}    \psnode*(3;36){H}{}   \psnode*(3;-36){A}{}
\psnode*(3;-108){F}{}   \psnode*(3;-180){B}{} 
%%% tracés des arêtes et des étiquettes
\ncline{D}{H} % \naput{19} %%% DH
\ncline{D}{A} % \naput{28} %%% DA
\ncline{D}{B} % \nbput{40} %%% DB
\ncline{H}{B} % \nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
\ncline{H}{F} % \nbput{32} %%% HF
\ncline{H}{A} % \naput{26} %%% HA
\ncline{A}{B} % \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
\ncline{A}{F} % \naput{25} %%% AF
\ncline{B}{F} % \nbput{14} %%% BF
%%% noms des points
\uput[-36](3;-36){A} \uput[-180](3;-180){B} \uput[108](3;108){D}
\uput[-108](3;-108){F} \uput[36](3;36){H}
\psdots[dotscale=1.5,linecolor=blue](0,0) \uput[ur](0,0){\blue T}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\begin{center}
\textbf{Annexe 2}

\textbf{Exercice 4 - Commun à tous les candidats}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {4.6}
\def\ymin {-7}   \def\ymax {5.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1.2cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(\xmin,-4)(\xmax,5) 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
\def\f{2 x mul 1 add 2.7183 -2 x mul exp mul 3 add}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{4}{\f}
\uput[u](2.5,3){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}