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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat TES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 4 septembre 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES Polynésie
~\decofourright\\[8pt]4 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d'origine O est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle ]0~;~10].
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(11,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1](-2,-3)(11,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-3)(11,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(11,7)
\psline(-1.5,0.5)(4.5,6.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0.01}{10}{x  2 mul  1 add  x ln x mul sub}
\psline(-1,3.71828)(10,3.71828)\uput[r](10,3.71828){$\mathcal{D}$}
\psdots(1,3)(4,6)(2.71828,3.71828)
\uput[ul](1,3){P} \uput[u](4,6){R} \uput[dr](2.71828,3.71828){Q}
\uput[ur](6.5,2){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[u](10.5,0){$x$} \uput[r](0,6.5){$y$}
\uput[d](2.71828,0){e} \psline(2.71828,-0.05)(2.71828,0.05)
\end{pspicture}
\end{center}

On considère les points P (1~;~3) et R (4~;~6). Le point Q a pour abscisse e, avec e $\approx 2,718$.

Les points P et Q appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$. La droite $\mathcal{D}$ est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point Q.

La droite (PR) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point P et la droite $\mathcal{D}$ est tangente à la courbe v au point Q.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront donnés à l'aide d'une lecture graphique et sans justification.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois propositions ci-dessous, quelle est celle qui désigne l'équation de la droite (PR) ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $y = 2x + 1$ &\textbf{b.~~} $y=x+2$ &\textbf{c.~~} $y = 2x + 2$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
\item  Une seule de ces trois propositions est exacte :
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est convexe sur l'intervalle ]0~;~10];
		\item $f$ est concave sur l'intervalle ]0~;~10] ;
		\item $f$ n'est ni convexe ni concave sur l'intervalle ]0~;~10].
 	\end{enumerate}
Laquelle ?	
\item Encadrer l'intégrale $\displaystyle\int_1^2 f(x)\:\text{d}x$ par deux entiers consécutifs.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~10] par :

\[f (x) = - x \ln x + 2x + 1.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Démontrer que la fonction $f$ admet un maximum sur l'intervalle ]0~;~10].
		\item Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l'intervalle ]0~;~10].
\item  On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = - \dfrac{x^2}{2} \ln x + \dfrac{5}{4}x^2 + x - 7$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~10].
	
Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^2 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par :

\[f(x) = 4 \text{e}^{-0,5x+1} + x - 1\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~10] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On donne en annexe, à remettre avec la copie, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10] dans un repère d'origine O.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] on a : $f'(x) = - 2 \text{e}^{-0,5x+1} + 1$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle [1~;~10], l'équation $f'(x) = 0$ admet pour unique solution le nombre $\alpha = 2 + 2\ln 2$.
		\item Placer sur le graphique fourni en annexe  le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item  On admet que l'ensemble des solutions sur l'intervalle [1~;~10] de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ est $[2 + 2\ln 2~;~10]$.
	
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10].
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
L'entreprise \og COQUE EN STOCK \fg{} fabrique et commercialise des coques pour téléphone portable.
 
Son usine est en mesure de produire entre $100$ et \np{1000} coques par jour.
 
La fonction $f$ permet de modéliser le coût de production d'une coque en fonction du nombre
de centaines de coques produites par jour. Ainsi, si $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites alors $f(x)$ représente le coût, en euros, de production d'une coque.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer, au centime près, le coût de production d'une coque dans le cas de la fabrication de $500$~coques par jour.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que produire $339$ coques par jour permet de minimiser le coût unitaire de production.
		\item En déduire le coût minimal de production d'une coque, en euros, au centime près.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le prix de vente d'une coque peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par :

\[g(x) = -\dfrac{1}{4}x + 6\]

où $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites et $g(x)$ le prix de vente d'une coque en euros.

Estimer les quantités de coques à produire par jour afin d'assurer un bénéfice à l'entreprise.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$, de raison $0,9$ et de premier terme $u_0 = 50$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il calcule et affiche le 25\up{e} terme de cette suite, c'est-à-dire $u_{24}$ :
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables} :		&$N$ est un entier naturel\\
							&$U$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation} : 	&$U$ prend la valeur \:\ldots\\
\textbf{Traitement} : 		&Pour $N$ allant de 1 à 24\\
							&$U$ prend la valeur \:\ldots\\
							&Fin Pour\\
\textbf{Sortie} :			
							&Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $u_{24}$ et donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n  < 0,01$.
\item On souhaite calculer la somme $S_{24} = u_0 + u_1 + \cdots + u_{24}$.
	
Voici trois propositions d'algorithmes:
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.001cm}|X|p{0.001cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}	
\textbf{Variables} :		&&\textbf{Variables} :&&\textbf{Variables} :\\
$N$ est un entier naturel	&&$N$ est un entier naturel&&$N$ est un entier naturel\\
$S$ est un nombre réel		&&$S$ est un nombre réel&&$S$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation} :	&&\textbf{Initialisation} :&&\textbf{Initialisation} :\\
$S$ prend la valeur $0$		&&$S$ prend la valeur $0$&&$S$ prend la valeur $50$\\
\textbf{Traitement }:		&&\textbf{Traitement }:&&\textbf{Traitement }:\\
Pour $N$ allant de 0 à 24	&&Pour $N$ allant de 0 à 24&&Pour $N$ allant de 0 à 24\\
$S$ prend la valeur 		&&$S$ prend la valeur &&$S$ prend la valeur \\
$S + 50 \times 0, 9^N$		&&$ 50 \times 0, 9^N$&&$S + 50 \times 0, 9^N$\\
Fin Pour					&&Fin Pour&&Fin Pour\\
\textbf{Sortie} :			&&\textbf{Sortie} :&&\textbf{Sortie} :\\
Afficher $S$				&&Afficher $S$&&Afficher $S$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 1}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer la somme $S_{24}$ et de l'afficher.
		
Préciser lequel en justifiant la réponse.
		\item Calculer la somme $S_{24}$.
		
On donnera une valeur approchée du résultat à l'unité près.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n = u_0 + \cdots + u_n$.

On admet que la suite $\left(S_n\right)$ est croissante et que pour tout entier naturel $n$,

$S_n = 500 - 450 \times 0,9^n$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		\item Alex affirme que $S_n$ peut dépasser $500$ pour une valeur de l'entier $n$ suffisamment grande.
		
Que pensez-vous de son affirmation ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise spécialisée dans la personnalisation des étuis de smartphones fait ses achats chez deux fournisseurs :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un fournisseur A qui lui garantit 99\,\% d'étuis non défectueux;
\item[$\bullet~~$] un fournisseur B qui lui garantit 94\,\% d'étuis non défectueux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sait également que 80\,\% des étuis achetés par l'entreprise proviennent du fournisseur A (le reste provenant du fournisseur B).

On choisit au hasard un étui de smartphone et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  $A$  : \og l'étui provient du fournisseur A \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]  $B$ : \og l'étui provient du fournisseur B\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]  $D$ : \og l'étui est défectueux \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité qu'un étui soit défectueux.
\item On choisit un étui au hasard et on constate qu'il est défectueux.

Montrer que la probabilité qu'il provienne du fournisseur B est égale à $0,6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que le fournisseur B garantit 94\,\% d'étuis non défectueux.

Un employé de l'entreprise prélève un échantillon de 400 étuis qui proviennent du fournisseur B.

Il constate que $350$ de ces étuis ne sont pas défectueux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de $400$ étuis provenant du fournisseur B.

On donnera des valeurs approchées au millième des bornes de cet intervalle.
\item Faut-il informer le fournisseur B d'un problème ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre $19,8$~mm et $20,2$~mm.

Le fournisseur B souhaite qu'au moins 95\,\% des étuis produits soient conformes. Pour cela, il veut vérifier les réglages des machines de production.

On choisit un étui au hasard dans la production du fournisseur B. 

On note $X$ la variable aléatoire associée à l'épaisseur (en mm) de l'étui. On admet que $X$ suit une loi normale d'espérance 20 mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En observant les réglages des machines de production, le fournisseur B constate que l'écart-type de $X$ est égal à $0,2$.

Justifier qu'il faut revoir les réglages des machines.
\item Déterminer une valeur de l'écart-type de $X$ pour laquelle la probabilité qu'un étui soit conforme est environ égale à $0,95$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\medskip

\textbf{À remettre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(11,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1](-1,-1)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(11,10)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{10}{4 2.71828 0.5 x mul 1 sub exp div x add 1 sub}
\uput[dr](9.5,8.5){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[u](10.5,0){$x$} \uput[r](0,10){$y$} 
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}