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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 7 septembre 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\label{Antillessep}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L Antilles-Guyane
~\decofourright\\[4pt]7 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de
réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier l'affirmation choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Des élections doivent se dérouler dans un certain pays. Deux candidats se présentent,
le candidat A et le candidat B.

Avant les élections, un organisme de sondage veut estimer la proportion d'électeurs
qui voteront pour le candidat A. Pour cela il réalise un sondage auprès d'un échantillon
de \np{1050} électeurs. Parmi eux, $504$ annoncent vouloir voter pour le candidat A et tous
les autres pour le candidat B.\index{intervalle de fluctuation asymptotique}

\quad \textbf{Affirmation 1 :} c'est certain, le candidat A va perdre l'élection.

\quad \textbf{Affirmation 2 :} le candidat A aura 48\,\% des voix le jour de l'élection.

\quad \textbf{Affirmation 3 :} la probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91\,\% et 51,09\,\% des votes est d'environ 0,48.

\quad \textbf{Affirmation 4 :} la probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91\,\% et 51,09\,\% des votes est d'environ 0,95.

\item Sur le graphique ci-dessous est représentée la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle [0~;~7]. Les points A et B ont pour coordonnées A(2~;~5) et B(4~;~6,8). La droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(8,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(8.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{7}{x 3 exp 0.1 mul x dup mul 1.2 mul sub 4.5 x mul add}
\uput[ul](2,5){A} \uput[dr](4,6.8){B}
\psdots(2,5)(4,6.8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5.2}{0.9 x mul 3.2 add}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A admet pour équation :
		
\quad \textbf{Affirmation 1 :} $y = - 0,9 x + 3, 2$
		
\quad \textbf{Affirmation 2 :} $y = 0,9x + 3,5$

\quad \textbf{Affirmation 3 :} $y = 0,9x + 3,2$
		
\quad \textbf{Affirmation 4 :} $y = 1,8x + 3,2$
		
		\item 
\quad \textbf{Affirmation 1 :} $f(0) \leqslant \displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x \leqslant  f(5)$
		
\quad \textbf{Affirmation 2 :} $2 \leqslant  \displaystyle\int_2^7 f(x)\:\text{d}x  \leqslant 7$
		
\quad \textbf{Affirmation 3 :} $18 \leqslant  \displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x\leqslant   19$
		
\quad \textbf{Affirmation 4 :} $25 \leqslant  \displaystyle\int_2^7 f(x)\:\text{d}x \leqslant 31$
	\end{enumerate} 
\item  On écrit les deux algorithmes suivants:\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$V$ est un nombre réel\\
$S$ est un nombre réel\\
$N$ est un entier naturel\\
\textbf{Traitement :}\\
Affecter la valeur $10$ à $V$\\
Affecter la valeur $10$ à $S$\\
Affecter la valeur $0$ à $N$\\
Tant que $S \leqslant 50$\\
\quad $V$ prend la valeur $1,05 \times V$\\
\quad $S$ prend la valeur $S + V$\\
\quad $N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabular}&\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$V$ est un nombre réel\\
$S$ est un nombre réel\\
$K$ est un nombre réel\\
\textbf{Traitement :}\\
Affecter la valeur $10$ à $V$\\
Affecter la valeur $10$ à $S$\\
Pour $K$ allant de 1 à 4\\
\quad $V$ prend la valeur $1,05 \times V$\\
\quad $S$ prend la valeur $S + V$\\
Fin Pour\\
\textbf{Sortie :}\\
Afficher $S$\\\hline
\end{tabular}\\
\textbf{algorithme 1}&\textbf{algorithme 2}\\
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item 
		
\quad \textbf{Affirmation 1 :} l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre 43 et 44.

\quad \textbf{Affirmation 2 :} l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre 55 et 56.

\quad \textbf{Affirmation 3 :} l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à 3.

\quad \textbf{Affirmation 4 :} l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à 4.
		\item 

\quad \textbf{Affirmation 1 :} l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre 43 et 44.

\quad \textbf{Affirmation 2 :} l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre 55 et 56.

\quad \textbf{Affirmation 3 :} l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à 3.

\quad \textbf{Affirmation 4 :} l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à 4.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}
 
\medskip
 
Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos. 
 La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.
 
Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, 20\,\% des vélos
sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui
permet de racheter $30$~vélos par an.
 
Le 1\up{er} janvier 2017, le parc contient $200$ vélos utilisables.
 
On modélise l'évolution du nombre de vélos utilisables par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour
tout entier naturel $n$,\: $u_n$ est le nombre de vélos le 1\up{er} janvier de l'année $2017 + n$.
 
Ainsi $u_0 = 200$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+ 1} = 0,8 \times u_n + 30$.\index{suite}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le coefficient $0,8$ dans l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1\up{er} janvier 2018 ?
	\end{enumerate}
\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - 150$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.\index{suite géométrique}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 50 \times 0,8^n + 150$.
		\item La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre
de vélos reste supérieur à $160$.
		
En quelle année le service de location s'arrêtera-t-il ?
	\end{enumerate}
\item  Pour l'aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu'elle est versée pour chaque année le 1\up{er} janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.
	
Cette subvention s'élève à $20$ euros par vélo disponible à la location.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années
s'élève à \np{7800} euros.
		\item Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1\up{er} janvier 2017
au 1\up{er} janvier 2025.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos réservé à ses habitants.

Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.

Le 1\up{er} janvier 2017, la ville compte 5\,\% d'abonnés parmi ses habitants. Ces dernières années, le responsable du service location a constaté que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 93\,\% des abonnements sont renouvelés;
\item[$\bullet~~$] 1\,\% des habitants qui n'étaient pas abonnés l'année précédente souscrivent un abonnement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $A$ l'état :  \og un habitant est abonné \fg{} et $P$ l'état: \og un habitant n'est pas abonné \fg.

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_n$ la probabilité qu'un habitant soit abonné l'année $2017 + n$ et $p_n$ la probabilité qu'un habitant ne soit pas abonné l'année $2017 + n$.

La matrice ligne $R_n = \begin{pmatrix}a_n& p_n\end{pmatrix}$ donne l'état probabiliste du nombre d'abonnés l'année $2017 + n$.

Ainsi $R_0 = \begin{pmatrix}a_0& p_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,05 &0,95\end{pmatrix}$.\index{matrice}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et P où le sommet
A représente l'état \og un habitant est abonné\fg{} et P l'état \og un habitant n'est pas abonné \fg.\index{graphe}
\item Déterminer la matrice de transition $T$ de ce graphe en respectant l'ordre A puis P des sommets.
\item Déterminer $R_1$.
\item Déterminer l'état probabiliste en 2021.

Les résultats seront arrondis au millième.
\item  On admet qu'il existe un état stable $\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $x$ et $y$ sont solutions du système : $\left\{\begin{array}{l c l}
		-7x+y	&=&0\\
\phantom{-7}x + y&=&1
		\end{array}\right.$.
		\item Déterminer l'état stable de ce graphe.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\parbox{0.54\linewidth}{Le responsable du service de location souhaite
vérifier l'état des pistes cyclables reliant
les parkings à vélos de location disposés
dans la ville. On modélise la disposition des
lieux par le graphe étiqueté ci-contre dont les
sommets représentent les parkings à vélo. Les
poids des arêtes sont les durées moyennes de
parcours, en minute, pour se rendre d'un parking
à l'autre en suivant la piste cyclable.} \hfill
\parbox{0.44\linewidth}{ 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\cnode*(0.5,1){2pt}{A} \cnode*(2,5.5){2pt}{B}
\cnode*(2.5,2.5){2pt}{C} \cnode*(2,0.5){2pt}{D}
\cnode*(5.25,2){2pt}{E} \cnode*(5.5,5.5){2pt}{F}
\cnode*(3,4.5){2pt}{G} 
\uput[l](0.5,1){$A$} \uput[u](2,5.5){$B$} \uput[r](2.5,2.5){$C$} 
\uput[dr](2,0.5){$D$} \uput[dr](5.25,2){$E$} \uput[ur](5.5,5.5){$F$} 
\uput[u](3,4.5){$G$}
\ncline{A}{B}\ncput*{6} \ncline{B}{C}\ncput*{5} \ncline{C}{A}\ncput*{5} 
\ncline{B}{G}\ncput*{5} \ncline{C}{G}\ncput*{4} \ncline{G}{F}\ncput*{7} 
\ncline{F}{E}\ncput*{4} \ncline{E}{G}\ncput*{2} \ncline{E}{D}\ncput*{9} 
\ncline{D}{A}\ncput*{2} \ncline{C}{D} \ncput*{2}
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en A jusqu'à
la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux
fois le même chemin ?
\item  Le responsable est pressé. Déterminer le parcours le plus rapide possible permettant
d'aller de A à F.\index{algorithme de Dijkstra}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Chaque année, les organisateurs d'une course de montagne proposent trois parcours de difficulté croissante : vert, bleu et rouge.

Les organisateurs ont constaté que 50\,\% des coureurs choisissent le parcours vert, 30\,\% choisissent
le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge.

Ils ont également constaté, en observant les années précédentes, que:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 3,2\,\% de l'ensemble des coureurs abandonnent la course ;
\item[$\bullet~~$] 2\,\% des coureurs du parcours vert abandonnent la course ;
\item[$\bullet~~$] 5\,\% des coureurs du parcours rouge abandonnent la course.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm} 
 
\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

À la fin de la course, on choisit au hasard un des participants de telle façon que tous ont la même probabilité d'être choisis. On note :\index{probabilité}

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  $V$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours vert \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]  $B$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours bleu \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]  $R$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours rouge \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]  $A$ l'évènement \og Le coureur a abandonné la course \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à
mesure de l'exercice.\index{arbre pondéré}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $V \cap A$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Un coureur se blesse et abandonne la course. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi le parcours vert ?
\item Démontrer que $P(B \cap A) = 0,012$.
\item En déduire la probabilité $P_B(A)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le temps hebdomadaire d'entraînement des coureurs du parcours rouge, exprimé en heure,
peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale dont l'espérance est de $6$~heures et l'écart type est de $2$~heures.\index{loi normale}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Lequel des deux graphiques suivants, graphique 1 ou graphique 2, représente la fonction
de densité de la loi normale de paramètres $\mu = 6$ et $\sigma = 2$ ? Justifier la réponse.\index{loi normale}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.08)(12,0.7)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.7)}
\multido{\n=0.00+0.05}{14}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(12,0.7)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,sigma=0.6,mue=6]{0}{12}
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.45cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.08)(12,0.7)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.7)}
\multido{\n=0.00+0.05}{14}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(12,0.7)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,sigma=2,mue=6]{0}{12}
\end{pspicture}\\
\multicolumn{1}{c}{\textbf{graphique 1}} &\multicolumn{1}{c}{\textbf{graphique 2}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Un magazine spécialisé interroge au hasard quelques participants du parcours rouge
afin de mener une enquête sur la durée de leur entraînement. On arrondira les résultats
au millième.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5~h et 7~h ?
		\item Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4~h ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}
	
\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}
	
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~25] par 

\[f(x) = 10 - \dfrac{\text{e}^{0,2x+1}}{x}.\]\index{fonction exponentielle}

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :

\begin{center}
\newcolumntype{Y}{>{\raggedleft \arraybackslash}X}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l Y|}\hline
$f(x) : 10 - \text{e}~\hat~ (0.2x+1)/x$&\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&$x \to 10 - \dfrac{\text{exp}(0.2x + 1)}{x}$\\ \hline
factoriser(deriver($f(x)$)&\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&$\dfrac{\text{exp}(0.2x + 1) * (1 - 0.2x)}{x^2}$\\ \hline
factoriser (deriver(deriver($f(x)$)))&\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&$\dfrac{\text{exp}(0.2x + 1) * (- x^2 + 10x - 50)}{25x^3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Retrouver par le calcul l'expression factorisée de $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.\index{dérivée}
\item Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle [1~;~25] et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [1~;~25]. On arrondira les valeurs au millième.
\item  On s'intéresse à l'équation $f(x) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle [1~;~5].
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [5~;~25].
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la solution $\alpha$.
\item  En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction $f$ est concave sur l'intervalle [1~;~25].\index{fonction concave}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice
réalisé, en millier d'euros, correspondant à la production d'une quantité de $x$ dizaines de
tonnes d'aliments.
 
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la partie A ci-dessus.
 
La production minimale est de 10 tonnes, ainsi $x \geqslant 1$.
 
\emph{Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? 

Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?
\item Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour
que la société réalise un bénéfice.
\end{enumerate}
\end{document}