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%Sujet aimablement communiqué par Sandra Depresle
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES (spécialité) Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]mars 2017} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\
Dans tout l'exercice, si nécessaire, les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

A l'occasion de la fête des Mères, un fleuriste décide de proposer à ses clients plusieurs
types de bouquets spéciaux.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Chaque bouquet spécial fête des Mères est composé uniquement d'œillets, uniquement
de tulipes ou uniquement de marguerites. Chaque bouquet est composé de fleurs d'une
même couleur, soit blanches, soit jaunes.

Ce fleuriste a choisi de préparer 60\,\% de ces bouquets spéciaux avec uniquement des
tulipes, 28\,\% avec uniquement des œillets, les autres bouquets ne comportant que des
marguerites.

On sait d'autre part que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item la moitié des bouquets confectionnés avec des tulipes sont de couleur jaune ;
\item la proportion de bouquets de coloris jaune parmi les bouquets d'œillets est de un
cinquième;
\item parmi les bouquets de marguerites, on compte un quart de jaunes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Un client entre dans le magasin et achète au hasard un bouquet parmi les bouquets
spéciaux \og Fête des Mères \fg.

On note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement : \og Je bouquet acheté est un bouquet de tulipes \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement : \og le bouquet acheté est un bouquet d'œillets \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement : \og le bouquet acheté est un bouquet de marguerites\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $J$ l'évènement : \og les fleurs du bouquet acheté sont jaunes\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og les fleurs du bouquet acheté sont blanches \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}\index{probabilité}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.\index{arbre de probabilités}
\item Calculer la probabilité que le client ait acheté un bouquet de tulipes blanches.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ notée $p(B)$ est égale à $0,614$.
\item Sachant que les fleurs du bouquet acheté par ce client sont blanches, déterminer
la probabilité que ce soit un bouquet d'œillets.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'un des fournisseurs du fleuriste est un jardinier spécialisé dans la production d'une
espèce de rosiers nommée \og Arlequin \fg.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque rosier de cette espèce pris au hasard,
cultivé chez ce jardinier, associe sa hauteur exprimée en centimètres. On admet, d'après
les observations et mesures réalisées, que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale
d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 3$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un rosier \og Arlequin \fg{} chez ce fournisseur.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que ce rosier mesure entre $47$ et $53$~centimètres.
		\item Déterminer la probabilité que ce rosier mesure plus de $56$~centimètres.
	\end{enumerate}
\item Le fournisseur veut prévoir quelle sera la hauteur atteinte ou dépassée par 80\,\%
de ses rosiers \og Arlequin \fg.

Déterminer la hauteur cherchée (on l'arrondira au mm).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

En se basant sur les ventes réalisées l'année précédente, cc fleuriste suppose que 85\,\%
de ses clients viendront ce jour-là acheter un des bouquets pour la fête des Mères.

Quelques semaines avant de préparer ses commandes, il décide de vérifier son
hypothèse en envoyant un questionnaire à $75$ de ses clients, ces derniers étant supposés
représentatifs de l'ensemble de sa clientèle.

Les réponses reçues montrent que, parmi les $75$ clients interrogés, $16$ déclarent qu'ils ne
lui achèteront pas de bouquet pour la fête des Mères.\index{intervalle de confiance}

Le fleuriste doit-il rejeter son hypothèse ?


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chaque question posée, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie. Aucune
justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une
fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-5~;~1]$.

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A$(-3~;~6)$ et passe par le point
$(-5~;~-2)$.

Le point A est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur $[- 5~;~1]$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-3)(2.2,15)
\multido{\n=-5+1}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,15)}
\multido{\n=-3+1}{19}{\psline[linewidth=0.2pt](-5.5,\n)(2.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,-3)(2.2,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1}{9 x 3  exp 3 div sub x dup mul 3 mul sub 5 x mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{-1}{4 x   mul 18 add}
\uput[u](2.15,0){$x$}\uput[r](0,14.5){$y$}
\psdots(-3,6)(-5,-2)(-5,0.667)(1,0.667)
\uput[dr](-3,6){A} \uput[r](-5,-2){B}\uput[l](-1.2,13.5){\red $T$}
\uput[r](0.8,2){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(- 3) = 6$&\textbf{B.~~}$f'(- 3) = 4$&\textbf{C.~~} $f'(- 3) =  \dfrac{1}{4}$&
\textbf{D.~~} $f'(- 3) = \dfrac{1}{6}$
\end{tabularx}

\medskip\index{lecture graphique}
\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. Alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}$f''(-3) = 6$&\textbf{B.~~}$f''(- 3) = 4$&\textbf{C.~~} $f''(-3) = 0$ &\textbf{D.~~} $f''(- 3) = \dfrac{1}{4}$
\end{tabularx}
\medskip

\item La fonction $f$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} convexe sur $[- 5~;~- 3]$&\textbf{B.~~} convexe sur $[-5~;~-1]$\\
\textbf{C.~~} convexe sur $[- 3~;~1]$&\textbf{D.~~}  concave sur $[-5~;~1]$
\end{tabularx}
\medskip
\item La fonction dérivée $f$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} décroissante sur $[-3~;~-1]$&\textbf{B.~~} croissante sur $[-3~;~-1]$\\
\textbf{C.~~} croissante sur $[-1~;~1]$&\textbf{D.~~}  croissante sur $[-5~;~-1]$
\end{tabularx}
\medskip\index{fonction convexe}
\item Toute primitive $F$ de la fonction $f$ est :\index{primitive}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} décroissante sur $[-5~;~1]$&\textbf{B.~~} croissante sur $[-5~;~1]$\\
\textbf{C.~~} constante sur $[-5~;~1]$&\textbf{D.~~} décroissante sur $[-1~;~1]$
\end{tabularx}
\medskip
\item  On note $I = \displaystyle\int_{-5}^{-4} f(x)\:\text{d}x$. Alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}$-2 \leqslant I \leqslant 0$&\textbf{B.~~}$- 5 \leqslant I \leqslant - 4$&
\textbf{C.~~}$0 < I \leqslant 2$&\textbf{D.~~} $2 < I<  4$
\end{tabularx}
\medskip\index{aire et intégrale}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les jeunes abonnés (c'est-à-dire de moins de 12 ans) inscrits à une médiathèque se
voient proposer une formule d'emprunt mensuel unique : chaque mois, chacun de ces
abonnés peut choisir d'emprunter exclusivement soit un livre, soit un film en DVD. On
suppose d'une part que le nombre d'inscrits ne varie pas et d'autre part que tous les
abonnés de moins de 12 ans respectent cette formule et réalisent un emprunt chaque
mois.

Les statistiques réalisées lors des mois précédents sur les choix d'emprunt des jeunes
abonnés permettent au responsable de la médiathèque de constater que l'on peut
modéliser ainsi la situation :

d'un mois à l'antre,

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]89\,\% des jeunes abonnés ayant choisi d'emprunter un livre, optent encore pour
un livre le mois suivant ;
\item[$\bullet~~$]parmi les jeunes abonnés ayant emprunté un film, 14\,\% changent le mois suivant
en décidant de choisir un livre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Lors du lancement de cette formule d'emprunt, en janvier 2016, 80\,\% des abonnés de
moins de 12~ans empruntent un livre.

Chaque mois, on choisit au hasard un abonné de moins de 12 ans de cette médiathèque,
et pour tout entier naturel $n$, on note :\index{probabilités}

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité que cet abonné emprunte un livre le $n$-ième mois après
janvier 2016 ;
\item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité que cet abonné emprunte un film le $n$-ième mois après
janvier 2016 ;
\item[$\bullet~~$]$P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième mois après janvier 2016.\index{matrice}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}a_0&b_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8& 0,2\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où :\index{graphe probabiliste}
		
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]A est l'état \og le jeune abonné choisit d'emprunter un livre \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]B est l'état \og le jeune abonné choisit d'emprunter un film \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, en prenant les sommets A
et B dans cet ordre.\index{matrice de transition}
		\item Déterminer la répartition des jeunes abonnés selon leur choix d'emprunt, en
février 2016 et en mars 2016.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1}  = 0,89a_n + 0,14b_n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n, \:  a_{n+1} = 0,75a_n + 0,14$.
		\item Pour déterminer au bout de combien de mois le pourcentage de jeunes abonnés
empruntant un livre deviendra pour la première fois strictement inférieur à 60\,\%,
on décide de programmer un algorithme. Modifier l'algorithme ci-dessous pour
qu'il permette d'afficher la réponse à cette question.\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{X}
\emph{Initialisation}\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{l}
	$a$ prend la valeur 0,8\\
	$n$ prend la valeur 1
\end{tabular}\\
\emph{Traitement}\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{l}
Tant que $a \geqslant 0,6$\\
\hspace{1cm}$a$ prend la valeur $0,75 \times a + 0,14$\\
Fin Tant que
\end{tabular}\\
\emph{Sortie}\\
\hspace{0.7cm}Afficher $n$
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n = a_n  - 0,56$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et préciser son terme initial.\index{suite géométrique}
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$\: :\: $a_n = 0,24 \times  0,75^n + 0,56$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $a_n < 0,6$ et interpréter le résultat dans le contexte.
		\item À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'un jeune abonné choisisse
d'emprunter un livre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La directrice d'une association sportive décide de proposer à ses adhérents une
randonnée pédestre, longue de 12~km, sur des sentiers de montagne.

Afin que les membres de son association puissent décider de participer ou non à cette
randonnée en fonction de leur niveau et de leur condition physique, elle leur envoie le
graphique ci-dessous avant de procéder aux inscriptions.

Dans un repère orthogonal, cette courbe représente la fonction $f$ définie sur [0~;~12]
donnant l'altitude du parcours en fonction du nombre de kilomètres effectués depuis le
départ.

Ainsi $x$ est la distance parcourue, en kilomètres, depuis le point de départ de la
randonnée :

$x \in  [0~;~12]$ et $f(x)$ est l'altitude. en mètres, à laquelle se situe le chemin de randonnée au
bout de $x$ km parcourus.

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(15,950)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,950)}
\multido{\n=0+100}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(15,950)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{150 x mul 2.71828 x dup mul 0.02 mul exp div 300 add}
\uput[u](14.7,0){$x$}\uput[r](0,935){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes} :\index{lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle altitude se situent les randonneurs après avoir parcouru 2 kilomètres ?
\item Dans la partie descendante de cette randonnée, l'organisatrice a prévu de faire
une pause avec les participants, dans un refuge situé à 600~mètres d'altitude.

Quelle distance auront-ils alors parcourue depuis le départ ?
\item À la fin du chemin de randonnée, les randonneurs seront-ils revenus à leur point
de départ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans toute cette partie, les réponses devront être justifiées.}

\emph{Aucune lecture graphique ne sera considérée comme une justification valable.}

\medskip

Une modélisation du parcours proposé permet d'affirmer que la fonction $f$ est définie
sur [0~;~12] par :

\[f(x) = 150x\text{e}^{-0,02x^2} + 300.\]\index{fonction exponentielle}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ et on admet que :\index{dérivée}

\[\text{pour tout\:}x \in  [0~;~12],\quad  f'(x) = \left(150 - 6x^2\right)\text{e}^{-0,02x^2}\]

Déterminer le signe de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$ sur [0~;~12].
\item Quelle sera, au mètre près, l'altitude maximale atteinte par les randonneurs ? 

Au bout de quelle distance parcourue depuis le départ?
\item L'un des participants de cette randonnée affirme : \og Dans ce parcours, nous
n'atteindrons qu'une seule fors une altitude de 350 m \fg. 

Démontrer que cette affirmation est vraie, et donner une valeur approchée, arrondie au mètre près, de la distance qu'auront parcourue les randonneurs depuis le départ pour parvenir
à cette altitude.
\item Soit $F$ la fonction définie sur [0~;~12] par : 

\[F(x) = 300x - \np{3750}\text{e}^{-0,02x^2}.\]\index{fonction exponentielle}

Montrer que $F$ est une primitive de $f$.\index{primitive}
\item Quelle est la valeur de l'altitude moyenne de la phase d'ascension de cette
randonnée ? (Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée arrondie au
mètre près).
\end{enumerate}
\end{document}