\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{arydshln} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : René Roux \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %\newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} %\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\A}{\fbox{A}~~}\newcommand{\B}{\fbox{B}~~}\newcommand{\C}{\fbox{C}~~} \newcommand{\D}{\fbox{D}~~}\newcommand{\E}{\fbox{E}~~} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Évaluation TeSciA session 2025\\}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\e}{\text{e}} \newcommand{\im}{\textit{i}} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot} \usepackage{pgfplots} \usepackage{alterqcm} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{intersections} \usepackage{tkz-euclide} \usetikzlibrary{angles} \usepackage{array,multirow,makecell} \setcellgapes{4pt} \makegapedcells \newcolumntype{R}[1]{>{\raggedleft\arraybackslash }b{#1}} \newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash }b{#1}} \newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash }b{#1}} \usepackage{pdfpages} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Mathématiques Générales} } \lfoot{\small{Épreuve 1}} \rfoot{\small{session 15 mars 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation TeSciA session 15 mars 2025~\decofourright\\[7pt]Mathématiques Générales Épreuve 1}\\[7pt]Durée : 1h 30 min} \medskip \textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS} \end{center} $\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées M1, M2 etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$. Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse. Toute réponse fausse retire des points aux candidats. Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point). $\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2 etc. Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit. $\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées RI, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit. \bigskip \begin{center} \textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center} $\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents. $\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses. $\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples ! $\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations. \newpage \begin{center} \textbf{\Large Exercice 1. Calculs de limites} \end{center} Dans cet exercice, on considère les fonctions \[f :x\mapsto 3x^2-5x+2\qquad \text{ et } \qquad g:x\mapsto \dfrac{1}{x}\] $\square$~\textbf{M1} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $+\infty$, la quantité $f(x)$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A $+\infty$ & \B $-\infty$& \C 0 2&\D aucune limite&\E un nombre réel non nul\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M2} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $-\infty$, la quantité $f(x)$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A $+\infty$ & \B $-\infty$& \C 0 &\D aucune limite&\E un nombre réel non nul\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M3} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $+\infty$, la quantité $g(x)$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A $+\infty$ & \B $-\infty$& \C 0 &\D aucune limite&\E un nombre réel non nul\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M4} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $0$ avec $x<0$, la quantité $g(x)$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A $+\infty$ & \B $-\infty$& \C 0 &\D aucune limite&\E un nombre réel non nul\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M5} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $0$ , la quantité $f(g(x))$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A $+\infty$ & \B $-\infty$& \C 0 &\D aucune limite&\E un nombre réel non nul\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M6} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $0$ , la quantité $g(f(x))$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A $+\infty$ & \B $-\infty$& \C 0 &\D aucune limite&\E un nombre réel non nul\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M7} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $-\infty$ , la quantité $g(f(x))$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A $+\infty$ & \B $-\infty$& \C 0 &\D aucune limite&\E un nombre réel non nul\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M8} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $+\infty$ , la quantité $f(g(x))$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A $+\infty$ & \B $-\infty$& \C 0 &\D aucune limite&\E un nombre réel non nul\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M9} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $1$ , la quantité $\dfrac{f(x)}{x-1}$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A $+\infty$ & \B 0& \C 1 &\D aucune limite&\E une autre valeur que 0, 1 et $+\infty$\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M10} \hspace{0.5cm} Quand $x$ tend vers $1$ , la quantité $\dfrac{f(x)-4}{x-2}$ tend vers : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{6cm}} \A 0 & \B 2& \C 7 &\D aucune limite&\E une autre valeur que 0, 2 et 7\\ \end{tabular} \bigskip $\triangle$~\textbf{L1} \hspace{0.5cm} Donner la limite de $\dfrac{f(x)-4}{2g(x)-1}$ lorsque $x$ tend vers 2. \begin{center} \rule{0.5\linewidth}{1pt} \end{center} \begin{center} \textbf{\Large Exercice 2. Géométrie plane} \end{center} On considère un triangle $ABC$ rectangle en $C$ tel que l'angle $\widehat{BAC}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$. On dispose sur le côté $[A,B]$ d'un point $D$ tel que $AD=1$ dont le projeté orthogonal $E$ sur $(AC)$ vérifie $EC=1$ et est sur le segment $[A,C]$. \bigskip $\square$~\textbf{M11} \hspace{0.5cm} La distance $AE$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$& \B 1& \C $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\D $\dfrac{1}{2}$&\E aucune des autres réponses proposées\\ \end{tabular} \newpage $\square$~\textbf{M12} \hspace{0.5cm} La distance $DE$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$& \B 1& \C $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\D $\dfrac{1}{2}$&\E aucune des autres réponses proposées\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M13} \hspace{0.5cm} La mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $\dfrac{\sqrt{\pi}}{3}$& \B $\dfrac{\pi}{6}$& \C $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$&\D $\dfrac{\pi}{4}$&\E aucune des autres réponses proposées\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M14} \hspace{0.5cm} La distance $DB$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$& \B 1& \C $\dfrac{1}{2}$&\D 2&\E aucune des autres réponses proposées\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M15} \hspace{0.5cm} La distance $BC$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$& \B 1& \C $\dfrac{1}{2}$&\D $2\sqrt{3}$&\E aucune des autres réponses proposées\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M16} \hspace{0.5cm} La distance $DC$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$& \B $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$& \C 1&\D $\sqrt{3}$&\E aucune des autres réponses proposées\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M17} \hspace{0.5cm} La valeur de $\cos(\widehat{DCE})$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$& \B $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$& \C $\dfrac16$&\D $\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$&\E aucune des autres réponses proposées\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M18} \hspace{0.5cm} Quelle valeur proposée est la plus proche de $\sin(\widehat{DCE})$ ? \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A 0,3& \B 0,4& \C 0,5&\D 0,7&\E 0,9\\ \end{tabular} \bigskip $\bigcirc$ \textbf{R1} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M18}. \bigskip $\square$~\textbf{M19} \hspace{0.5cm} Quel intervalle contient la mesure de l'angle $\widehat{BDC}$ ? \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $\left[\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$& \B $\left[\dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{7\pi}{8}\right]$& \C $\left[\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{3}\right]$&\D $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{2\pi}{3}\right]$&\E aucune des intervalles proposés\\ \end{tabular} \begin{center} \rule{0.5\linewidth}{1pt} \end{center} \begin{center} \textbf{\Large Exercice 3. Logarithmes et exponentielles} \end{center} \textbf{Calculs divers} \bigskip $\square$~\textbf{M20} \hspace{0.5cm} la quantité $\ln(16)$ est aussi égale à : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $(\ln(4))^2$& \B $2\ln(8)$& \C $3\ln(2)$&\D $4\ln(2)$&\E $\left(\ln(2)\right)^4$\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M21} \hspace{0.5cm} la quantité $\ln(\sqrt{\e})+\ln\left(\dfrac{1}{\e}\right)$ est aussi égale à : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $\dfrac12$& \B $-\dfrac12$& \C -1& \D 0& \E $\sqrt{\ln(\e)}+\dfrac{1}{\ln(\e)}$\\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M22} \hspace{0.5cm} La quantité $\ln\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)+\ln\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ est aussi égale à : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A 0& \B $\dfrac52$& \C 5& \D 1& \E aucune des autres réponses proposées\\ \end{tabular} \medskip \textbf{Équations et inéquations} \bigskip $\square$~\textbf{M23} \hspace{0.5cm} L'équation $x^2+4x+3=x+7$ possède : \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{7cm}} \A 0 solution& \B une seule solution& \C deux solutions& \D plus de deux solutions \\ \end{tabular} \newpage $\square$~\textbf{M24} \hspace{0.5cm} L'équation $\ln(x^2+4x+3)=\ln(x+7)$ possède : \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{7cm}} \A 0 solution& \B une seule solution& \C deux solutions& \D plus de deux solutions \\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M25} \hspace{0.5cm} L'équation $\ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7)$ possède : \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{7cm}} \A 0 solution& \B une seule solution& \C deux solutions& \D plus de deux solutions \\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M26} \hspace{0.5cm} L'équation $\e^{x^2}=\dfrac19$ possède : \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{7cm}} \A 0 solution& \B une seule solution& \C deux solutions& \D plus de deux solutions \\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M27} \hspace{0.5cm} L'équation $3\e^{x}-7\e^{-x}-20=0$ possède : \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{7cm}} \A 0 solution& \B une seule solution& \C deux solutions& \D plus de deux solutions \\ \end{tabular} \bigskip $\triangle$~\textbf{L2} \hspace{0.5cm} Donner les solutions de l'équation $\e^x+\e^{1-x}-e-1=0$. \bigskip $\square$~\textbf{M28} \hspace{0.5cm} L'inéquation $x\ln(\sqrt{x})>\sqrt{x}\ln(x)$ a pour ensemble de solutions : \medskip \begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3cm}L{6cm}} \A $]0~;~1[\cup \left]\dfrac92~;~+\infty\right[$& \B $]0~;~1[\cup ]4~;~+\infty[$& \C $]1~;~2[\cup ]4~;~+\infty[$& \D $]4~;~+\infty[$ & \E $\left]0~;~\dfrac12\right[\cup ]4~;~+\infty[$\\ \end{tabular} \bigskip \textbf{Calculs de fonctions dérivées} \bigskip $\square$~\textbf{M29} \hspace{0.5cm} La fonction $x\mapsto\ln(5x-1)$ est : \medskip \begin{tabular}{L{15cm}} \A dérivable sur $\left]\dfrac15~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{5}{5x-1}$ \\ \\ \B dérivable sur $\left]-\infty~;~\dfrac15\right[\cup\left]\dfrac15~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{5}{5x-1}\ln(5x-1)$\\ \\ \C dérivable sur $\left]-\infty~;~\dfrac15\right[\cup\left]\dfrac15~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{5}{5x-1}$ \\ \\ \D dérivable sur $\left]\dfrac15~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{5}{5x-1}\ln(5x-1)$ \\ \\ \E aucune des autres réponses proposées n'est vraie \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M30} \hspace{0.5cm} La fonction $x\mapsto\ln(|7-2x|)$ est : \medskip \begin{tabular}{L{15cm}} \A dérivable sur $\left]\dfrac72~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{2}{2x-7}$ \\ \\ \B dérivable sur $\left]-\infty~;~\dfrac72\right[\cup\left]\dfrac72~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est$x\mapsto \dfrac{2}{2x-7}$\\ \\ \C dérivable sur $\left]-\infty~;~\dfrac72\right[\cup\left]\dfrac72~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{2}{|7-2x|}$ \\ \\ \D dérivable sur $\left]-\infty~;~\dfrac72\right[\cup\left]\dfrac72~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{2}{7-2x}$ \\ \\ \E dérivable sur $\left]\dfrac72~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{2}{2x-7}\ln(|2x-7|)$ \\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M31} \hspace{0.5cm} La fonction $x\mapsto\ln(\ln(x))$ est : \medskip \begin{tabular}{L{15cm}} \A dérivable sur $\left]1~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{\ln(x)}{x}$ \\ \\ \B dérivable sur $\left]0~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{1}{x\ln(x)}$\\ \\ \C dérivable sur $\left]0~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{\ln(x)}{x}$\\ \\ \D dérivable sur $\left]1~;~+\infty\right[$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{\ln(x)}{x}$\\ \\ \E aucune des autres réponses proposées n'est vraie \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M32} \hspace{0.5cm} La fonction $x\mapsto\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ est : \medskip \medskip \begin{tabular}{L{15cm}} \A dérivable sur $\R^*$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$ \\ \\ \B dérivable sur $\R^*$ uniquement et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ \\ \\ \C dérivable sur $\R$ et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$ \\ \\ \D dérivable sur $\R$ et sa dérivée est $x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ \\ \\ \E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \bigskip \textbf{Une fonction étonnante} \bigskip On considère la fonction $f$ qui à tout réel $x$ dans $]-1~;~1[$ associe le réel $f(x)=\exp\left(\dfrac{1}{x^2-1}\right)$. $\triangle$~\textbf{L3} \hspace{0.5cm} Donner la dérivée de $f$. \bigskip $\square$~\textbf{M33} \hspace{0.5cm} Parmi $f$ et sa dérivée $f'$, lesquelles tendent vers 0 en 1 ? \medskip \begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{6cm}} \A $f$& \B $f$ et $f'$& \C $f'$& \D Aucunes d'entre elles \end{tabular} \begin{center} \rule{0.5\linewidth}{1pt} \end{center} \begin{center} \textbf{\Large Exercice 4. L'équation $a^x=x^a$} \end{center} Lorsqu'on dispose de réels $x$ et $y$ tels que $x>0$, on définit $$x^y=\exp(y\ln(x))$$, ce qui prolonge les définitions connues lorsque $y$ est entier. \medskip On fixe $a$ dans $\R_+^*$. On se propose d'étudier, selon les valeurs de $a$, le nombre de solutions de l'équation $$(E_a)~~a^x=x^a$$ où l'inconnue $x$ est dans $\R_+^*$. \medskip On définit, pour tout $a$ dans $\R_+^*$, la fonction $h_a$ sur $\R_+^*$ par : $$h_a(x)=x\ln(a)-a\ln(x)$$. \bigskip \textbf{Étude du cas où $a=e$} \bigskip $\square$~\textbf{M34} \hspace{0.5cm} La fonction $h_a$ est : \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \A strictement croissante sur $]0~;~\e[$ et strictement décroissante sur $[\e~;~+\infty[$ & \B strictement décroissante sur $]0~;~\e[$ et strictement croissante sur $[\e~;~+\infty[$ \\ & \\ \C strictement croissante sur $\R_+^*$ & \D strictement décroissante sur $\R_+^*$\\ & \\ \E aucune des autres réponses & \\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M35} \hspace{0.5cm} L'équation $(E_\e)$ possède : \medskip \begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{9cm}} \A aucune solution& \B une unique solution& \C exactement deux solutions \\ && \\ \D une infinité de solutions &\multicolumn{2}{l}{\E plus de deux solutions, mais en nombre fini} \end{tabular} \bigskip $\bigcirc$~\textbf{R2} \hspace{0.5cm} Montrer que $\dfrac{x}{\ln(x)}\geqslant \e$ pour tout réel $x>1$. \bigskip \textbf{Étude du cas où $a=2$} \bigskip $\square$~\textbf{M36} \hspace{0.5cm} La fonction $h_2$ est : \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \multicolumn{2}{l}{\A strictement décroissante sur $\left]0~;~\dfrac{2}{\ln(2)}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{2}{\ln(2)}~;~+\infty\right[$ }\\ & \\ \multicolumn{2}{l}{\B strictement croissante sur $\left]0~;~\dfrac{2}{\ln(2)}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{2}{\ln(2)}~;~+\infty\right[$ }\\ & \\ \C strictement croissante sur $\R_+^*$ & \D strictement décroissante sur $\R_+^*$ \\ & \\ \E Aucune des autres réponses proposées & \end{tabular} \medskip $\triangle$~\textbf{L4} \hspace{0.5cm} Donner l'ensemble des solutions de $(E_2)$. \medskip \textbf{Étude du cas où $0\e$, tandis que $a\e$} &\E aucune des autres affirmations n'est vraie en toute généralité \end{tabular} \begin{center} \rule{0.5\linewidth}{1pt} \end{center} \begin{center} \textbf{\Large Exercice 5. Histoire d'urnes} \end{center} \medskip Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement supérieur à 1. \bigskip \textbf{Première situation} \bigskip Une urne contient $n+1$ boules blanches et $n-1$ boules noires. Le jeu consiste à tirer une boule aléatoirement dans l'urne : chaque boule est tirée de manière équiprobable. Si la boule tirée est blanche, le joueur gagne, sinon il perd. On rappelle que $n>1$. \medskip $\square$~\textbf{M40} \hspace{0.5cm} On note $p$ la probabilité de gagner, et $q$ celle de perdre. Alors : \medskip \begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{9cm}} \A $p=\dfrac12+\dfrac{1}{2n}$ et $q=\dfrac12-\dfrac{1}{2n}$& \B $p=\dfrac12+\dfrac{1}{4n}$ et $q=\dfrac12-\dfrac{1}{4n}$& \C $p=\dfrac12$ et $q=\dfrac12$ \\ && \\ \D $p=\dfrac12-\dfrac{1}{4n}$ et $q=\dfrac12+\dfrac{1}{4n}$ &\E $p=\dfrac12-\dfrac{1}{2n}$ et $q=\dfrac12+\dfrac{1}{2n}$ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M41} \hspace{0.5cm} Le joueur reçoit 2 euros quand il gagne, et donne 3 euros quand il perd. On note $X$ la variable aléatoire donnant le résultat de la partie, en nombre d'euros pour le joueur. Quelle que soit la valeur de $n$, l'espérance de $X$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{3cm}L{3cm}L{6cm}} \A $\dfrac{n-1}{2n}$& \B $\dfrac{n-5}{2n}$& \C $\dfrac{1-n}{2n}+\dfrac{1}{4n}$& \D$\dfrac{5-n}{2n}$& \E aucune des autres réponses \end{tabular} \bigskip On adopte de nouvelles règles. Le joueur tire d'abord une boule dans l'urne ; ensuite, s'il a tiré une boule noire il met une boule blanche sans y remettre la boule tirée précédemment, alors que s'il a tiré une boule blanche il met dans l'urne une boule noire sans y remettre la boule tirée précédemment. Il procède ensuite à un deuxième tirage dans l'urne : si lors de ce deuxième tirage la boule tirée est blanche, il gagne, sinon il perd. \bigskip $\square$~\textbf{M42} \hspace{0.5cm} On note $p'$ la probabilité que le joueur gagne avec les nouvelles règles (alors que $p$ désigne toujours la probabilité considérée dans la question \textbf{M40}). Alors : \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \A $p'p$ quelle que soit la valeur de $n$\\ & \\ \C $p'\leqslant p$ quelle que soit la valeur de $n$ et il est possible que $p'=p$&\D $p'\geqslant p$ quelle que soit la valeur de $n$ et il est possible que $p'=p$ \\ & \\ \E aucune des autres réponses n'est vraie \end{tabular} \bigskip \textbf{Deuxième situation} \bigskip L'urne contient désormais $n+1$ boules blanches, $n-1$ boules noires et deux boules orange, et on rappelle que $n>1$. Le jeu consiste à tirer une boule aléatoirement dans l'urne : chaque boule est tirée de manière équiprobable. Si la boule tirée est blanche le joueur gagne, si elle est noire il perd, si elle est orange il procède à un nouveau tirage sans remettre la boule orange dans l'urne, et ce jusqu'à avoir tiré une boule blanche ou une boule noire. Le jeu se termine en trois tirages au plus. Le joueur reçoit 2 euros quand il gagne, et donne 3 euros quand il perd. \medskip On note $X$ la variable aléatoire donnant le résultat de la partie, en nombre d'euros pour le joueur. \medskip On note $D$ la variable aléatoire donnant le nombre total de boules tirées avant de gagner ou de perdre. Par exemple, la variable $D$ prend la valeur 2 quand le joueur prend une boule orange au premier tirage, puis une boule blanche ou noire au deuxième. \bigskip $\square$~\textbf{M43} \hspace{0.5cm} On note $p''$ la probabilité de gagner et $q''$ cette de perdre. Alors : \medskip \begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{9cm}} \A $p''=\dfrac12+\dfrac{1}{2n}$ et $q''=\dfrac12-\dfrac{1}{2n}$& \B $p''=\dfrac12+\dfrac{1}{4n}$ et $q''=\dfrac12-\dfrac{1}{4n}$& \C $p''=\dfrac12-\dfrac{1}{2n}$ et $q''=\dfrac12+\dfrac{1}{2n}$ \\ && \\ \D $p''=\dfrac12-\dfrac{1}{4n}$ et $q''=\dfrac12+\dfrac{1}{4n}$ &\E $p''=\dfrac12$ et $q''=\dfrac12$ \end{tabular} \medskip $\square$~\textbf{M44} \hspace{0.5cm} Vrai ou Faux ? Quels que soient les entiers $k$ et $\ell$, les évènements $[X=k]$ et $[D=\ell]$ sont indépendants \begin{center} \begin{tabular}{C{3cm}C{3cm}} \A Vrai & \B Faux \\ \end{tabular} \end{center} $\square$~\textbf{M45} \hspace{0.5cm} L'espérance de la variable aléatoire $D$ est égale à : \medskip \begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{9cm}} \A $\dfrac{2n+3}{2n+1}$& \B $\dfrac{4n^2+6n+6}{4n^2+6n+2}$& \C $\dfrac{n^2+2n+3}{n^2+3n+2}$ \\ && \\ \D 2 &\multicolumn{2}{l}{\E aucune des autres réponses, en toute généralité} \end{tabular} \bigskip \textbf{Troisième situation} \bigskip On suppose ici que $n\geqslant3$. L'urne contient désormais $n$ boules, dont deux sont blanches et toutes les autres noires. On vide l'urne en tirant les $n$ boules successivement sans les remettre dans l'urne : chaque boule est tirée de manière équiprobable. \medskip On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le rang du tirage de la première boule blanche trouvée. Par exemple, si on tire, dans l'ordre, 3 boules noires, 1 boule blanche, 2 boules noires, 1 boule blanche puis les boules noires restantes, alors $X$ vaut 4. \medskip On admet la formule : $1+2^2+\ldots +k^2+\ldots +n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. \bigskip $\square$~\textbf{M46} \hspace{0.5cm} Pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n-1$, la probabilité $P(X=k)$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{3cm}L{3cm}L{6cm}} \A $\dfrac{2(n-k)}{n(n-1)}$& \B $\dfrac{2k}{n(n-2)}$& \C $\dfrac{2k}{n~!}$& \D $\dfrac{2k}{n(n-1)}$& \E $\dfrac{2(n-k)}{n~!}$ \end{tabular} \bigskip $\bigcirc$~\textbf{R3} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M46}. \bigskip $\triangle$~\textbf{L6} \hspace{0.5cm} On désigne par $Y$ la variable aléatoire donnant le rang de tirage de la deuxième boule blanche. Donner une relation entre l'espérance de $Y$ et celle de $X$ (qu'on ne demande pas de calculer). \bigskip $\square$~\textbf{M47} \hspace{0.5cm} L'espérance de $X$ est égale à : \medskip \begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{3cm}L{3cm}} \A $\dfrac{2(n-1)}{3}$& \B $\dfrac{2(n+1)}{3}$& \C $\dfrac{2n+1}{3}$& \D $\dfrac{n+1}{3}$\\ &&& \\ \multicolumn{3}{l}{\E Aucune des autres réponses proposées, en toute généralité} \end{tabular} \begin{center} \rule{0.5\linewidth}{1pt} \end{center} \begin{center} \textbf{\Large Exercice 6. Une suite récurrente} \end{center} Dans tout l'exercice, on considère la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par $f(x)=x+\sin(x)$. \medskip On se donne une suite réelle $u=(u_n)_{n \in \N}$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in \N$. \medskip On dit que $u$ est \textbf{stationnaire} lorsqu'il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\geqslant n_0$, on ait $u_n=u_{n_0}$. \medskip On dit qu'un intervalle $I$ de $\R$ est \textbf{stable par $f$} lorsque, pour tout $x\in I$, on a $f(x)\in I$. \bigskip $\square$~\textbf{M48} \hspace{0.5cm} La fonction $f$ est : \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{5cm}} \A strictement croissante& \B strictement décroissante& \C ni croissante, ni décroissante& \D décroissante, mais pas strictement décroissante\\ &&& \\ \multicolumn{3}{l}{\E croissante, mais pas strictement croissante} \end{tabular} \medskip $\square$~\textbf{M49} \hspace{0.5cm} Vrai ou Faux ? L'intervalle $[0~;~\pi]$ est stable par $f$. \begin{center} \begin{tabular}{C{3cm}C{3cm}} \A Vrai & \B Faux \\ \end{tabular} \end{center} $\square$~\textbf{M50} \hspace{0.5cm} Vrai ou Faux ? L'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ est stable par $f$. \begin{center} \begin{tabular}{C{3cm}C{3cm}} \A Vrai & \B Faux \\ \end{tabular} \end{center} $\square$~\textbf{M51} \hspace{0.5cm} Vrai ou Faux ? L'intervalle $\left[\dfrac{3\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ est stable par $f$. \begin{center} \begin{tabular}{C{3cm}C{3cm}} \A Vrai & \B Faux \\ \end{tabular} \end{center} $\square$~\textbf{M52} \hspace{0.5cm} L'intervalle $\left[k\pi~;~(k+1)\pi\right]$ avec $k$ dans $\Z$ : \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \A ne vérifie aucune des autres propriétés proposées & \B n'est stable par $f$ pour aucune valeur de $k$\\ & \\ \C est stable par $f$ si et seulement si $k$ est pair&\D est stable par $f$ si et seulement si $k$ est impair \\ & \\ \E est stable par $f$ quelle que soit la valeur de $k$ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M53} \hspace{0.5cm} L'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}+k\pi~;~\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right]$ avec $k$ dans $\Z$ : \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \A ne vérifie aucune des autres propriétés proposées & \B n'est stable par $f$ pour aucune valeur de $k$\\ & \\ \C est stable par $f$ si et seulement si $k$ est pair&\D est stable par $f$ si et seulement si $k$ est impair \\ & \\ \E est stable par $f$ quelle que soit la valeur de $k$ \end{tabular} \newpage $\square$~\textbf{M54} \hspace{0.5cm} Vrai ou Faux ? Si $u_0\in[0~;~\pi]$, on peut affirmer que $u_0\leqslant u_n \leqslant \pi$ quel que soit $n$ dans $\N$. \begin{center} \begin{tabular}{C{3cm}C{3cm}} \A Vrai & \B Faux \\ \end{tabular} \end{center} $\square$~\textbf{M55} \hspace{0.5cm} Si $u_0\in ]0~;~\pi]$ alors la suite $(u_n)_{n\in \N}$ : \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \A est décroissante & \B est croissante\\ & \\ \C est croissante pour un nombre fini non nul de valeurs possibles $u_0$, et seulement pour ces valeurs&\D est décroissante pour un nombre fini non nul de valeurs possibles $u_0$, et seulement pour ces valeurs \\ & \\ \E n'est ni croissante ni décroissante \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M56} \hspace{0.5cm} Si $u_0\in ]0~;~\pi]$ alors la suite $(u_n)_{n\in \N}$ : \medskip \begin{tabular}{L{6cm}L{6cm}L{6cm}} \A tend vers $+\infty$ & \B converge vers 0& \C converge vers $\pi$ \\ & &\\ \D n'a aucune limite, finie ou non &\E converge vers $\ell \in ]0~;~\pi[$ \end{tabular} \bigskip $\bigcirc$~\textbf{R4} \hspace{0.5cm} Justifier le résultat de la question \textbf{M56}. \medskip $\square$~\textbf{M57} \hspace{0.5cm} Si $u_0\in ]\pi~;~2\pi]$ alors la suite $(u_n)_{n\in \N}$ : \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \A est décroissante & \B est croissante\\ & \\ \C est croissante pour un nombre fini non nul de valeurs possibles $u_0$, et seulement pour ces valeurs&\D est décroissante pour un nombre fini non nul de valeurs possibles $u_0$, et seulement pour ces valeurs \\ & \\ \E n'est ni croissante ni décroissante \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M58} \hspace{0.5cm} Si $u_0\in [\pi~;~2\pi[$ alors la suite $(u_n)_{n\in \N}$ : \medskip \begin{tabular}{L{6cm}L{6cm}L{6cm}} \A tend vers $+\infty$ & \B converge vers $\pi$& \C converge vers $2\pi$ \\ & &\\ \D n'a aucune limite, finie ou non &\E converge vers $\ell \in ]0~;~\pi[$ \end{tabular} \medskip $\square$~\textbf{M59} \hspace{0.5cm} On note $k$ l'unique entier tel que $k\pi \leqslant u_0<(k+1)\pi$. Alors la suite $(u_n)_{n\in \N}$ : \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \A converge vers $k\pi$ si et seulement si $k$ est impair ou $u_0=k\pi$& \B converge vers $k\pi$ si et seulement si $k$ est pair ou $u_0=k\pi$ \\ & \\ \C ne converge jamais & \D converge vers $k\pi$ \\ & \\ \E ne vérifie aucune des autres propriétés proposées \end{tabular} \bigskip $\triangle$~\textbf{L7} \hspace{0.5cm} On note $u_0=x$ et, si la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est convergente on note $\ell(x)$ sa limite. Préciser la valeurs de $\ell(x)$ en fonction de $x$ (lorsque cette limite existe). \bigskip $\square$~\textbf{M60} \hspace{0.5cm} La suite $(u_n)_{n \in \N}$ : \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \A est stationnaire pour un nombre fini non nul de valeurs possibles de $u_0$ & \B est stationnaire si et seulement si $u_0$ est de la forme $k\pi$ pour un $k\in \Z$ \\ & \\ \C n'est jamais stationnaire & \D ne vérifie aucune des autres propriétés \\ & \\ \E est stationnaire si et seulement si $u_0$ est de la forme $2k\pi$ pour un $k\in \Z$ \end{tabular} \bigskip \textbf{Suites vérifiant une inégalité} \medskip Dans cette partie de l'exercice, on dit qu'une suite réelle $(v_n)_{n \in \N}$ vérifie la propriété $\mathcal{P}$ $v_{n+1}\geqslant f(v_n)$ pour tout entier $n \in \N$. \bigskip $\triangle$~\textbf{R5} \hspace{0.5cm} Soit $(v_n)_{n \in \N}$ vérifiant la propriété $\mathcal{P}$ et telle que $v_0=u_0$. Démontrer que $v_n\geqslant u_n$ pour tout $n \in \N$. \bigskip $\square$~\textbf{M61} \hspace{0.5cm} Laquelle des propriétés suivantes est vraie ? \medskip \begin{tabular}{L{9cm}L{9cm}} \A aucune suite vérifiant $\mathcal{P}$ n'est croissante & \B toutes les suites vérifiant $\mathcal{P}$ sont croissantes\\ & \\ \multicolumn{2}{l}{\C certaines suites vérifiant $\mathcal{P}$ sont croissantes, mais pas toutes} \end{tabular} \medskip $\square$~\textbf{M62} \hspace{0.5cm} Laquelle des propriétés suivantes est vraie ? \medskip \begin{tabular}{L{8cm}L{10cm}} \A toute suite vérifiant $\mathcal{P}$ est minorée et majorée & \B au moins une suite vérifiant $\mathcal{P}$ n'est ni minorée ni majorée \\ & \\ \C toute suite vérifiant $\mathcal{P}$ est majorée, mais certaines ne sont pas minorées & \D toute suite vérifiant $\mathcal{P}$ est minorée, mais certaines ne sont pas majorée \\ \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M63} \hspace{0.5cm} Laquelle des propriétés suivantes est vraie ? \medskip \begin{tabular}{L{15cm}} \A toute suite vérifiant $\mathcal{P}$ converge ou tend vers $+\infty$, et au moins une ne converge pas \\ \\ \B il existe au moins une suite vérifiant $\mathcal{P}$ et qui tend vers $-\infty$ \\ \\ \C il existe au moins une suite vérifiant $\mathcal{P}$ et qui ne possède aucune limite, finie ou non\\ \\ \D toute suite vérifiant $\mathcal{P}$ converge\\ \\ \E aucune des autres propriétés indiquées n'est vraie \end{tabular} \bigskip $\square$~\textbf{M64} \hspace{0.5cm} Une suite $(v_n)_{n\in \N}$ vérifie la propriété $\mathcal{P}$ et pour tout entier $n\geqslant 0$, l'inégalité $0