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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe 24 mars 2022}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]24 mars 2022 épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large Problème \no 1 : VRAI - FAUX}
\end{center}

Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou 
réponse donnée.

\begin{center}
\textbf{I. Ensembles de nombres}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Tout entier relatif non nul possède un inverse dans $\Z$ pour la mul
\item La somme de deux nombres décimaux est un nombre décimal.
\item $\dfrac13$ est un nombre décimal.
\item $\sqrt 5$ est un nombre irrationnel.
\item Pour tout $n$ dans $\N$, $\sqrt n$ est un nombre irrationnel.
\item La somme de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel 
\item La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est  un nombre irrationnel.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{II. Géométrie dans le plan}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans un plan muni d'un repère cartésien, $2x = 3$ est l'équation d'une droite.
\item Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(1~;~1), B$(- 1~;~2)$, C$(1~;~- 1)$, D(4~;~5).

Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
\item Dans un plan euclidien, on considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 3 $ et AC $= 4$.

Soit le point D tel que 
$\vect{\text{AD}} = \dfrac12 \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AB}}$.

Alors $\vect{\text{AD}} \cdot \vect{\text{AC}} = 20$.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{III. Géométrie dans l'espace}
\end{center}

\smallskip

On se place dans l'espace, muni d'un repère cartésien.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Si deux droites $D$ et $D'$ sont parallèles à un même plan $P$, alors $D$ est parallèle à $D'$.
\item $2x + 3y = 3$ est l'équation d'une droite.
\item La droite $\Delta$ définie par le système d'équations $\left\{\begin{array}{l c l}x + 2y + z &=&2\\
x + y - z &=& 0
\end{array}\right.$
	\begin{enumerate}
		\item passe par le point A de coordonnées (1~;~0~;~1),
		\item a comme vecteur directeur le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$,
		\item est contenue dans le plan $(P)$ d'équation $3x + 4y - z = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{IV. Matrices}
\end{center}

\smallskip
	
\begin{enumerate}[resume]
\item Les matrices $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}$ ont le même rang.
\item Les matrices $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}$ sont semblables.
\item La matrice $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ est diagonalisable.
\item La matrice $\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ est diagonalisable.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{V. Suites}
\end{center}
\medskip

Soit $\left(u_n\right)_n$ une suite de nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Si elle est décroissante et minorée par 0 alors elle converge vers 0.
\item Si $\left(u_{2n}\right)_n$ et $\left(u_{2n+1}\right)_n$ convergent alors $\left(u_n\right)_n$ converge.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{VI. Probabilités}
\end{center}
\medskip

Un élève répond au hasard aux cinq questions d'un questionnaire de type \og VRAI -- FAUX \fg.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item La probabilité qu'il ait cinq réponses correctes est égale à $\dfrac{1}{32}$.
\item La probabilité qu'il ait exactement trois réponses correctes est égale à $\dfrac{10}{32}$.
\item Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse aucun. La note moyenne à laquelle il peut prétendre est $2,5$ sur $5$.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{VII. Arithmétique}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Si trois nombres entiers relatifs $a,\: b$, $c$ sont tels que $a$ et $b$ divisent $c$, alors $ab$ divise $c$.
\item Si trois nombres entiers relatifs $a
,\: b,\: c$ sont tels que $a$ divise $b$ et $c$, alors $bc$ est un multiple de $a$.
\item $19 x \equiv 3 \quad [53]$ admet des solutions dans $\Z$.
\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Problème \no 2 : convexité}
\end{center}

\medskip

\textbf{Notations}

\begin{description}
\item[ ] $\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels.
\item[ ] $\N^*$ désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.
\item[ ] $\Q$ désigne l'ensemble des nombres rationnels.
\item[ ] $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.
\item[ ] $\R_{+}$ désigne l'ensemble des nombres réels positifs.
\item[ ] $\R_{+}^{*}$ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
\end{description}

\medskip

Dans ce sujet, $I$ et $J$ désignent des intervalles de $\R$, non vides et non réduits à un point. 

Soit $f$ une fonction, à valeurs dans $\R$, définie sur $I$.

On rappelle que $f$ est dite \emph{convexe} sur $I$ si

\[\forall (x~;~y) \in I^2,\: \forall \lambda \in [0~;~1],\: f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leqslant \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y).\: \emph{Inégalité de convexité}\: (*).\]

On dit que $f$ est \emph{concave} sur $I$ si $- f$ est convexe sur $J$.

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large I. Préliminaires}
\end{center}

Soit $f$ une fonction, à valeurs dans $\R$, définie sur $I$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire à l'aide de quantificateurs que $f$ est croissante sur $I$.
\item Traduire à l'aide de quantificateurs que $f$ n'est pas croissante sur $I$.
\item Traduire à l'aide de quantificateurs que $f$ est une fonction affine sur $I$.
\item Traduire à l'aide de quantificateurs que $f$ est continue en un point $a$ de $I$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large II. Quelques propriétés et exemples}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Écrire une inégalité, analogue à (*), caractérisant une fonction concave sur $I$.
\item \textbf{Caractérisation graphique de la convexité}
	\begin{enumerate}
		\item Soit $(x~;~y) \in I^2$ tel que $x < y$. Démontrer que $z \in  [x~;~y]$ si et seulement si il existe $\lambda \in  [0~;~1]$ tel que $z = \lambda x + (1 - \lambda)y$.
		\item Sans démonstration, illustrer l'inégalité de convexité (*) par une figure.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Opérations et convexité}
	\begin{enumerate}
		\item Soient $f$ et $g$ des fonctions convexes sur $I$. Démontrer que $f + g$ est convexe sur $I$.
		\item Soient $f$ une fonction convexe sur $I$ à valeurs dans $J$ et $g$ une fonction convexe et croissante sur $J$. Démontrer que $g \circ f$ est convexe sur $I$.
		\item Sans démonstration, énoncer une propriété du même type qui permettrait de conclure que $g \circ f$ est concave.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Quelques exemples}

\emph{L'étude des exemples qui suivent prendra appui sur la définition de la convexité et sur les résultats précédemment démontrés.}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction valeur absolue est convexe sur $\R$.
		\item Démontrer que la fonction $f : x \longmapsto x^2$ est convexe sur $\R$.
		\item On cherche à démontrer que la fonction ln est concave sur $\R_{+}^{*}$.
		
Soit $(x~;~y) \in  \left(\R_{+}^{*}\right)^2$ tel que $x < y$. On considère la fonction $g$ définie sur [0~;~1] par

\[\forall t \in [0~;~1],\: g(t) = \ln (tx + (1 - t)y) - t \ln (x) - (1 - t)\ln (y).\]

\smallskip

		\begin{enumerate}
			\item Étudier la monotonie de la fonction $g'$, dérivée de $g$ sur [0~;~1].
			\item Démontrer que :
			
\[\dfrac{1}{y} \leqslant \dfrac{\ln (x) - \ln (y)}{x - y} \leqslant \dfrac{1}{x}\]

			\item En déduire le signe de $g'(0)$ et de $g'(1)$.
			\item Déduire des questions précédentes que $g'$ s'annule une unique fois sur [0~;~1].
			\item Déterminer le signe de $g$ sur [0~;~1] et conclure.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item \textbf{Généralisation de l'inégalité de convexité}

Soit $f$ une fonction convexe sur $I$.

Démontrer que pour tous $n \in  \N^{*},\: \left(x_1,\: x_2, \ldots,\:x_n\right) \in  I^n$ et $\left(\lambda_1,\: \lambda_2, \ldots,\:\lambda_n\right) \in  \left(\R_+\right)^n$ tels que $\displaystyle\sum_{k = 1}^n \lambda_k = 1$, on a
 
\[\displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k  \in I\]

et

\[f\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k\right) \leqslant  \displaystyle\sum_{k=1}^n\lambda_k f\left(x_k \right)\]

\item \textbf{Deux applications}

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la concavité de ln, démontrer que pour tout $(a,\: b,\: c) \in  \left(\R_{+}^{*}\right)^3$, on a
		
\[\sqrt[3]{abc} \leqslant \dfrac{a + b + c}{3}\]

		\item Démontrer que ln $\circ$ ln est concave sur $]1~;~+\infty[$.
		
En déduire que pour tout $(x~;~y) \in \left(]1~;~+\infty]\right)^2$, on a

\[\ln \left(\dfrac{x +  y}{2}\right) \geqslant \sqrt{\ln(x) \ln(y)}.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\begin{center}
\textbf{\large III. Inégalités des trois pentes et conséquences}
\end{center}

Soit $f$ une fonction, à valeurs dans $\R$, définie sur $I$.

Pour tout $a \in I$, on considère la fonction $\Delta_a : \left\{\begin{array}{l c l}
I\backslash \{a\}&\longrightarrow &\R\\
t&\longmapsto& \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}
\end{array}\right.$

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On suppose dans cette question que la fonction $f$ est convexe sur $I$.
		
Soient $a \in I$ et $(t~;~u) \in (I \backslash{a})^2$ tel que $t < u$.
			\begin{enumerate}
				\item On suppose que $t < u < a$. D'après la question 6. a., on sait qu'il existe 
				
				$\lambda \in ]0~;~1[$ tel que $u = \lambda t+(1- \lambda)a$.
				
Démontrer que $f(u) - f(a) \leqslant \lambda(f(t) - f(a))$ puis que $\Delta_a(t) \leqslant \Delta_a(u)$.
				\item On admet que cette dernière inégalité reste vraie pour $a < t < u$ et pour 
				
				$t < a < u$. Que peut-on en déduire pour $\Delta_a$ ?
			\end{enumerate}	
		\item On suppose dans cette question que, pour tout $a \in I$, $\Delta_a$ est croissante sur $I\backslash\ \{a\}$. 
		
Soient $(x~;~y) \in  I^2$ tel que $x < y$ et $\lambda \in [0~;~1[$.
			\begin{enumerate}
				\item Démontrer que $\Delta_x(\lambda x + (1 - \lambda y) \leqslant \Delta_x(y)$.
				\item En déduire que $f$ est convexe sur $I$.
			\end{enumerate}		
		\item Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\Delta_a$ pour que $f$ soit convexe sur $I$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}		

\medskip

\textbf{On suppose dans la suite de cette partie III que la fonction $f$ est convexe sur $I$.}

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $(a, b, c) \in I^3$ tel que $a < b < c$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la question 11, démontrer l'inégalité des trois pentes :
		
\[\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \leqslant \dfrac{f(c) - f(a)}{c - a} \leqslant \dfrac{f(c) - f(b)}{c - b}\]
		
		\item Illustrer cette inégalité par une figure.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Théorème de la limite monotone}

Soit $\varphi$ une fonction croissante sur l'intervalle $]a~;~b$[ avec $(a~;~b) \in  \R^2$ et $a < b$.
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que si $\varphi$ est majorée alors elle admet une limite finie à gauche en $b$, égale à la borne supérieure de l'ensemble $\{\varphi(x) ; x \in]a,~;~b[\}$. 
			\item Sans démonstration, que peut-on dire si $\varphi$ est minorée ?
		\end{enumerate}
\item Soit $(a,\: b,\: c) \in I^3$ tel que $a < b < c$.
		\begin{enumerate}
			\item En appliquant le théorème de la limite monotone à $\Delta_b$, démontrer que $f$ est dérivable à gauche et à droite en $b$ et que

\[\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \leqslant f'_g(b) \leqslant f'_d(b) \leqslant \dfrac{f(c) - f(b)}{c - b}\]

			\item Montrer que $f$ est continue en $b$.
		\end{enumerate}	
\item Donner un exemple d'une fonction convexe et non continue sur un intervalle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large IV. Caractérisation des fonctions convexes dérivables}
\end{center}

\medskip

 Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. On note $f'$ sa fonction dérivée sur $I$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}[resume]
\item Dans cette question, on suppose $f$ convexe sur $I$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $(a,\:b) \in I^2$ tel que $a < b$, on a

\[f'(a) \leqslant  \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \leqslant  f'(b),\]

et en déduire que $f'$ est croissante.
		\item Justifier que la courbe représentative de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose $f'$ croissante sur $I$.

Soit $(x, y) \in I$ tel que $x < y$. On considère la fonction $\phi$ définie sur [0~;~1] par
\[\forall t \in [0~;~1],\: \phi(t)= tf(x) +(1 - t)f(y) - f(tx +(1 - t)y).\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\phi$ est dérivable sur $I$ et déterminer sa dérivée $\phi'$ .
		\item En utilisant le théorème des accroissements finis pour $f$ entre $x$ et $y$, démontrer qu'il existe $\gamma \in ]0~;~1[$ tel que pour tout $t \in [0~;~1]$,
		
\[\phi'(t) = (x - y)(f'(\gamma x+(1 - \gamma)y) - f'(tx + (1 - t)y)).\]

		\item En déduire les variations de $\phi$.
		\item En déduire que la fonction $f$ est convexe sur $I$.
	\end{enumerate}	
\item Démontrer qu'une fonction $f$ deux fois dérivable sur $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''$ est positive sur $I$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large V. Différentes inégalités}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $f : \R_{+}^{*} \longrightarrow  \R$ une fonction concave.

On définit la fonction $\psi : \left\{\begin{array}{l c l}
\left(\R_{+}^{*}\right)^2&\longrightarrow &\R\\
 (x, y)& \longmapsto &yf \left(\dfrac{x}{y}\right)
 \end{array}\right.$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $\left(x_1,\: x_2,\: y_1,\: y_2\right) \in \left (\R_{+}^{*}\right)^4$, on a
		
\[\psi \left(x_1,\: y_1\right) + \psi \left(x_2,\: y_2\right)  \leqslant \psi \left(x_1 + x_2,\:y_1 + y_2\right).\]

		\item En déduire que pour tout $n \in \N^{*}$ et tout $\left(x_1, \ldots ,\:x_n,\: y_1, \ldots ,y_n\right) \in \left(\R_{+}^{*}\right)^{2n}$, on a
		
\[\displaystyle\sum_{k=1}^n \psi\left(x_k,\:y_k \right) \leqslant \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k, \: \displaystyle\sum_{k=1}^n y_k\right) \quad (**)\]
	\end{enumerate}		
\item  \textbf{Application}

Soient $p, \,q \in ]1~;~+\infty[$ tels que $\dfrac1p + \dfrac1q = 1$.

Dans cette question, $f : t\longmapsto t^{\frac{1}{p}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f$ est concave sur $\R_{+}^{*}$.
		\item Soient $n \in \N^{*}$ et $\left(a_1, \ldots ,a_n, b_1, \ldots ,b_n\right) \in  \left(\R_{+}^{*}\right)^{2n}$.
		
En utilisant (**), démontrer l'\emph{inégalité de Holder} :

\[\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k b_k \leqslant \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k^p \right)^{\frac{1}{p}} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k^q \right)^{\frac{1}{q}} \]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}