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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers 1}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft ~ Baccalauréat ES  Centres étrangers I juin 2002 \decofourright}}\end{center}

\begin{center}\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les détails des calculs effectués à la calculatrice ne sont pas demandés.\\ Sauf indication contraire, les valeurs obtenues seront données sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$ près}.

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la population d'une petite ville
 proche d'une métropole en pleine expansion.
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1965		&1970		&1975		&1980		&1985		&1990	&1995&2000\\ \hline
Rang de l'année  $(x_i)$&0& 5		&10			&15			&20			&25			&30		&35\\ \hline
Population $(y_i)$		&\np{5400}	&\np{5600}	&\np{7000}	&\np{8000}	&\np{8750}	&\np{11200}&\np{13900}&
\np{15000}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal :

$\bullet~$ Sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2~cm pour 5 années ;

$\bullet~$ Sur l'axe des ordonnées, on placera \np{5000} à l'origine et on choisira 1~cm pour \np{1000} habitants.
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique 
$\left(x_{i}~;~y_i\right)$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de la série statistique $\left(xi~;~y_i\right)$ et placer ce point sur le graphique. 
		\item Déterminer l'équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement 
de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Tracer $\mathcal{D}$ sur
 le graphique précédent. 
		\item En supposant que ce modèle reste pertinent jusqu'en 2020, quelle
 serait la population de cette ville, à une unité près, en 2020 ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{8}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline 
Rang de l'année $(x_i)$	&0	&5	&10	&15	&20	&25	&30	&35\\ \hline
$z_i = \ln (y_i)$ 		&  	&  	&  	& 	&  	& 	& 	& \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série
 statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$. 
		\item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en 
$x$ par la méthode des moindres carrés.
		\item En supposant que ce second modèle reste pertinent jusqu'en 2020,
donner une nouvelle prévision, à une unité près, de la population de cette
 ville en 2020. 
	\end{enumerate}
\item Les crédits alloués par l'État aux municipalités étant
 proportionnels au nombre d'habitants, quel modèle permet la prévision la plus
 favorable aux finances de la ville en 2020 ?
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions
 irréductibles.}

\vspace{0,5cm} 

Un jeu consiste à lancer de la main gauche, une balle dans un seau. Parmi
 l'ensemble des joueurs, $\dfrac{5}{6}$ sont droitiers et $\dfrac{1}{6}$ sont
 gauchers.
 
Pour un joueur droitier, la probabilité de mettre la balle dans le
 seau est $\dfrac{1}{4}$.
 
Pour un joueur gaucher, cette probabilité est $\dfrac{1}{2}$.

\begin{enumerate} 
\item On choisit au hasard un individu dans cette 
population. On note :

G l'évènement \og l'individu choisi est gaucher \fg{},

S l'évènement \og l'individu met la balle dans le seau \fg{}.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement G ~$\cap$~ S.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement S.
		\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit droitière,
 sachant qu'elle a mis la balle dans le seau. 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on a sélectionné Paul qui est un joueur droitier. Il lance deux balles l'une après l'autre ; on suppose les deux lancers indépendants.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de balles dans le
 seau après les deux lancers.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs prises par $X$ 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

On considère une suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par :

\[ \left\{ \begin{array}{r c r}
u_0			&	 =	&	 6\\ 
u_{n+1}	& =	& \dfrac{1}{3}u_n + 2
\end{array}\right.\]

On pose $v_n = u_n - 3$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite 
géométrique dont on déterminera le premier terme $v_0$ et la raison.
		\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Déduire, en utilisant la question précédente, 
~$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n$ et $\displaystyle\lim_{n \to + 
\infty} u_n$.
	\end{enumerate}
\item On constate que, pour tout $n$ appartenant à $\N,~v_n$ 
est strictement	positif et on pose $w_n = \ln v_n$.

Démontrer que ($w_n$) est une suite arithmétique dont on 
déterminera le premier terme et la raison.
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
		\item Pour quelle valeur de $n$ a-t-on : $w_n = - \ln \left( 27^3\right) - \ln 9$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[ f(x) = (ax + b) \text{e}^{cx},~ \text{où}~ a,~ b~ \text{et}~ c ~\text{sont
 des nombres réels.}\] 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
 orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $a,~ b$ et $c$ pour que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A $\left(- \dfrac{1}{2}~;~0\right)$, par le point B(0 ; 1) et qu'elle admette en B une tangente ayant un coefficient directeur égal au nombre 1. 
\item On supposera désormais que $f$ est définie sur $\R$ 
par $f(x) = (2x+ 1)\text{e}^{-x}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-~\infty$ et en $+~\infty$. En
 déduire l'existence d'une asymptote pour $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, sur $\R$, l'équation $f(x) = 0$ et en déduire
 le signe de $f$ sur $\R$. 
\item Montrer que, sur l'intervalle 
$\left[\dfrac{1}{2}~;~2 \right]$, l'équation $f(x) = 1$ a une solution
 unique $\alpha$. 

Donner la valeur décimale arrondie à $10^{-1}$ de $\alpha$. 
\item Écrire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à 
$\mathcal{C}$ au point B. 
\item Tracer $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ dans le repère 
\Oij{} (unité graphique 2~cm).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On donne la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
\[F(x) = (- 2x - 3 ) \text{e}^{-x} + 3.\] 

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $F$ est la primitive sur $\R$ de $f$ qui
 s'annule pour $x = 0$. 
\item Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de
 la  partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$,
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$	et $x= 1$.

Donner une valeur approchée de cette aire à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}