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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}
{ \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Centres étrangers ~\decofourright\\13  juin 2012}}
 \end{center}
 
\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. \\
Pour chaque question, indiquer par a., b., c. l'unique bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève  aucun point.}

\medskip

On considère la fonction  $f$  définie et dérivable sur l'intervalle  $\left[-\dfrac{5}{2}~;~6 \right]$. 

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous, représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.

Le point $A$ a pour coordonnées $(-2;0)$, le point $B$  a pour coordonnées $(0;4)$, le point $C$ a pour coordonnées $\left(1~;~\dfrac{7}{2} \right)$, le point $D$ a pour coordonnées $(5;0)$ et le point $E$ a pour coordonnées $(6~;~0)$.

On précise que la droite $(CE)$ est tangente à la courbe $C_f$ au point $C$ et que la courbe $C_f$ admet au point $B$ une tangente horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-7,-7)(14,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.4*(x+2)*(5-x)*(35/48)^x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-7)(14,10)
\psset{unit=.9cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(7,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{6}{\f}
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{<->}(-1,4)(1,4) 
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt](-1,4.9)(7,-.7) 
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2.5,-3.3)(6,-.48)
\uput[ur](-3,-2){\footnotesize{\bleu{$C_f$}}} 
%pb de décalage vertical avec les points +
%\psdots[dotstyle=B+, linecolor=bleu,linewidth=2pt,dotscale=.8](-2,0)(0,4)(1,3.5)(5,0)(6,0)
\psline[linecolor=bleu,linewidth=1.pt](1,3.35)(1,3.65) 
\psline[linecolor=bleu,linewidth=1.pt](.85,3.5)(1.15,3.5) 
\uput[ul](-2,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}} \uput[ul](0,4){\footnotesize{\bleu{$B$}}}  \uput[ur](1,3.5){\footnotesize{\bleu{$C$}}}  \uput[ur](5,0){\footnotesize{\bleu{$D$}}}  \uput[ur](6,0){\footnotesize{\prune{$E$}}} 
\end{pspicture}
\end{center}

On note $g$ et $h$ les fonctions définies respectivement par $g(x)=\ln \left[ f(x) \right]$ et \mbox{$h(x) = \e^{f(x)}$}.

\begin{enumerate}
	\item La fonction $g$ est définie sur l'intervalle : 
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a.}\quad  $\left] -2~;~5 \right[$ & \textbf{b.}\quad  $\left[ -2~;~5 \right]$ & \textbf{c.}\quad $\left[ -\dfrac{5}{2}~;~6 \right]$ \\
\end{tabularx}	

\item  Le nombre $g(1)$  est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a.}\quad  $\dfrac{\ln 7}{\ln 2}$ & \textbf{b.}\quad  $\ln 7 - \ln 2$ & \textbf{c.}\quad $\dfrac{7}{2}$ \\
\end{tabularx}

\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$, le nombre $f^{\prime}(1)$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a.}\quad  3,5 & \textbf{b.}\quad  $-\dfrac{10}{7}$ & \textbf{c.}\quad $-0,7$ \\
\end{tabularx}

\item On note $h^{\prime}$ la fonction dérivée de $h$, le nombre $h^{\prime}(0)$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a.}\quad  $\e^0$ & \textbf{b.}\quad  0 & \textbf{c.}\quad $\e^4$ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Le tableau suivant donne la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat, série ES, entre 2002 et 2009. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année  &  2002 & 2003 & 2004  & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ &  0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline
Proportion $y_i$ en \% & 25,5 & 28,6 & 30 & 33,1 & 36,8 & 41 & 41,1 & 44,1  \\ \hline 
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize{\emph{Source : ministère de l'\'Education nationale et ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche}}} 
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer le taux d'évolution de la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat ES entre 2002 et 2009. On exprimera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi à l'unité.
	\item Dans cette question, on envisage un ajustement affine et on admet qu'une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est $y = 2,73x + 25,47$ (les coefficients étant arrondis à $0,01$ près).
	
	En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes :
	
\begin{enumerate}
	\item Estimer la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012.
	\item Estimer l'année à partir de laquelle la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES dépassera 60\,\%.
\end{enumerate}

\item Dans cette question, on envisage un ajustement exponentiel et on pose $z=\ln y$.

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.
	
	\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ &  0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline
$z_i = \ln y_i$ &   &   &   &   &   &   &   &    \\ \hline 
\end{tabularx} 

\medskip

\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 0,01 près.
\item En déduire que $y = A \times B^x$ où $A$ et $B$ sont deux réels à déterminer. On arrondira à $0,01$ près.
\item En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes, calculer la proportion, arrondie à 0,1\,\%, de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d'un lycée quelques années après l'obtention de leur baccalauréat.

Ce sondage révèle que 55\,\% d'entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10\,\% ont intégré une école d'ingénieur et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d'emploi). 
	
	\medskip

Ce sondage révèle aussi que :

\begin{itemize}
	\item 45\,\% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation.
	\item 30\,\% des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieur ont fait le choix de vivre en colocation.
	\item 15\,\% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation.
\end{itemize}
	
	\medskip

On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note :

\begin{itemize}
	\item[] $F$ l'évènement : \og l'ancien élève  poursuit ses études à la faculté \fg{} ;
	\item[] $I$ l'évènement : \og l'ancien élève  a intégré une école d'ingénieur \fg{} ;
	\item[] $T$ l'évènement : \og l'ancien élève  est sur le marché du travail \fg{} ;
	\item[] $C$ l'évènement : \og l'ancien élève  vit en colocation \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $F \cap C$ puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,33$.
\end{enumerate}
		\item Un ancien élève  vit en colocation. Calculer la probabilité qu'il poursuive ses études à la faculté.
		\item \emph{Dans  cette  question,  toute  trace  de  recherche,  même  incomplète,  ou  d'initiative,  même  non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
Le responsable du sondage affirme : \og Plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études \fg{}. 
	
Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.
		\item On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d'anciens élèves est suffisamment important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante.
	
Calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Au rugby, réussir une transformation consiste à faire passer le ballon entre deux poteaux verticaux et au dessus de la barre horizontale reliant ces deux poteaux.
	
\medskip

Basile est un joueur de rugby, il envisage de devenir professionnel.

Ses différentes expériences en championnat conduisent aux résultats suivants :

\begin{itemize}
	\item Lors d'un match, la probabilité que Basile réussisse la première transformation est égale à $0,5$.
	\item Si Basile réussit une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale à $0,8$.
	\item Si Basile ne réussit pas une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale à $0,6$.
\end{itemize}
	
\medskip

Basile se prépare pour son match de sélection en tant que professionnel.

On considère que lors du match, $n$ transformations sont tentées avec $n$ entier naturel supérieur ou égal à 1.

On note T l'état : \og Basile réussit sa transformation \fg.
	
\medskip

Pour $n \geqslant 1$, on note :

\begin{itemize}
	\item $p_n$  la probabilité que Basile réussisse la $n$-ième transformation.
	\item $q_n$  la probabilité que Basile ne réussisse pas la $n$-ième transformation.
	\item $P_n = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors de la $n$-ième transformation.
\end{itemize}

On a $P_1=\begin{pmatrix} 0,5  & 0,5  \\ \end{pmatrix}$.

\medskip

\textbf{\textsc{Partie a}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets T et $\overline{\mathrm{T}}$.
	\item Donner  la  matrice  de  transition $M$ de ce graphe probabiliste.
	\item Déterminer l'état  probabiliste $P_2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Partie b}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'égalité $ P_{n+1} = P_{n} M$, montrer que $p_{n+1} = 0,8 p_n + 0,6 q_n$.
		\item En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$, $p_{n+1} = 0,2 p_n + 0,6$.
	\end{enumerate} 
\item Soit la suite $\left(u_n \right)$ définie pour tout $n \geqslant 1$ par $u_n = p_n - 0,75$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison 0,2.
		\item En déduire que la suite $\left(p_n \right)$  converge et donner sa limite.
		\item Interpréter le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{\textsc{Partie A}}

\medskip
 
Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (ax + b) \text{e}^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels. 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = (a-b-ax)\text{e}^{-x}$
	\item On donne $f(0)=1$ et $f'(0)=3$. En déduire $a$ et $b$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Partie B}}

\medskip
 
Dans cette partie, on admettra que $a=4$ et $b=1$. 

Donc pour tout réel $x$, $f(x) = (4x + 1)\text{e}^{-x}$.
 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
	\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (On pourra utiliser le fait que pour tout réel $x$, $\left.f(x)=\dfrac{4x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{1}{\text{e}^{x}}\right)$.
	\item Étudier les  variations de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{partie C}}

\medskip
 
Une entreprise produit $x$ centaines d'objets chaque semaine.

Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est défini sur l'intervalle $[0~;~5]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l'euro près.
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[0;5]$ par $F(x) = (-4x-5) \text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\dfrac{1}{5} \displaystyle\int_0^{5}{f(x) \; \mathrm{d} x}$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
		\item Quelle interprétation peut-on faire du résultat précédent pour l'entreprise ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}