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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers II}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
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\begin{center}{ \Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers II juin 1997~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incident se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item la probabilité que l'alarme se déclenche par erreur, c'est-à-dire sans qu'il 
y ait eu incident, est égale à $\dfrac{1}{50}$ ; 
\item la probabilité qu'un incident survienne sans que l'alarme se déclenche 
 est égale \`a $\dfrac{1}{500}$ ; 
\item la probabilité qu'un incident se produise est égale à $\dfrac{1}{100}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On pourra noter :
 
$A$ l'évènement \og l'alarme se déclenche \fg{};

$I$ l'évènement \og un incident se produit \fg{}; 

$\overline{A}$ et $\overline{I}$ leurs évènements contraires respectifs. 

Ainsi, par exemple, $A \cap \overline{I}$ représente l'évènement \og l'alarme se déclenche sans qu'il y ait incident \fg. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l'alarme se déclenche.
 
En déduire la probabilité que l'alarme se déclenche.
\item Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d'alarme soit mis en défaut ? 
\item L'alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un incident ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les assureurs estiment qu'en moyenne, pour l'entreprise, le coût des anomalies est le suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \np{5000} F pour un incident lorsque l'alarme fonctionne ; 
\item \np{15000} F pour un incident lorsque l'alarme ne se déclenche pas ; 
\item \np{1000} F lorsque l'alarme se déclenche par erreur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour.
 
Soit $X$ la variable représentant le coût journalier des anomalies pour 
l'entreprise.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
\item Quel est le coût journalier moyen des anomalies ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'intégrale : K $= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \cos (2x )\:\text{d}x$. 

À l'aide de deux intégrations par parties successives, montrer que : K $ = \dfrac{\text{e}^{\pi} - 1}{5}$.
\item  Soient I $= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \cos^2 x\:\text{d}x$ et J $ = 	\displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \sin^2 x\:\text{d}x$. 

Calculer I + J et I $-$ J.
 
En déduire les valeurs de I et J. 
\item Linéariser $\cos^2 x$ et $\sin^2 x$.
 
Retrouver directement les valeurs de I et de J à l'aide de ce résultat et de la première question.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormal du plan. On considère la courbe 
$(\mathcal{C})$ de représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c l} 
x &=& 3\cos t\\ 
y &=& 2\sin t
\end{array}\right.~ 	\text{où}~ t~ \text{décrit l'intervalle}~ [0~;~2\pi]\] 
 
\begin{enumerate}
\item Reconnaître la nature de la courbe $(\mathcal{C})$ et en donner l'équation cartésienne.
 
Tracer $(\mathcal{C})$ (unité graphique 2~cm). 
\item Exprimer en fonction de $t$, l'affixe $z$ d'un point $M(t)$ de $(\mathcal{C})$. 
\item Soit A le point d'affixe 2. Pour tout point $M$ de $(\mathcal{C})$, on construit le point 
$M'$ tel que le triangle A$MM'$ soit direct, rectangle en A et tel que: 
A$M' = \dfrac{\text{A}M}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $M'$ est l'image de $M$ par une similitude directe que l'on 
précisera.
		\item Exprimer l'affixe $z'$ de $M'$ en fonction de $t$.  
		\item En déduire une représentation paramétrique de l'ensemble des points $M'$ lorsque $M$ décrit $(\mathcal{C})$.
		\item Montrer que $M'$ appartient à la courbe $(\mathcal{C}')$ d'équation cartésienne: 

\[(x - 2)^2 + \dfrac{4}{9}(y + 1)^2 = 1.\]
 
Montrer que $(\mathcal{C}')$ est une conique dont on précisera le centre.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}

\medskip 

On cherche dans cette partie à résoudre l'équation différentielle (E) : 

\[y'' - 2y' + y = - x + 1\]

c'est-à-dire qu'on cherche à déterminer l'ensemble des fonctions numériques $g$ deux fois dérivables sur $\R$ et telles que, pour tout réel $x : g''(x) - 2g'(x) + g(x) = - x + 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E$'$) : $y'' - 2y' + y = 0$.
\item Déterminer deux nombres réels $m$ et $p$ tels que la fonction $u$ définie par: $u(x) = mx + p$ soit solution de l'équation différentielle (E).
\item Démontrer qu'une fonction g est solution de (E) si et seulement si la 
fonction $g - u$ est solution de l'équation différentielle (E$'$).
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ solution de (E) et telle que :  
$f(0) = - 1$ et $f'(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une solution de l'équation différentielle}

\medskip 

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = x\text{e}^x - x - 1.\]

Soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal 
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. Démontrer que la droite (D) d'équation $y = -x - 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout réel $x : f^{\prime}(x) = x\text{e}^x + \text{e}^x - 1$. 
		\item Étudier le signe de $\text{e}^x - 1$ et celui de $x\text{e}^x$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer $(\mathcal{C})$ et (D). 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions 
dans $\R$. 

On note $a$ celle qui est positive. Montrer que : $0,8 \leqslant a \leqslant 0,81$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Détermination d'une valeur approchée de} \boldmath $a$ \unboldmath 

\begin{enumerate}
\item Soit $x_{0}$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente (T) 

à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $x_{0}$ et on note $x_{1}$ l'abscisse du point  d'intersection de (T) et de l'axe des abscisses. 

Établir la relation : $x_{1} = x_{0} - \dfrac{f\left(x_{0}\right)}{f'\left(x_{0}\right)}$. 

\medskip

On considère la fonction $\varphi$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par la relation 

\[(1) : \quad \varphi(x) = x - \dfrac{f(x)}{f^{\prime}(x)}.\]

L'étude faite dans la partie B du problème montre que $\varphi$ est définie sur $]0~;~+\infty[$.
 
On remarquera que c$\varphi(a) = a$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $x > 0 :\quad  \varphi'(x) = \dfrac{f(x)f^{\prime\prime}(x)}{[f^{\prime}(x)]^2}$.

(on utilisera la relation (1) sans expliciter ni $f(x)$ ni $f'(x)$. 
		\item Calculer $f''(x)$. 
		\item Démontrer que $f'$ et $f''$ sont croissantes sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
		\item En déduire que, si $x$ appartient à l'intervalle $[a~;~ 0,81]$ : 

\[0 \leqslant  \varphi^{\prime}(x) \leqslant \dfrac{f(0,81)f^{\prime\prime}(0,81)}{[f^{\prime}(0,8)]^2}.\] 
	 
		\item Démontrer, à l'aide de l'inégalité des accroissements pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[a~;~0,81]$ : 

\[0 \leqslant \varphi(x) - a \leqslant 10^{- 2}(x - a).\]
 
		\item En déduire que, si $a \leqslant x \leqslant 0,81$, alors : $a \leqslant \varphi(x) \leqslant 0,81$.
	\end{enumerate} 
\item On pose : $x_{0} = 0,81,~x_{1} = \varphi\left(x_{0}\right)$ et $x_{2} = \varphi\left(x_{1}\right)$· 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $x_{2}$ est une valeur approchée par excès à $10^{- 6}$ près de $a$. 		
		\item Donner, à l'aide d'une calculatrice, une valeur approchée de $x_{2}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}