%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BaccalauréŽat S} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{16 juin 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 16 juin 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère une droite $\mathcal{D}$ munie d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$. Soit $\left(A_{n}\right)$ la suite de points de la droite $\mathcal{D}$ ainsi définie : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $A_{0}$ est le point O ; \item[$\bullet~~$] $A_{1}$ est le point d'abscisse $1$ ; \item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n$, le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[A_{n}A_{n+1}\right]$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer sur un dessin la droite $\mathcal{D}$, les points $A_{0},\, A_{1},\, A_{2},\,A_{3},\, A_{4},\, A_{5}$ et $A_{6}$. On prendra 10~cm comme unité graphique. \item Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ l'abscisse du point $A_{n}$. Calculer $a_{2},\, a_{3},\, a_{4}\,a_{5}$ et $a_{6}$. \item Pour tout entier naturel $n$, justifier l'égalité : $a_{n+2} = \dfrac{a_{n} + a_{n+1}}{2}$. \end{enumerate} \item Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n,\,a_{n+1} = - \dfrac{1}{2}a_{n} + 1$. \item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$. Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{2}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$, puis celle de la suite $\left(a_{n}\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n'est pas justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute justification incomplète sera valorisée.} \medskip \textbf{Question 1} On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Oij, les points A, B et C d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i},\quad b = 3\text{i},\quad c = \left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right).\] \emph{Affirmation} Le triangle ABC est un triangle équilatéral. \medskip \textbf{Question 2} On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, la transformation $f$ dont une écriture complexe est : $z' = \left(\dfrac{2\text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}}\right)z$. \emph{Affirmation} La transformation $f$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \medskip \textbf{Question 3} On considère le nombre complexe $a = \left(-\sqrt{3} + \text{i}\right)^{\np{2011}}$. \emph{Affirmation} Le nombre complexe $a$ est un nombre imaginaire pur. \medskip \textbf{Question 4} Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, o\`u $\lambda$ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel $t$ strictement positif, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$ s'exprime par $P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$. \emph{Affirmation} Sachant que $X \geqslant 2$, la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle [2~;~3] est égale à $1 - \text{e}^{- \lambda}$. \medskip \textbf{Question 5} Une urne contient au total $n$ boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage. \emph{Affirmation} La plus petite valeur de l'entier $n$, pour laquelle la probabilité d'obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à $\np{0,9999}$, est égale à 13. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute justification complète sera valorisée.} \medskip \textbf{Question 1} On considère l'équation (E) :\quad $2x+ 11y = 7$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \emph{Affirmation} Les seuls couples solutions de (E) sont les couples $(22k - 2~;~- 4k+ 1)$, avec $k$ appartenant à l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs. \medskip \textbf{Question 2} On considère l'entier $N = 11^{\np{2011}}$. \emph{Affirmation} L'entier $N$ est congru à 4 modulo 7. \medskip \textbf{Question 3} On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i}\quad ; \quad b = 3\text{i}\quad ; \quad c = \left(1 - 2\sqrt{2}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{2}\right).\] \emph{Affirmation} Le point C est l'image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \medskip \textbf{Question 4} On considère, dans le plan complexe, les points A et B d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i}\quad;\quad b = 2 - \text{i}.\] Soit $f$ la similitude d'écriture complexe : $z' = \left(- \dfrac{3}{5}- \dfrac{4}{5}\text{i} \right)\overline{z} + \left(\dfrac{12}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i} \right)$. \emph{Affirmation} La transformation $f$ est la réflexion d'axe (AB). \medskip \textbf{Question 5} L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère la surface $\mathcal{S}$ dont une équation est : $z = 4x y$. \emph{Affirmation} La section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $z = 0$ est la réunion de deux droites orthogonales. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d'arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit $M$ un point quelconque du segment [CE]. Dans tout l'exercice, on se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AD}},\, \vect{\text{AE}}\right)$.}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(4,4) \psframe(0.2,0.2)(2.6,2.6)%BCGF \psline(2.6,0.2)(3.3,1.2)(3.3,3.6)(2.6,2.6)%CDHG \psline(3.3,3.6)(0.9,3.6)(0.2,2.6)%HEF \psline[linestyle=dashed](0.9,3.6)(2.6,0.2)%EC \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(0.9,1.2)(0.9,3.6)%BAE \psline[linestyle=dashed](0.9,1.2)(3.3,1.2)%AD \psline[linestyle=dashed](1.4,0.2)(1.8,1.8)(2.95,0.7)%IMJ \uput[l](0.9,1.2){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](2.6,0.2){$C$} \uput[r](3.3,1.2){D} \uput[ul](0.9,3.6){E} \uput[l](0.2,2.6){F} \uput[r](2.6,2.6){G} \uput[dr](3.3,3.6){H} \uput[l](1.8,1.8){$M$} \uput[d](1.4,0.2){I} \uput[r](2.95,0.7){J} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J. \item Justifier l'existence d'un réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], tel que les coordonnées du point $M$ soient $(1-t~;~1 - t~;~t)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ]. \item En déduire que le triangle $M$IJ est un triangle isocèle en $M$. \item Exprimer I$M^2$ en fonction de $t$. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ est maximale. On désigne par $\theta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$. \begin{enumerate} \item En admettant que la mesure $\theta$ appartient à l'intervalle $[0~;~\pi]$, démontrer que la mesure $\theta$ est maximale lorsque $\sin \left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ est maximal. \item En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur I$M$ est minimale. \item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : \[f(t) = 3t^2 - t + \dfrac{1}{4}.\] \item En déduire qu'il existe une unique position $M_{0}$ du point $M$ sur le segment [EC] telle que la mesure de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ soit maximale. \item Démontrer que le point $M_{0}$ est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC]. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : \[f(x) = x\text{e}^{1 - x}\quad \text{et}\quad g(x) = x^2\text{e}^{1 - x}.\] Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal \Oij{} sont respectivement notées $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. leur tracé est donné en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Étude des fonctions \boldmath $f$ \unboldmath et} \boldmath $g$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $- \infty$. \item Justifier le fait que fonctions $f$ et $g$ ont pour limite $0$ en $+ \infty$. \item Étudier le sens de variations de chacune des fonctions $f$ et $g$ et dresser leurs tableaux de variations respectifs. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d'intégrales} Pour tout entier naturel $n$, on définit l'intégrale $I_{n}$ par : \[I_{0} = \int_{0}^1 \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x \quad \text{et , si }\, n \geqslant 1,\, I_{n} = \int_{0}^1 x^n\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $I_{0}$. \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ : \[I_{n+1} = - 1 + (n + 1)I_{n}.\] \item En déduire la valeur exacte de $I_{1}$, puis celle de $I_{2}$. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d'une aire plane} \begin{enumerate} \item Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. \item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$. En exprimant $\mathcal{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité : \[\mathcal{A} = 3 - \text{e}.\] \end{enumerate} \item \textbf{Étude de l'égalité de deux aires} Soit $a$ un réel strictement supérieur à 1. On désigne par $S(a)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = a$. On admet que $S(a)$ s'exprime par : \[S(a) = 3 - \text{e}^{1 - a}\left(a^2 + a + 1\right).\] L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe une et une seule valeur de $a$ pour laquelle les aires $\mathcal{A}$ et $S(a)$ sont égales. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $S(a) = \mathcal{A}$ est équivalente à l'équation : $\text{e}^a = a^2 + a + 1$. \item \emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réel $a$, solution du problème posé. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe} \vspace{1cm} (Courbes de l'exercice 4) \vspace{2cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(4,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-3,-3)(4,4) \psaxes[linewidth=1pt,arrowsize=2pt 3](0,0)(-3,-3)(4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.606}{4}{x 2.71828 x 1 sub exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{-0.81}{4}{x dup mul 2.71828 x 1 sub exp div} \uput[dl](0,0){O} \uput[l](-0.5,-2){\blue $\mathcal{C}$} \uput[l](-0.53,2){\magenta$\mathcal{C}'$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}