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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers III juin 1997~ \decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Six personnes jouent au bowling. On appelle \og strike \fg{} le fait de renverser toutes
les quilles d'un seul lancer de boule. Parmi les six personnes, quatre d'entre
elles, qui ont l'expérience du jeu, réussissent le \og strike \fg{} avec une probabilité
égale à $\dfrac{3}{4}$. Les deux autres débutantes, réussissent le \og strike \fg{} avec une probabilité égale à  $\dfrac{1}{4}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un des six joueurs désigné par le hasard se prépare à lancer la boule.

On note $E$ l'évènement : \og c'est un des quatre joueurs expérimentés\fg. $\overline{E}$ est
l'évènement contraire. On note enfin $S$ l'évènement: \og le joueur fait
\og strike \fg{}\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $E \cap S$ : \og le joueur est expérimenté
et réussit son \og strike \fg{}\fg.
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $\overline{E} \cap S$ : \og le joueur est débutant
et réussit son \og strike \fg{}\fg.
\item En déduire la probabilité de l'évènement $S$.
\item Un \og strike \fg{} vient d'être réussi. Quelle est la probabilité pour que le joueur
qui l'a réussi soit un débutant ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Parmi les six joueurs, on choisit un joueur A expérimenté, et un joueur B
débutant.

Ils jouent chacun quatre parties ; une partie consistant à lancer une seule
boule : si c'est \og strike \fg, la partie est gagnée, sinon, elle est perdue. La probabilité
de gagner une partie est donc égale à $\dfrac{3}{4}$ pour le joueur A et à $\dfrac{1}{4}$ pour le
joueur B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ le nombre de parties gagnées par le joueur A ; donner la loi de
probabilité de $X$ (on donnera les résultats sous forme de fractions de dénominateur
256).
\item On note $Y$ le nombre de parties gagnées par le joueur B ; on suppose que la
loi de probabilité de $Y$ est donnée par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$Y= y_i$ &0&1& 2 &3 &4\\ \hline
Probabilité de $Y = y_i$&$\dfrac{81}{256}$&$\dfrac{108}{256}$& $\dfrac{54}{256}$ & $\dfrac{12}{256}$& $\dfrac{1}{256}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Si $x_i$ et $y_i$ sont des éléments de l'ensemble $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4\}$, on suppose que les
évènements \og $X = x_i$ \fg{} et \og $Y = y_i$ \fg{} sont indépendants.

Calculer la probabilité de l'évènement \og $X < Y$\fg{} c'est-à-dire que le joueur
B gagne davantage de parties que le joueur A.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Soit $\left(\text{O},~\vect{\text{OA}},\:\vect{\text{OB}},\: \vect{\text{OC}}\right)$ un repère orthonormal de l'espace, supposé direct.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit G l'isobarycentre des points A, B, C.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées du point G.
		\item Montrer que la droite (OG) est perpendiculaire au plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item On considère les points: A$'(2~;~0~;~0)$, B$'(0~;~2~;~0)$, C$'(0~;~0~;~3)$. Ces trois
points définissent un plan noté (A$'$B$'$C$'$).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du produit vectoriel $\vect{\text{A}'\text{B}'} \wedge \ \vect{\text{A}'\text{C}'}$ et en déduire qu'une équation cartésienne du plan (A$'$B$'$C$'$) est
$3x + 3y + 2z = 6$.
		\item Montrer que le point M$(x~;~y~;~z)$ appartient à la droite (AC) si, et seulement s'il existe un nombre réel k tel que :
$\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& 1 - k\\
y&=& 0\\
z&=& k
\end{array}\right.$.
		\item Calculer alors les coordonnées du point K commun à la droite (AC) et
au plan (A$'$B$'$C$'$).
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le point L commun à la droite (BC) et au plan (A$'$B$'$C$'$) a
pour coordonnées $(0~;~4~;~-3)$.
		\item Montrer que les droites (AB), (A$'$B$'$) et (KL) sont parallèles.
		\item Caractériser l'intersection des deux plans (ABC) et (A$'$B$'$C$'$), à l'aide
de points définis précédemment.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Soit  $\left(\text{O},~\vect{\text{OA}},\:\vect{\text{OB}},\: \vect{\text{OC}}\right)$ un repère orthonormal de l'espace, supposé direct.

Soit M un point de l'espace de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on note H son projeté
orthogonal sur le plan (ABC) et K son projeté orthogonal sur la droite (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit G l'isobarycentre des points A, B, C.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées du point G.
		\item Montrer que la droite (OG) est perpendiculaire au plan (ABC).
		\item Donner une équation cartésienne de ce plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $\left|\vect{\text{MA}} \cdot  \vect{\text{OG}}\right| = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{MH}$.
		\item Calculer, en fonction de $x, y, z$, la distance de M au plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En interprétant la norme $\left\|\vect{\text{MA}} \wedge  \vect{\text{MB}}\right\|$ du produit vectoriel des vecteurs $\vect{\text{MA}}$ et $\vect{\text{MB}}$ comme une aire, exprimer la distance MK en fonction de cette norme.
		\item En déduire que : MK $= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2z^2 + (1 - x - y)^2}$.
	\end{enumerate}
\item On se place dans le plan (OAB) d'équation $z = 0$ et on considère
l'ensemble $(\Gamma)$ des points du plan (OAB) qui sont équidistants du point O
et du plan (ABC).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $(\Gamma)$ ne contient aucun point de la droite (AB).
		\item Soit M$(x~;~y~;~0)$ un point du plan (OAB), n'appartenant pas à la droite (AB).
		
En utilisant les résultats des questions 2. et 3. calculer la valeur du rapport $\dfrac{\text{MH}}{
 \text{MK}}$.
		\item En déduire la nature de l'ensemble $(\Gamma)$ ; en donner un foyer, la directrice
associée et l'excentricité.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème }  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère, dans cette partie, la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (x - 1)\left(1 + \text{e}^{- x}\right).\]

On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij,
d'unité graphique 4~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ pour tout $x$ réel.
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f'$.
		\item En déduire le signe de $f'(x),\: x$ appartenant à $\R$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de $f$.
		\item Préciser les limites de $f$ en $+\infty$ et en $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à la
courbe $(C)$ en $+ \infty$.
		\item Étudier le position relative de la courbe $(C)$ et de la droite $(\Delta)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'abscisse du point de $(C)$ où la tangente est parallèle à $(\Delta)$.
		\item Écrire une équation de cette tangente $(T)$.
	\end{enumerate}
\item Tracer dans le repère \Oij, les trois courbes $(C)$,\: $(\Delta)$ et $(T)$. On se
limitera aux points dont l'abscisse est comprise entre $0$ et $4$.
\item Pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 1, on considère  $E$ l'ensemble des points
M du plan, de coordonnées $(t~;~y)$ vérifiant

\[1 \leqslant  t \leqslant x,\quad  t - 1 \leqslant y \leqslant f(t).\]

Exprimer, à l'aide d'une intégrale, l'aire de l'ensemble $E$ (on ne cherchera
pas à calculer cette intégrale), en unités d'aire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, on note $A(x)$ l'intégrale

\[\displaystyle\int_1^x (t - 1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item Préciser le sens de variation sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ de la fonction $A$ qui, à $x$
associe $A(x)$.
\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties, que $A(x) = \dfrac{1}{\text{e}} - x\text{e}^{- x}$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} A(x)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation d'inconnue $x$ réelle $A(x) = \dfrac{1}{2\text{e}}$ admet une
seule solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$.
		\item Vérifier que : $2,6 < \alpha < 2,7$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $[1~;~+\infty[$ par : $h(x) =  1 + \ln (2x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $h$ est croissante sur $[1~;~+\infty[$.
		\item Montrer que l'équation $A(x) = \dfrac{1}{2\text{e}}$ équivaut à l'équation $h(x) = x$.
	\end{enumerate}
\item  On considère les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
$u_0 = 2,\: v_0 = 3$ et pour tout entier naturel $n,\: u_{n+ 1} = h\left(u_n\right)$ et
$v_{n+ 1} = h\left(v_n\right)$·
	
(On admettra que pour tout entier naturel $n,\: u_n$ et $v_n$ appartiennent à
l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Établir par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :
		
\[u_n \leqslant v_n \leqslant \alpha \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n.\]

(On pourra utiliser la croissance de la fonction $h$).
		\item En déduire une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près, par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}