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%Merci à Juan Navarro & Larougay Chantal
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
pdftitle = {Centres étrangers (Europe) Sujet 2 13 juin 2025},
allbordercolors = white,
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{13 juin 2025}}
\vspace*{-4cm}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers 13 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip
%\begin{center}
%\Large\textbf{Épreuve d'enseignement de spécialité} \\
%\normalsize L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. \\
%L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg est autorisé. \\
%\vspace{1em}
%
%%\textit{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte.} \\
%%\textit{Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.}
%\end{center}

\section*{Exercice 1 \hfill 6 points}

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.

Au 1\up{er} janvier 2025, on introduit \np{6000} individus dans chacun des milieux A et B.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0,93$.

Pour tout entier naturel $n,\: u_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_n)$ définie par 

\begin{center}$v_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = -0,05v_n^2 +1,1v_n$.\end{center}

Pour tout entier naturel $n, v_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en millier d'individus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026.
\end{enumerate}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = -0,05x^2 + 1,1x.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~11].
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a 

\[2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6.\]

\item En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

\begin{enumerate}
\item En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à \np{3000} individus.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à \np{3000} individus.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.78\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.
\item On considère le programme Python ci-contre.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
		\item Déterminer l'année affichée après exécution du programme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.19\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
n=0 \\
u = 6\\
v = 6 \\
\textbf{while} \ldots :\\
\qquad u = \ldots\\
\qquad v= \ldots\\
\qquad n = n+1\\
\textbf{print} (2025 + n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\section*{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{a+ \e^{-bx}}\]

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

\smallskip

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=5cm,arrowsize=2pt 3,comma,algebraic}
\begin{pspicture*}(-4,-0.1)(33,1.1)
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.0+0.1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(33,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(33,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{33}{1/(1+2.71828^(-0.2*x))}
\psplotTangent[linewidth=0.5pt,linecolor=red]{0}{20}{1/(1+2.71828^(-0.2*x))}
\uput[dr](0,0.5){A}\uput[dr](10,1){B}\psdots[dotscale=1.5,dotstyle=+,dotangle=45](10,1)
\uput[d](30,1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On considère les points A(0~;~0,5) et B(10~;~1).

On admet que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.
\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$.

Donner une interprétation graphique de ce résultat.
\item Justifier que $a = 1$.
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.
		\item En déduire la valeur de $b$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \e^{-0,2x}}\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0,97$.
\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $a$ par deux nombres entiers
consécutifs.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$,\: $f(x) = \dfrac{\e^{0,2x}}{1 + \e^{0,2x}}$.
\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~40], c'est-à-dire:

\[I = \dfrac{1}{40}\displaystyle\int_0^{40} \dfrac{1}{1 + \e^{-0,2x}}\,\text{d}x.\]

\emph{On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 4 points}

Le codage \og base64 \fg, utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.
Par exemple, \og gP3g \fg est une telle séquence.
Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte: les séquences \og m5C2 \fg et \og 5C2m \fg ne sont pas identiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de séquences possibles.
\item Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont
différents deux à deux.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule
		\item En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
		\item Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
		\item Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. \emph{On donnera
l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près}.
\item Que pensez-vous de l'affirmation suivante: \og La probabilité que plus de 16
caractères soient mal transmis est négligeable\fg ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_1,\: X_2,\: X_3$\: et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences. 

On admet que les variables aléatoires $X_1,\: X_2,\: X_3$\: et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B.

On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4.$

Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.

\section*{Exercice 4 \hfill 4 points}

On se place dans un repère orthonormé \Oijk de l'espace.

On considère les points A(1~;~0~;~3), B$( -2~;~1~;~2)$ et C(0~;~3~;~2).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
		\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}$Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal au plan (ABC).
		\item En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne 

$-x + y + 4z - 11 = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x - 3y + 2z - 9 = 0$ et le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - y- z + 2 = 0$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.
		\item Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$.
\item Montrer que le point M(2~;~1~;~3) appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
\item Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan (ABC).

Que peut-on dire des trois plans (ABC), $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?
\end{enumerate}
\end{document}