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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{septembre 1997}}
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\begin{center}{ \Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers septembre 1997~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par

\[u_n = \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\:\text{dx}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x\geqslant0, \quad 1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1$.
		\item En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$, \quad $1 - \dfrac{1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On considère la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par

\[v_n = \int_0^1 \dfrac{nx^n}{1 + x^n}\:\text{dx}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item En écrivant $\dfrac{nx^n}{1 + x^n}$ sous la forme $\dfrac{nx^{n-1}}{1 + x^n}\times x$
montrer, à l'aide d'une intégration par parties que $v_n = \ln 2 - \displaystyle\int_0^1 \ln \left( 1 + x^n\right)\:\text{d}x$.
		\item En utilisant l'inégalité vraie pour tout $t \geqslant 0 \:: 0 \leqslant \ln (1 + t) \leqslant t$ (inégalité l'on ne demande pas de démontrer), montrer que:
		
\[0 \leqslant \int_0^1 \ln \left(1 + x^n\right)\:\text{d}x\leqslant \dfrac{1}{n + 1}.\]

		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \ln 2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout entier $n \geqslant 1 \::\: v_n + nu_n =n$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\left(1 - u_n\right) = \ln 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

On appelle A et B les points d'affixes respectives $- 1$ et 1.

Soit $M$ un point d'affixe $z_M$ différente de 0. On appelle $N$ le point d'affixe $\dfrac{1}{z_M}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que : \:AN $= \dfrac{\text{AM}}{\text{OM}}$.
\item \emph{Dans toute la suite}, on suppose que le point $M$ appartient au cercle de centre B et de rayon $\sqrt 2$. On pose $z_M = x + \text{i}y, \: x \in \R,\: y \in \R$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que: $x^2 + y^2 = 2x + 1$.
		\item Prouver que: $\left|z_M + 1\right|^2 = 2\left|z_M\right|^2$. 
		
En déduire la longueur AM en fonction de OM.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la question 1. calculer la longueur AN.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le résultat de la question 2. a., démontrer que:

\[1 - \dfrac{1}{z_M} = \dfrac{1}{\left|z_M\right|^2}\left(z_M + 1\right).\]

		\item En déduire que les vecteurs $\vect{N\text{B}}$ et $\vect{\text{A}M}$ sont colinéaires.
		
Lorsque $M$ n'est pas sur la droite (AB), indiquer la nature du quadrilatère ANBM.
		\item Démontrer que les normes des vecteurs $\vect{N\text{B}}$ et $\vect{\text{A}M}$ sont égales si et seulement si $\left|z_M\right| = 1$.
		
Préciser quelles sont alors les deux positions possibles du point $M$. Dans ces deux cas, montrer que le quadrilatère ANBM est un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct et de centre O. $M$ est un point du segment [AB], distinct de A et de B. On considère les carrés directs AMEF et MBGH de centres respectifs I et J. Les droites (AG) et (MH) se coupent en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en prenant AB $= 15$ cm et $\vect{\text{A}M} = \dfrac13\vect{\text{AB}}$.

Cette figure complétée au fur et à mesure de l'exercice.
\item Une propriété des points I, P{}, J.

On désigne par $h$ l'homothétie de centre P qui transforme A en G.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $h(M) =$ H et $h$(E) $= M$.
		\item En déduire que l'image du carré AMEF est le carré GHMB.
		\item Préciser $h$(I). En déduire que les points I, P{}, J sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On note $\Delta$ la droite passant par O et perpendiculaire à la droite (MH) en un point noté I.

On appelle U le milieu du segment [AB] et $M'$ le point d'intersection des (ME) et (CD).

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que GM$'$ = AH
		\item Montrer que LJ $= \dfrac12$ G$M'$ et UJ $= \dfrac12$AH.
		
En déduire que LJ = UJ.

On démontrerait de même que IL = IU.
		\item En déduire que la droite (IJ) est la médiatrice du segment [LU].
	\end{enumerate}
\item Justifier l'égalité PU = PL.
\end{enumerate}

N,B. La fin de la quatrième question de l'exercice a été supprimée car hors
gramme désormais (elle traitait d'une conique définie par foyer et directrice.

\bigskip

\textbf{Problème \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le but du problème est l'étude et la représentation graphique de la fonction

$f$ définie sur $\R$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) &=&\dfrac{x^2}{\text{e}^x - 1}\quad \text{si}\:x \neq 0\\
f(0) &=& 0
\end{array}\right.\]

Dans les parties A et B, on étudie des fonctions auxiliaires nécessaires à l'étude du signe de la dérivée de $f$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}h(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}h (x)$.
		\item Donner le tableau de variations de $h$ (on ne demande pas de construire la représentation graphique de $h$).
	\end{enumerate}
\item En remarquant que $h (2) > $\:e, montrer qu'il existe dans ]0~;~1[ un unique réel $\alpha$ tel que $h(\alpha) = h(2)$.

Vérifier que $0,40 < \alpha < 0,41$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 
\[g(x) = (2 - x)\text{e}^x - 2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de $g$ en indiquant en particulier $g(0)$ (on
ne demande pas de construire la représentation graphique de $g$).
	\end{enumerate}
\item En déduire l'existence d'un unique réel $\beta$ non nul tel que $g(\beta) = 0$.
\item En déduire le signe de $g(x)$ en fonction de $x$.
\item Recherche d'un encadrement de $\beta$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $1 < \beta < 2$.
		\item Montrer que $h(2 - \beta) = h(2)$, où $h$ est la fonction définie dans la partie A.
		\item En déduire que $\beta = 2 - \alpha$ et donner un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) &=&\dfrac{x^2}{\text{e}^x - 1}\quad \text{si}\:x \neq 0\\
f(0) &=& 0
\end{array}\right.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère 
orthonormal \Ouv (unité graphique 2 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est dérivable en 0 et préciser la tangente au point d'abscisse 0.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
		\item Vérifier que, pour tout $x \neq 0$, on a $f(x) = \dfrac{x^2 \text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x}}$.

En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et donner une interprétation géométrique du résultat.
	\end{enumerate}
\item Pour tout $x \neq 0$, montrer que $f'(x) = \dfrac{x}{\left(\text{e}^x - 1\right)^2}g(x)$. ($g$ est la fonction définie à la partie B)
\item Dresser alors le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}

Dans ce qui suit, on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction définie sur $\R$ par 

$x \longmapsto - x^2$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(x) + x^2$.
		\item En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}$.
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(f(x) + x^2\right) = 0$ et donner une interprétation géométrique du résultat.
	\end{enumerate}
\item Tracer sur le même graphique les courbes $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}_f$ et la droite $(T)$ tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}
\end{document}