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%Tapuscrit Denis Vergès
%Corrigé : Benjamin Nattagh ? & François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\small Exercices pour le baccalauréat S }
\lfoot{\small{2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{Exercices pour le bac  S}}

\vspace{0,5cm}

Octobre 2003

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice \no 1 (enseignement obligatoire)}

\medskip

On considère 7 boules numérotées de 1 à 7.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On en tire simultanément 3. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
\item Soit $k$ un entier vérifiant $3 \leqslant k \leqslant 7$. Combien y a-t-il de
 tirages de 3 boules dont le plus grand numéro est $k$ ?
\item En déduire une expression de $\displaystyle\sum_{k=3}^{7} 
\binom {x- 1} {2}$	 sous forme d'un unique coefficient binomial.
\end{enumerate}

\vspace{1.2cm}

 \textbf{ Exercice \no  2 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction
exponentielle $x \mapsto \text{e}^x$. Pour tout point $M$ d'abscisse $t$ 
appartenant à
$\mathcal{C}$, on considère le point $P$ de coordonnées $(t~;~~ 0)$ et le point $N$, point
d'intersection de la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

 Montrer que la distance $PN$ est constante.

\begin{center}
\psset{xunit=6cm}
\begin{pspicture}(1.5,4.5)
\psline(0.2,0)(1.5,0)
\psplot{0.2}{1.5}{2.71828 x exp}
\psline(1.2,0)(1.2,3.32)
\psline(0.2,0)(1.5,4.316)
\uput[dr](0.2,0){$N$}
\uput[dr](1.2,3.32){$M$}
\uput[dr](1.2,0){$P$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item	Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, strictement positive, dérivable et dont la
 dérivée est strictement positive. Pour tout point $M$ d'abscisse 
 $t$ appartenant à la courbe
 représentative de $f$, on considère le point $P$ de coordonnées $(t~;~0)$ et le point $N$,
 point d'intersection de la tangente en $M$ àla courbe représentative de 
 $f$ avec l'axe des abscisses.

\begin{enumerate} \item Calculer la distance $PN$ en fonction de $f(t)$ et de $f'(t)$.

\item Déterminer les fonctions $f$ pour lesquelles la distance $PN$ est constante.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  3 (enseignement obligatoire)}

\medskip

\textit{À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une 
réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la
 moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à
 certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n'en enlèvent
 aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}
 
 Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $z \in \C$ vérifiant $\overline{z}+ |z| = 6 + 
2\text{i}$. Écrire $z$ sous forme algébrique.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
${\huge\Box}~~\dfrac{8}{3} - 2\text{i}$&${\huge\Box}~~-\dfrac{8}{3} - 2\text{i}$&
${\huge\Box}~~\dfrac{8}{3} + 2\text{i}$&${\huge\Box}~~- \dfrac{8}{3} + 
2\text{i}$ 
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe  $z = x + \text{i}y$ vérifiant
 $|z - 1| = |z + \text{i}|$ est la droite d'équation :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
${\huge\Box}~~ y =x-1$&${\huge\Box}~y= -x$&${\huge\Box}~~y = -x + 
1$&${\huge\Box}~~y = x$
\end{tabularx}
\end{center}

\item $\left(2 + 2\text{i}\sqrt{3}\right)^n \in \R$ si et seulement 
si $n$ s'écrit sous la forme (où $k \in \N$) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
${\huge\Box}~~ 3k+1$&${\huge\Box}~~ 3k+2$&${\huge\Box}~~ 
3k$&${\huge\Box}~~ 6k$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit l'équation (E) : $z = \dfrac{6 - z}{3 - z}~  (z \in \C)$. Une solution de
(E) est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
${\huge\Box}~~- 2 - \text{i}\sqrt{2}$&${\huge\Box}~~2 + 
\text{i}\sqrt{2}$&${\huge\Box}~~1 - \text{i}$&${\huge\Box}~~- 
1 - \text{i}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit deux points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 
\text{i}$ et $z_{\text{B}} = \sqrt{3}$ dans un repère
 orthonormal  \Oij. L'affixe $z_{\text{C}}$ du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral
 avec 
 
 $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = 
 \dfrac{\pi}{3}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
${\huge\Box}~~ -\text{i}$&${\huge\Box}~~2\text{i}$&${\huge\Box}~~\sqrt{3} + 
\text{i}$&${\huge\Box}~~\sqrt{3} + 2\text{i}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ 
d'affixe $z = x + \text{i}y$ vérifiant

 arg $\left(\dfrac{z + 2}{z - 2\text{i}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est
inclus dans :

${\huge\Box}~$ La droite d'équation $y = -x$

${\huge\Box}$ Le cercle de centre I$(1 + \text{i})$ et de rayon R = 
$\sqrt{2}$

${\huge\Box}$ La droite d'équation $y = x$

${\huge\Box}$ Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d'affixes 
respectives $z_{\text{A}} = - 2$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  4 (enseignement obligatoire)}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
{Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1]
par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1$. Cette fonction est dérivable sur [0~;~1] et sa dérivée $f'$ vérifie $f'(1) = 0$. La courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal est donnée ci-contre.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ appartient à $\Gamma$ si et seulement si $x \geqslant 0,\,\, y \geqslant 0$ et $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$.
		\item Montrer que $\Gamma$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $y = x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\end{minipage}
 \hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
{\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(1.25,1.25)
\psline{->}(-0.25,0)(1.25,0)
\psline{->}(0,-0.25)(0,1.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{ x 2 x 1 2 div exp mul sub 1 add}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\psline(1,0)(1,0.05)
\psline(0,1)(0.05,1)
\end{pspicture}
}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[label=\textbf{2.}]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si $\Gamma$ était un arc de cercle, quel serait son centre ? Quel serait son rayon ?
		\item La courbe $\Gamma$ est-elle un arc de cercle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1.2cm}

\textbf{Exercice \no 5 (enseignement obligatoire)}

\medskip
		
\parbox[c]{0.45\linewidth}{Le plan est rapporté  un repère orthonormal 
\Oij. On note $\Phi$  et $\Gamma$ les courbes représentatives respectives des
fonctions exponentielle et logarithme népérien.

Soit A le point de $\Phi$ d'abscisse $0$ et B le point de $\Gamma$ d'abscisse 1.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les équations de la tangente D  la
courbe $\Phi$ au point A et de la tangente $\Delta$  la courbe $\Gamma$ au point B.
		\item Montrer que les droites $\Delta$ et $\Gamma$ sont parallèles.
		
Quelle est leur distance ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox[c]{0.55\linewidth}
{\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,2.5)
\psline{->}(-2,0)(2.5,0) \psline{->}(0,-2)(0,2.5)
\uput[dr](0,1){A} \uput[ul](1,0){B}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2}{0.91}{2.71828 x exp} \psplot[linewidth=1.25pt]{0.15}{2.5}{x ln}
\end{pspicture}
}

\hfill
\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\Phi$ est située entièrement \og au-dessus \fg{} de D.
		\item Démontrer que la courbe $\Gamma$ est située entièrement \og au-dessous \fg{} de A.
		\item On désigne par $M$ un point quelconque de $\Phi$ et par $N$ un point quelconque
de $\Gamma$. Expliquer pourquoi $MN \geqslant \sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\newpage

\textbf{Exercice \no 6 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2,1\text{e}^{x} + 1,1x + 1,6\]

\begin{enumerate} 
\item Faites apparaître sur l'écran de votre calculatrice graphique la courbe
 représentative de cette fonction dans la fenêtre $- 5 \leqslant x \leqslant 
 4,~ -4 \leqslant y \leqslant 4$.
 
 Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur votre copie.

\item D'après cette représentation graphique, que 
pourrait-on conjecturer :

\begin{enumerate} 
\item Sur les variations de la fonction $f$ ?
\item Sur le nombre de solutions de l'équation $f (x) = 0$ ?
\end{enumerate}

\item On se propose maintenant d'étudier la fonction $f$.

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $\text{e}^{2x}- 
2,1\text{e}^{x} + 1,1 \geqslant 0$ (on pourra poser $X = \text{e}^{x}$).

\item Étudier les variations de la fonction $f$.

\item Déduire de cette étude le nombre de  solutions de 
l'équation $f(x) = 0$.

\end{enumerate}

\item On veut représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe
représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0,05~;~ 0,15]$, de façon à visualiser
les résultats de la question \textbf{3.}

 Quelles valeurs extrêmes de l'ordonnée $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de
 la calculatrice ?

\end{enumerate} 

\vspace{1.2cm}

\textbf{ Exercice \no  7 (enseignement obligatoire)}

\medskip

NB : Les quatre propositions peuvent être examinées indépendamment les unes des autres.

\medskip

On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ positive et la suite 
$\left(v_{n}\right)$ définie par

$$v_{n} = \dfrac{u_{n}}{1 + u_{n}}.$$

 Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 

 Justifier dans chaque cas.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est bornée par 0 et 1.
\item Si la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(v_{n}\right)$
est convergente.
\item Si la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante, alors la suite $\left(v_{n}\right)$
est croissante.
\item Si la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente, alors la suite
$\left(u_{n}\right)$ est convergente.
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{ Exercice \no  8 (enseignement obligatoire)}

\medskip

\textit{Dans cet exercice, les questions sont indépendantes.}

\textit{Pour chaque question, une seule des trois 
propositions a), b) ou c) est exacte. On demande d'indiquer laquelle 
sans justification.}


\textit{À chaque question est affecté un certain nombre de 
points. Pour chaque question, une réponse  exacte rapporte le nombre de points affectés ;
une réponse inexacte enlève la  moitié du nombre de points affectés.}

\textit{Le candidat peut décider de ne pas répondre  
certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n'en enlèvent
 aucun.}

\textit{Si le total est négatif, la note est ramenée } 0.

L'espace est rapporté  un repère orthonormal \Oijk.

\begin{enumerate} 
\item	L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\| 
\vect{M\text{A}}\right\| = \left\|\vect{M\text{B}}\right\r
|$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} l'ensemble vide&\textbf{b.~~}~un plan~~~~~ &\textbf{c.~~}~ une sphère
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère les points A$(0~;~1~;~-2)$ et B(2~;~1~;~0).

Les coordonnées du barycentre $G$ de (A ~;~1) et (B~;~3) sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}	
\textbf{a.~~} G$(6~;~4~;~-2)$&\textbf{b.~~} G$(1,5~;~1~;~-0,5)$& \textbf{c.~~} G(0,5~;~1~;~1,5)
\end{tabularx}
\end{center}
	
\item La droite $d$ a pour représentation paramétrique $x=2-t~;~y 
=3t~;~z = -3,~ t \in \R$.

On considère les points A$(2~;~3~;~-3)$, B$(2~;~0~;~-3)$ et 
C(0~;~6~;~0). On a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $d$ = (AB)&\textbf{b.~~}~$d$ = 
(BC)&\textbf{c.~~}~~ $d \neq$ (AB) et $d \neq $ (BC) et $d \neq $ (CA)
\end{tabularx}
\end{center}
	
\item Les droites de représentations paramétriques respectives :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2+t\\
y& =& 1-t\\
z&=&1 +t, \end{array}\right. t \in R\quad
\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -t'\\
y& =& 2-1,5t'\\
z& =& 3+t', \end{array}\right.t' \in R$
admettent comme point commun :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}	
\textbf{a.~~}~I(3~;~0~;~2)&\textbf{b.~~}~~ J(2~;~1~;~1)& 
\textbf{c.~~}~K$(0~;~2~;~-3)$
\end{tabularx}
\end{center}
	
\item Les droites de représentations paramétriques respectives :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1\\
y &=& 1+2t\\
z &=& 1+t, \end{array}\right.t \in R,\quad
\left\{\begin{array}{l c l}
x &= &3-2t'\\
y &=& 7-4t'\\
z &=& 2-t', \end{array}\right.t' \in R$
 sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}	
\textbf{a.~~}~ parallèles&\textbf{b.~~}~ sécantes& \textbf{c.~~}~ non coplanaires
\end{tabularx}
\end{center}

\item La droite de représentation paramétrique $x = -4t~ ;~ y =  
1 + 3t~ ;~ z  = 2 + 2t,~ t \in \R$ et le plan d'équation $x - 2y + 5z - 
1 = 0$ sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}~ orthogonaux&\textbf{b.~~}~~ parallèles~& \textbf{c.~~}~ ni orthogonaux ni
parallèles
\end{tabularx}
\end{center}

\item L'ensemble des points tels que $x - y + 2z - 1 = 
0$ et $-2x + 4y - 4z + 1 = 0$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}~ l'ensemble vide&\textbf{b.~~}~~ une droite&\textbf{c.~~}~ un plan
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

 \textbf{ Exercice \no  9 (enseignement obligatoire)}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ 
par $f(x) =  \cos x + x$.

En déduire que l'équation $\cos x + x =  0$ a une unique solution. En donner une valeur approchée
  $10^{-3}$ près.
\item On considère l'équation (E) $\sin x -  \dfrac{x}{2} = 0,~x \in \R$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que toutes les solutions de cette équation appartiennent  l'intervalle
$[-2~;~2]$.
		\item Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l'équation (E).
		\item Donner une valeur approchée,  $10^{-3}$ près par défaut, de la plus grande
solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1.2cm}

\textbf{ Exercice \no  10} (spécialité)

\medskip

\textit{L'exercice propose cinq affirmations numérotées de} 1 \textit{à}\, 5.

\textit{Pour chacune de ces affirmations, dire si elle est vraie ou si 
elle est fausse,} 
\textbf{en justifiant le choix effectué.}

\begin{enumerate} \item	Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8.

\item Si un nombre est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6.

\item Si un nombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 24.

\item Si deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux, les entiers 
$a + b$ et $a - b$ sont nécessairement premiers entre eux.
 
\item Si deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux, les 
entiers $2a + b$ et $3a + 2b$ sont nécessairement premiers entre eux.

\end{enumerate}
 
\vspace{1.2cm}

 \textbf{Exercice \no  11 (enseignement obligatoire)}

\medskip

L'espace est rapporté  un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une équation du plan $P$ passant par le point 
A(1~;~0~;~1) et de vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix} - 1 
\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

\item Soit $P'$ le plan d'équation $x + 2y - z + 1 = 0$ et M le point de coordonnées
(0~;~1~;~1).
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que les plans $P$ et $P'$ sont perpendiculaires.
		\item Calculer les distances $d$ et $d'$ du point M aux plans 
$P$ et $P'$ respectivement.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite D intersection des
plans $P$ et $P'$.
		\item Déterminer les coordonnées du point $H$ de D tel que la droite 
(M$H$) soit perpendiculaire  la droite D.
		\item Vérifier que M$H^2 =  d^2 + d'^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Exercice \no  12 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Le plan est rapporté  un repère orthonormal \Oij.

On note I le point de coordonnées $(1~;~0)$.

Soient $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~1]$  
par $f(x) = \text{e}^{x-1}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe  représentative 
dans le repère \Oij.

On note  $\Delta$ la portion de plan comprise entre
la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites
d'équations $x =  0$ et $x = 1$.

Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique réel
$\alpha$ appartenant  [0~;~1] tel que, si $A$ est le point de 
$\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$,
le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux régions de même aire.

Pour tout $x$ appartenant  [0~;1] on note $M_{x}$ le point de 
coordonnées $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine délimité par la
droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $\mathcal{C}$.

On désigne  par $g(x)$ l'aire de $T_{x}$.

\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(1.25,1.25)
\psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
\psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
\psline(1,0)(0.4,0.548811)
\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0.67){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
\pscustom{\psline(0,0)(0,0.308)
\psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}
\psline(0.4,0.548811)(1.0)
\gsave
\psline(0,0)(1,0)
\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightblue]
\grestore
\psline(0.4,0)(0,0)}
\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811)     
\uput[d](0.75,0.3){$\Delta$}
\uput[d](0.4,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
	
\begin{enumerate} 
\item Pour $x$ appartenant  l'intervalle [0, 1], 
calculer $g(x)$ en fonction de $x$.
\item Étudier les variations de la fonction $g$ : $x 
\mapsto g(x)$ sur [0~;~1].
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ de [0~;~1] tel que 
$g(\alpha)$ soit égal  la moitié  de l'aire de $\Delta$.
\item Trouver une valeur approchée de $\alpha $ à $10^{-3}$ près par défaut.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  13 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Le plan est rapporté  un repère orthonormal \Oij.

On note I le point de coordonnées $(1~;~0)$.

Soient $f$ une fonction positive, strictement croissante et 
dérivable sur [0~;~1], $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le 
repère \Oij et $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =  0$ et $x = 1$.

Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique réel
$\alpha$ appartenant  [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de 
$\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$,
le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux régions de même aire.

Pour tout $x$ appartenant  [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de 
coordonnées $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine délimité par la
droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $\mathcal{C}$.

On désigne par $F$ la fonction définie sur [0 ; 1] par 
$F(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$ et par $g(x)$ l'aire 
de $T_{x}$.

\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(1.25,1.25)
\psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
\psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
\psline(1,0)(0.4,0.548811)
\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0.67){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
\pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1.0)
\gsave
\psline(0,0)(1,0)
\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightblue]
\grestore
\psline(0.4,0)(0,0)}
\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811)     
\uput[d](0.75,0.3){$\Delta$}
\uput[d](0.4,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Exprimer, pour tout $x$ appartenant  
l'intervalle [0~;~1], $g(x)$ en fonction de $x,~f(x)$ et $F(x)$.
\item \textbf{Démonstration de cours} Démontrer que $F$ est 
dérivable et a pour dérivée $f$.
\item Étudier les variations de la fonction $g$ : $x 
\longmapsto g(x)$ sur [0~;~1].
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Par des considérations d'aires, montrer que 
$g(0) \leqslant \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t$.
		\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ de [0~;~1] 
tel que $g(\alpha)$ soit égal  la moitié de l'aire de $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  14 (enseignement obligatoire)}

\medskip

\textbf{ A. Solutions d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle :

\[\mathcal{(A)} \qquad y' = - 10y + 6\]

où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item \textbf{Démonstration de cours} Démontrer l'existence et l'unicité de la solution $f$ de l'équation différentielle $\mathcal{(A)}$ telle $f (0) = 
0$.
\item Vérifier que la solution $f$ de l'équation différentielle 
$\mathcal{(A)}$ telle que $f(0) = 0$ est
 $f\quad  :\quad \dfrac{3}{5}\left(1 - \text{e}^{-10t}\right).$
\end{enumerate}

\vspace{0,4cm}

\textbf{ B. Établissement d'un courant dans une bobine}

\medskip

Aux bornes d'une bobine de résistance $R$ (exprimée en ohms) et d'inductance $L$ 
(exprimée en henrys), on branche,  la date $t = 0$, un générateur de force électromotrice
$E$ (exprimée en volts). L'unité de temps est la seconde.

L'intensité du courant dans le circuit (exprimée en ampères) est une fonction
dérivable du temps, notée $i$. Ë la date $t = 0$ l'intensité est nulle.

Au cours de l'établissement du courant, la fonction $i$ est solution de
l'équation différentielle :

\[Li' + Ri = E\]

 \emph{Valeurs numériques :} Dans toute la suite, on prend $R = 5,~ L = 
\dfrac{1}{2},~ E =  3$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déduire des questions précédentes l'expression 
de $i(t)$ pour $t \geqslant 0$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} i(t)$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice \no  15 (enseignement obligatoire)}

\medskip
	
Soit I l'intervalle [0 ; 1]. On considère la fonction $f$ définie sur I 
par $f(x) = \dfrac{3x +2}{x+4}$.
	
\medskip
	
\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $f$ et en déduire que, pour tout $x$
élément de I, $f(x)$ appartient  I.
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par

\[u_{0} = 0\quad  \text{et} \quad u_{n +1} = \dfrac{3u_{n}+2}{u_{n} + 
4}.\]

 Montrer que, pour tout $n,~ u_{n}$ appartient  I.

 On se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par deux méthodes différentes.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

 \textbf{Première méthode :}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter graphiquement $f$ dans un repère orthonormal
d'unité graphique 10 cm.
\item En utilisant le graphique précédent, placer les points 
A$_{0}$,~ A$_{1}$,~ A$_{2}$ et A$_{3}$ d'ordonnée
nulle et d'abscisses respectives $u_{0},~ u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.

Que suggère le graphique concernant le sens de variation de $\left(u_{n}\right)$
et sa convergence ?
\item Établir la relation $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{\left(1 - 
u_{n}\right)\left(u_{n}+2\right)}{u_{n + 4}}$ et en déduire le sens de variation
de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
\item Prouver que la limite $l$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ 
vérifie $l = f(l)$ et calculer $l$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Deuxième méthode :}

\medskip

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par $v_{n} = 
\dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Prouver que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique
de raison $\dfrac{2}{5}$.
\item Calculer $v_{0}$ et exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $v_{n}$, puis en fonction de $n$.
\item En déduire la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ et sa limite.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  16 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Dans l'espace muni du repère orthonormal   \Oijk, on considère les points :

\[\text{A}(2~;~0~;~0),\quad \text{B}(-1~;~\sqrt{3}~;~0) \text{et~ 
C}(-1~;~\sqrt{3}~;0)\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Placer sur une figure les points A, B et C dans le plan  \Oij.
\item Montrer que le triangle ABC est équilatéral et que O est son centre.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace équidistants
des points A et B.
		\item Déterminer l'ensemble des points $N$ de l'espace équidistants des points B et C.
		\item En déduire que l'ensemble des points $P$ de l'espace équidistants des points
A, B et C est l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{k}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un unique point D dont la troisième coordonnée
est positive tel que le tétraèdre ABCD soit régulier et calculer ses coordonnées.
\item Soit $M$ un point quelconque du segment [CD]. On 
pose $\vect{\text{C}M}	= \lambda 
\vect{\text{CD}}$ avec $\lambda \in  [0~;~1]$.		
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\cos \widehat{\text{A}M\text{B}} = 
\dfrac{2\lambda ^2 -2\lambda +1}{2(\lambda^2 - \lambda + 1)}$.
		
On définit une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ par la relation

\[f(\lambda) = \dfrac{2\lambda ^2 -2\lambda +1}{2(\lambda^2 - \lambda + 
1)} = 1 - \dfrac{1}{2(\lambda^2 - \lambda + 1)}\]

		\item Étudier les variations de la fonction $f$.
		\item En déduire la position de $M$ pour laquelle l'angle 
$\widehat{\text{A}M\text{B}}$  est maximum.
\item Quelle est la valeur de ce maximum ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  17 (spécialité)}

\medskip

\vspace{0,8cm}

 \textbf{PARTIE I}

 \parbox[c]{0.5\textwidth}{Soit ABC un triangle rectangle en B, direct : 
$\left(\vect{\text{BC}},~\vect{\text{BA}}\right) = 
\dfrac{\pi}{2}.$

Soit E un point du segment [AB]. Par le point E on mène une droite d qui coupe le segment [AC]
en un point F et la droite (BC) en un point G (voir figure ci-contre).

 Les points E, F, G sont distincts des sommets A, B, C.

} \hfill
 \parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(-1,0)(4.5,3)
\psline(0,0)(4.5,0)
\psline(2.2,0)(2.2,3)
\psline(4.5,0)(2.2,3)
\psline(4.5,1.5)(-0.5,-0.2)
\uput[d](0,0){G} \uput[d](2.2,0){B} \uput[d](4.5,0){C} 
\uput[ur](3.7,1.2){F} \uput[l](2.2,3){A} \uput[dr](2.2,0.7){E} 
\end{pspicture}}

\bigskip

Le cercle $\Gamma$ circonscrit au triangle ABC et le cercle 
$\Gamma '$ circonscrit au triangle BEG se coupent en deux points distincts 
B et K. 

\begin{enumerate} 
\item Justifier l'existence d'une similitude plane directe $S$ telle que $S$(A) = C et
$S$(E) = G.

Déterminer l'angle de $S$.
\item Soit $\Omega$ le centre de $S$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\Omega$ appartient aux cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$.
		\item Prouver que $\Omega$ est différent de B.
		\item Que peut-on en déduire pour $\Omega$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,8cm}

\textbf{ PARTIE II}

\mefdlip

Le plan complexe est rapporté  un repère orthonormal direct 
\Ouv{} d'unité graphique 2 cm.

Les affixes respectives des points A, B, C, E, F et G sont données par :

\[ z_{\text{A}} = 2 + 4 \text{i},~ z_{\text{B}} = -1 - 2\text{i}, 
z_{\text{C}}= 3 -4\text{i},~ z_{\text{E}} = 0,~ z_{\text{F}} = \dfrac{5}{2},~ 
z_{\text{G}} = - 5.\]

On admettra que le point F est le point d'intersection du segment [AC] et de la droite (GE) 
et que les conditions de la \textbf{partie I} sont vérifiées.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Placer ces points sur une figure et,  l'aide des résultats de la partie I,
construire le point $\Omega$, centre de la similitude $S$.
\item Soit $S'$ la similitude plane directe telle que 
$S'$(A) = E et $S'$(C) = G. Déterminer l'écriture complexe de $S'$ et déterminer l'affixe du centre 
$\Omega '$ de $S'$.
\item Montrer que les points $\Omega$ et $\Omega '$ sont confondus.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice \no 18 (enseignement obligatoire)}

\medskip

On sait tous qu'il y a des années à coccinelles et d'autres sans !

On se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles  l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique $f$ définie par $f(x) = kx(1 - x),~ k$ étant un paramètre qui dépend de l'environnement $(k \in \R)$.

Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur 
un million. L'effectif des coccinelles, exprimé en millions d'individus, est approché
pour l'année $n$ par un nombre réel $u_{n}$, avec $u_{n}$ compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l'année zéro il y a $300\:000$ coccinelles, on prendra $u_{0} = 0,3$.

On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la 
relation $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right),~ f$ étant la fonction définie ci-dessus.

Le but de l'exercice est d'étudier le comportement de la 
suite $\left(u_{n}\right)$ pour différentes valeurs de la population initiale $u_{0}$
et du paramètre $k$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que si la suite $\left(u_{n}\right)$ converge, alors sa
limite $l$ vérifie la relation $f(l) = l$.
\item Supposons $u_{0} = 0,4$ et $k = 1$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n,~ 0 
\leqslant u_{n} \leqslant 1$.
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Si oui, 
quelle est sa limite ?
		\item Que peut-on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles
avec ces hypothèses ?		
	\end{enumerate}
\item Supposons maintenant $u_{0} = 0,3$ et $k = 1,8$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~ 1]$ et montrer que
$f\left(\dfrac{1}{2}\right) \in  \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$.

		\item En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence,

\begin{itemize}
\item montrer que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} 
\leqslant  \dfrac{1}{2}$
\item établir que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} \geqslant  u_{n}$.
\end{itemize}
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Si oui, quelle
est sa limite ?
		\item	Que peut-on dire de l'évolution  long terme de la population de coccinelles 
avec ces hypothèses ?
	\end{enumerate}
\item On a représenté sur les feuilles annexes la fonction $f$ dans les
deux cas étudiés ci-dessus ainsi que la droite d'équation $y = x$. Le troisième graphique
correspond au cas où $u_{0} = 0,8$ et $k = 3,2$.

 Illustrer sur les deux premiers graphiques les résultats trouvés 
en \textbf{1.} et \textbf{2.} en laissant les traits de construction et en faisant
apparaître en abscisse les valeurs successives 
$u_{0},~u_{1},~u_{2},~\ldots$

 En utilisant la même méthode, formuler une conjecture sur l'évolution de la
population dans le troisième cas.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuilles annexes}
\end{center}

\boldmath $1^{\text{er}}$ \unboldmath \textbf{cas :} $u_{0} = 
0,4$ et $k = 1$.

\begin{center}
\psset{unit=8cm}\begin{pspicture}(1.1,1.1)
\psline{->}(0,0)(1.1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1.1)
\psline(0,0)(1.1,1.1)
\psplot{0}{1}{1 x sub x mul}
\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.24)
\uput[d](0.4,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
 \boldmath $2^{\text{e}}$ \unboldmath \textbf{cas :} $u_{0} = 
0,3$ et $k = 1,8$.

\begin{center}
\psset{unit=8cm}\begin{pspicture}(1.1,1.1)
\psline{->}(0,0)(1.1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1.1)
\psline(0,0)(1.1,1.1)
\psplot{0}{1}{1 x sub x mul 1.8 mul}
\psline[linestyle=dotted](0.3,0)(0.3,0.378)
\uput[d](0.3,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\boldmath $3^{\text{e}}$ \unboldmath \textbf{cas :} $u_{0} = 
0,8$ et $k = 3,2$.

\begin{center}
 \psset{unit=8cm}\begin{pspicture}(1.1,1.1)
\psline{->}(0,0)(1.1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1.1)
\psline(0,0)(1.1,1.1)
\psplot{0}{1}{1 x sub x mul 3.2 mul}
\psline[linestyle=dotted](0.8,0)(0.8,0.512)
\uput[d](0.8,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}   
\end{center}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  19 (enseignement obligatoire)}

\medskip

 \parbox[l]{0.70\textwidth}{Soit ABCDEFGH un cube de côté 1.
On choisit le repère orthonormal 
$\left(\text{A}~;~\vect{\imath}~;~\vect{\jmath}~;
~\vect{k}\right)$ avec $\vect{\imath} = 
\vect{\text{AB}},~\vect{\jmath} = \vect{\text{AD}}$
et $\vect{k} =  \vect{\text{AE}}$.

On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments
[BC], [CD], [DH], [HE], [EF] et [FB].}\hfill
 \parbox[c]{0.25\textwidth}{\begin{pspicture}(3,3)
\psframe(0,0)(2.2,2.2)
\psline(0,2.2)(0.6,3)(2.8,3)(2.8,1)(2.2,0)
\psline(2.2,2.2)(2.8,3)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0.6,1)(2.8,1)
\psline[linestyle=dotted](0.6,3)(0.6,1)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.2,0){B} \uput[r](2.8,1){C} \uput[l](0.6,1){D} 
\uput[l](0,2.2){E} \uput[r](2.2,2.2){F} \uput[r](2.8,3){G} \uput[l](0.6,3){H} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées des points I, K, M.

\item Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires,
dans un plan que l'on notera $\mathcal{P}$ (on donnera une équation du plan $\mathcal{P}$
dans le repère choisi).

\item Montrer que le vecteur 
$\vect{\text{AG}}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
\item Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N
sur la droite (AG) sont confondus en un même point. On appellera T ce point.

Déterminer la position du point T sur le segment [AG].

\item Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont
on précisera le centre et le rayon, et que tous ses côtés ont même longueur.
\item On considère la pyramide ayant pour base cet 
hexagone et pour sommet le point G.

Quelle fraction du volume du cube représente le volume de cette 
pyramide ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no  20 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Les questions sont indépendantes. II est demandé de justifier toutes les réponses
fournies.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans chacun des cas suivants, proposer une 
fonction $f$ qui vérifie les propriétés données.

On donnera l'expression de $f(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = a\text{e}^{2x} + 
b\text{e}^{x} + c$, la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$ et 
l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions, $0$ et $\ln 2$.
		\item $f$ est définie sur $]0~;~ + \infty[,~ f(2) = 4$ et, pour tout $x$ et tout $y$
réels strictement positifs, 

$f(xy) = f(x) + f(y)$.
		\item $f$ est une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et la valeur
moyenne de $f$ sur $[-2~;~2]$ est $0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ une fonction définie et dérivable, de 
dérivée $g'$ continue sur $[-1~;~ 1]$. La courbe représentative de $g$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,2) 
\psline{->}(-1.1,0)(1.1,0)
\psline{->}(0,-1)(0,2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1}{x 1 sub x mul}
\uput[d](1,0){1} \uput[d](-1,0){-1}
\uput[l](0,1){1}  \uput[l](0,2){2}  
\end{pspicture}
\end{center}

Les affirmations suivantes sont-elles cohérentes avec le schéma:
	\begin{enumerate} 
		\item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x= 0$~ ?
		\item $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x \geqslant - 
\dfrac{1}{2}$~ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\newpage \textbf{ Exercice \no 21 (enseignement obligatoire)}

\medskip

 Cet exercice se présente comme un questionnaire à choix multiples 
(QCM). Les quatre questions posées sont indépendantes.

 Pour chaque question il y a deux conclusions correctes. Le candidat doit
cocher \textbf{au plus deux cases} (celles qu'il juge correctes). 
Aucune justification n'est demandée.

À chaque question est affecté 
un certain nombre de points. Chaque réponse exacte rapporte la moitié des 
points affectés ; chaque réponse fausse enlève le quart des points 
affectés. Cocher trois cases ou plus à une question, ou n'en cocher 
qu'une, rapporte zéro point  cette question.

Si, par application de ce barème, le total des points de 
l'exercice est négatif, il est ramené  zéro.

On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~
\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ qui vérifient la propriété 
suivante :

\begin{center} \og Pour tout entier naturel~ $n$~ strictement positif :~ 
$\left(u_{n}\right) \leqslant \left(v_{n}\right) \leqslant	
\left(w_{n}\right)$~\fg. \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Si la suite $\left(v_{n}\right)$ tend vers $- \infty$, alors :
	
$\Box~$ La suite $\left(w_{n}\right)$ tend vers $- \infty$

$\Box~$ la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée 

$\Box~$ la suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers $- \infty$

$\Box~$ la suite $\left(w_{n}\right)$ n'a pas de limite.

\item Si $\left(u_{n}\right) \geqslant 1,~\left(w_{n}\right) =
2\left(u_{n}\right)$ et $\lim \left(u_{n}\right) = l$, alors

$\Box~$ $\lim  \left(v_{n}\right) = l$

$\Box~$ La suite $\left(w_{n}\right)$ tend vers $+ \infty$

$\Box~$ $\lim (w_{n} - u_{n})= l$ 

$\Box~$ On ne sait pas dire si la suite $\left(v_{n}\right)$ a une limite ou non.

\item Si $\displaystyle\lim \left(u_{n}\right) = - 2$ et $\displaystyle\lim 
\left(w_{n}\right) = 2$, alors :

$\Box~$ La suite $\left(v_{n}\right)$ est majorée

$\Box~$ $\lim \left(v_{n}\right) = 0$

$\Box~$ la suite $\left(v_{n}\right)$ n'a pas de limite

$\Box~$ On ne sait pas dire si la suite $\left(v_{n}\right)$ a une limite ou non.

\item Si $u_{n} =	\dfrac{2n^2-1}{n^2}$ et  $w_{n} = 
\dfrac{2n^2+3}{n^2}$	alors :

$\Box~ \lim \left(w_{n}\right) = 0$

$\Box~ \lim \left(v_{n}\right) = 2$ 

$\Box~  \lim \left(u_{n}\right) = 2$ 

$\Box~$ la suite $\left(v_{n}\right)$ n'a pas de limite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 22 (enseignement obligatoire)}

\medskip

\textbf{ Partie A}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur 
l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \sqrt{x} \text{e}^{1 - x}.\]

 On note $\mathcal{C}$ la  courbe representative de $f$ dans le plan rapporté  un
repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$
(on pourra pour cela justifier et exploiter l'écriture pour 
tout $x$ réel strictement positif : $\left.~ f(x) = \dfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times
\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item Démontrer que $f$ est dérivable sur $]0~;~+ 
\infty[$ puis calculer $f'(x)$.
\item Déduire des questions précédentes le tableau de variation 
de $f$.
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ (unité graphique : 2 cm). On admettra que
$\mathcal{C}$ est tangente en O à l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier 
naturel $n$ non nul par : $u_{n} =\displaystyle\int_{n}^{n+1}\: 
f(t)\:\text{d}t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Interpréter géométriquement $u_{n}$.
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non 
nul : $f(n +1) \leqslant  u_{n} \leqslant f(n)$.
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
\item Prouver la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie C}

\medskip

On considère la fonction numérique $F$ de la variable réelle $x$ définie 
sur $[1~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = \displaystyle\int_{0}^x\:f(t)\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $F$ est dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ et 
calculer $F'(x)$.
		\item En déduire le sens de variations de $F$.		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout réel $t$ positif : $t + 
2 \geqslant  2\sqrt{2}\sqrt{t}$.
		\item En déduire que pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ :

\[F(x) \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:
\text{d}t.\]

		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout 
$x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$ :

\[ \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:\text{d}t = 3\text{e} - 
(x + 3)\text{e}^{1-x}.\]

		\item En déduire que pour tout $x$ appartenant à $[1~;~+ 
\infty[~ :~ 0 \leqslant  F(x) \leqslant \sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\item On note, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
$S_{n}$ la somme des $n-1$ premiers termes de la
suite $\left(u_{n}\right)$. Exprimer $S_{n}$  l'aide d'une intégrale.
 
Montrer que la suite $\left(S_{n}\right)$ converge et
donner un encadrement de sa limite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 23 (enseignement obligatoire)}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur $a$ ($a$ réel strictement positif).

Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).

\vspace{0,8cm}

\parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,4)
\psframe(0,0)(3,3)
\psline[linestyle=dotted](3.7,1.3)(0.7,1.3)(0.7,4.3)(0,0)(0.7,1.3)
\psline(0,3)(0.7,4.3)(3,3)(3.7,4.3)(0.7,4.3)
\psline(3,0)(3.7,1.3)(3.7,4.3)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[r](3.7,1.3){C} \uput[ul](0.7,1.3){D} 
\uput[ul](0,3){E} \uput[r](3,3){F} \uput[r](3.7,4.3){G} \uput[ul](0.7,4.3){H} 
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox[c]{0.63\textwidth}{\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $a$, les produits scalaires
suivants :

$\vect{\text{EA}} \cdot 
\vect{\text{AF}},~\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AF}},~
\vect{\text{BC}} \cdot \vect{\text{AF}}$.
\item En déduire que les vecteurs $\vect{\text{EC}}$ et $\vect{\text{AF}}$ sont orthogonaux.

On admettra de même que les vecteurs $\vect{\text{EC}}$ et $\vect{\text{AH}}$ sont orthogonaux.
\item En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur 
le plan (AFH).
\end{enumerate}}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les résultats suivants: les droites (AF) et (EH) sont
orthogonales, ainsi que les droites (AF) et (EI).
		\item En déduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite (HI).
		\item Établir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI).
	\end{enumerate}
 \textbf{5.} Que représente le point I pour le triangle AFH ?
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{ Exercice \no  24 (enseignement obligatoire)}

\medskip

L'espace est rapporté  un repère orthonormal \Oijk.

On considère les points A, B, C et S de coordonnées 
respectives :

\[\text{A}(- 1~;~ 0~;~ 1) \quad  \text{B}(1~;~ 4~;~ -1) \quad  
\text{C}(3~;~-4~;~-3) \quad  \text{S}(4~;~0~;~4)\]

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{SO}}$ est orthogonal aux vecteurs 
$\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que O est le barycentre des points A, B, C affectés de coefficients que l'on déterminera.
		\item En déduire que O est situé dans le triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item Calculer le volume V du tétraèdre SABC.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 25 (enseignement obligatoire)}

\medskip

On se propose d'étudier les fonctions $f$ dérivables sur $[0~;~ + \infty[$ vérifiant la condition

\[(1) \quad\left\{\begin{array}{l}
\text{pour tout} \:  x \in [0~;~ + \infty[,~ f(x)f'(x) = 1\\
f(0) = 1\\
\end{array}\right.\]

\smallskip

\textbf{Partie A}

On suppose qu'il existe une fonction $f$ qui vérifie (1).

 La méthode d'\textsc{euler} permet de construire une suite de points 
$\left(M_{n}\right)$ proches de la courbe représentative de la fonction $f$.
On choisit le pas $h = 0,1$.

On admet que les coordonnées $\left(x_{n},~ y_{n}\right)$ des 
points $M_{n}$ obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas 
vérifient :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x_{0} & = & 0\\
y_{0} & = & 1\\
\end{array}\right. \qquad 
\left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1} & = & x_{n} + 0,1\\
y_{n+1} & = & y_{n} + \dfrac{0,1}{y_{n}}\\
\end{array} \right. \quad \text{pour tout entier naturel}\: n\]

Calculer les coordonnées des points M$_{1}$,~ M$_{2}$,~ 
M$_{3}$,~ M$_{4}$,~ M$_{5}$ (on arrondira au millième les valeurs trouvées).

\medskip

\textbf{Partie B}

On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement 
positive sur $[0~;~ + \infty[$.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que si la fonction $f$ vérifie (1) 
alors $f$ ne s'annule pas sur $[0~;~+ \infty[$.

\item On suppose que la fonction $f$ vérifie la condition (1) et qu'il
existe un réel $a$ strictement positif tel que $f(a) < 0$.

 En déduire que l'équation $f (x) = 0$ admet au 
moins une solution dans l'intervalle $[0~;~a]$.

\item Conclure.

\end{enumerate}

 \textbf{ Partie C}

 \textbf{Existence et unicité de la fonction} \boldmath $f$ 
\unboldmath.

\begin{enumerate} \item Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer
une primitive de la fonction $uu'$ sur cet intervalle.

\item En déduire que si $f$ est telle que,

\[\text{pour tout} \quad x \in [0, + \infty[,~ f(x)f'(x) = 1,\]

 alors il existe une constante $C$ telle que :

\[\text{pour tout} \quad x \in [0, + \infty[, \left[f(x)\right]^2 = 2x + 
C.\]

\item On rappelle que $f(0) = 1$. Déterminer l'expression 
de $f(x)$ pour $x$ réel positif.

\item  En déduire les valeurs arrondies au millième de 
$f(0,1),~ f(0,2),~ f(0,3),~ f(0,4),~f(0,5)$, puis les comparer avec les valeurs
obtenues par la méthode d'\textsc{euler}.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  26 (spécialité)}

\medskip

\textit{Cet exercice, trop long pour un exercice de spécialité, est présenté dans son 
intégralité pour respecter sa cohérence ainsi que le travail de l'auteur.}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels 
que $7u - 13v = 1$.
		\item En déduire deux entiers relatifs $u_{0}$ et $v_{0}$ tels que 
$14u_{0} - 26y_{0} =  4$.
		\item Déterminer tous les couples $(a,~ k)$ d'entiers relatifs tels que 
$14a - 26k = 4$.
	\end{enumerate}
\item On considère deux entiers naturels $a$ et $b$. Pour tout entier $n$,
on note $\phi (n)$ le reste de la division euclidienne de $an + b$ par 26.

On décide de coder un message, en procédant comme suit :

À chaque lettre de l'alphabet on associe un entier compris entre $O$ 
	et $25$, selon le tableau :
	
\begin{center}\begin{tabular}{|l | c |c |c |c |c |c |c |c |c |c |c |c 
|c |}\hline	
Lettre& A	&B	& C &D 	&E 	&F 	&G 	&H	&I	&J	&K	&L	&M\\ \hline
Nombre&0	&1	&2	& 3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10&11	&12\\ \hline\hline
Lettre&N	& O	&P	&Q	&R	&S	&T	&U	&V	&W	&X	&Y	&Z\\ \hline
Nombre& 13	& 14&15	&16	&17	&18	&19	&20	&21	&22	&23	& 24&25\\ \hline
\end{tabular}\end{center}

Pour chaque lettre $a$ du message, on détermine l'entier $n$ associé puis on calcule
$\phi(n)$. La lettre $a$ est alors codée par la lettre associée  $\phi(n)$.

On ne connaît pas les entiers $a$ et $b$ mais on sait que 
la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O.

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont tels que : 
$\left\{ \begin{array}{l c l}
5a + b& \equiv &	10 \quad \text{modulo}~ 26\\
19a + b& \equiv &	14 \quad \text{modulo}~ 26\\
\end{array}\right.$
		\item En déduire qu'il existe un entier $k$ tel que $14a - 26k = 4$.

\item Déterminer tous les couples d'entiers $(a,~ b)$, avec 
$0 \leqslant a  \leqslant 25$ et $0 \leqslant b \leqslant 25$, tels que  
	
$\left\{\begin{array}{l c l}
5a + b& \equiv &	10 \quad \text{modulo}~ 26\\
19a + b& \equiv &	14 \quad \text{modulo}~ 26\\
\end{array}\right.$
	\end{enumerate}
\item On suppose que $a = 17$ et $b=3$.
	\begin{enumerate} 
		\item	Coder le message \og GAUSS \fg.
		\item Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels quelconques. Montrer 
que, si $\phi(n) = \phi(p)$, alors $17(n-p) \equiv 0 \quad $ modulo 26.
	
En déduire que deux lettres distinctes de l'alphabet sont codées par
deux lettres distinctes.
	\end{enumerate}
\item On suppose que $a = 17$ et $b = 3$.
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $n$ un entier naturel. Calculer
le reste de la division euclidienne de $23\phi(n) + 9- n$ par 26. 
		\item En déduire un procédé de décodage.
		\item En déduire le décodage du message \og KTGZDO \fg.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  27 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Un quincaillier achète des ampoules  trois fournisseurs dans les proportions 
suivantes : $20\:\%$ au premier fournisseur, $50\:\%$ au deuxième fournisseur 
et $30\:\%$ au troisième fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique $97\:\%$ d'ampoules sans défaut, le 
deuxième fournisseur fabrique $98\:\%$ d'ampoules sans défaut, le troisième fournisseur
fabrique $95\:\%$ d'ampoules sans défaut.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note D 
l'évènement \og l'ampoule est défectueuse \fg, F$_{1}$ l'évènement \og l'ampoule provient
du premier fournisseur \fg, F$_{2}$ l'évènement \og l'ampoule provient du deuxième fournisseur \fg
et F$_{3}$ l'évènement \og l'ampoule provient du troisième fournisseur \fg.

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement D, notée $P$(D).
		\item Sachant que l'ampoule choisie est défectueuse, quelle est la 
probabilité $P_{\text{D}}\left(\text{F}_{1}\right)$  qu'elle provienne du premier fournisseur ?

Donner la valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de 
$P_{\text{D}}\left(\text{F}_{1}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que la probabilité qu'une ampoule soit sans défaut est
de 0,969.

On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité $R$ qu'une ampoule au plus soit défectueuse.

On donnera une valeur approchée  $10^{-3}$ près de $R$.
\item La durée de vie en heures d'une ampoule, notée $T$, suit une loi
de durée de vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre 
$\lambda = \dfrac{1}{ 50\:000}	=  2.10^{-5}$.

 Selon cette loi, pour tout $x$ de $[0,~ + \infty[,~ P(T 
\leqslant  x) = \displaystyle\int_{0}^x \lambda \text{e}^{-\lambda 
t}\:\text{d}t$.

	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité $P_{1}$ qu'une ampoule dure plus 
de \np{25000} heures ?

Donner la valeur exacte de $P_{1}$.	
		\item Quelle est la probabilité $P_{2}$ qu'une ampoule dure plus de 
50\:000 heures ?

Donner la valeur exacte de $P_{2}$.
\item Quelle est la probabilité $P_{3}$ qu'une ampoule dure plus de 50\:000 heures, sachant qu'elle a déjà duré  \np{25000} heures ? Donner la valeur exacte de $P_{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice \no  28 (enseignement obligatoire)}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ PREMIÈRE PARTIE}

\medskip

On note j le nombre complexe $\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer les propriétés suivantes de j :
	\begin{enumerate}
		\item j $=- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		\item j$^3 = 1$. 
		\item $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. 	
		\item $- \text{j}^2 = \text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{3}}$.	
	\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal direct du plan, on considère les
points $M,~ N,~ P$ d'affixes respectives $m,~ n,~ p$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, si le triangle $MNP$ est équilatéral
direct, alors 

$m - n = - \text{j}^2 (p - n)$. 

\item Établir la propriété suivante :

Le triangle $MNP$ est équilatéral direct si, et seulement si, $m + n\text{j} + 
p\text{j}^2 = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip

\parbox[c]{0.45\textwidth}{On considère un cercle du plan de
centre O et des points A, B, C, D,
E, F de ce cercle tels que les angles 
$\left(\vect{\text{OA}} ,~\vect{\text{OB}}\right),~ \left(\vect{\text{OC}} ,~\vect{\text{OD}}\right), \left(\vect{\text{OE}} 
,~\vect{\text{OF}}\right)$ aient la même mesure $\dfrac{\pi}{3}$. Soit M, N, P et	N  les milieux respectifs des cordes [BC], [DE], [FA].

Montrer que le triangle MNP est équilatéral direct.} \hfill
\parbox[c]{0.5\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\pscircle(0,0){3.5}
\uput[dr](2.1,-2.8){A} \uput[r](3.45,0.3){B} \uput[ur](1.2,1.8){M} 
\uput[u](-1,3.3){C} \uput[ul](-3.4,0.8){D} 
\uput[l](-3.3,0){N} \uput[l](-3.3,-0.8){E} \uput[dl](-0.95,-3.3){F} 
\uput[ur](0.525,-3.05){P} \uput[ur](0,0){O} 
\psline(3.45,0.3)(0,0)(-1,3.3)(-3.4,0.8)(0,0)(-3.3,-0.8)(-0.95,-3.3)(0,0)(2.1,-2.8)(3.45,0.3)
\psline(1.2,1.8)(-3.3,0)(0.525,-3.05)(1.2,1.8)
\psline[linestyle=dotted](3.45,0.3)(-1,3.3)
\psline[linestyle=dotted](-3.4,0.8)(-3.3,-0.8)
\psline[linestyle=dotted](2.1,-2.8)(-0.95,-3.3)
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{Exercice \no  29 (spécialité)}

\medskip

\textbf{Des nombres étranges !}

Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; \ldots  sont des nombres que l'on appelle rep-units
(répétition de l'unité). Ils ne s'écrivent qu'avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de
nombreuses propriétés qui passionnent les mathématiciens.

Cet exercice propose d'en découvrir quelques unes.

Pour $k$ entier strictement positif, on note $N_{k}$ le rep-unit qui s'écrit à 
l'aide de $k$ chiffres 1. Ainsi N$_{1} = 1~ ;~\text{N}_{2} =  11~ 
;~\text{N}_{3} = 111~ ;~ \cdots$.

\begin{enumerate} 
\item	Citer deux nombres premiers inférieurs  10 n'apparaissant jamais
dans la décomposition d'un rep-unit.

Justifier brièvement la réponse.
\item À quelle condition sur $k$ le nombre 3 apparat-il dans la
décomposition du rep-unit $N_{k}$ ? Justifier brièvement la réponse.
\item	Pour $k \geqslant 1$, le rep-unit $N_{k}$ est défini 
par $N_{k} = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=k-1}  10^i =  1 + 10 + 10^2 + 
10^3 + \cdots + 10^{k-1}$.

 Justifier l'égalité : $9N_{k} = 10k - 1$ pour tout entier $k 
\geqslant 1$.
\item Le tableau ci-dessous donne les restes de la division 
par 7 de $10^k$, pour $k$ entier compris entre 1 et 8.

\[\begin{array}{|c |c |c |c |c |c |c |c |c |}\hline
k&	~1~&~ 2~&~ 3~&~ 4~&~ 5~&~ 6~&~ 7~&~8~\\ \hline
\text{Reste de la division de}~ 10^k~ \text{par}~  7 :& 3& 2& 6& 4& 5& 1& 3& 2\\ \hline
\end{array}\]

Soit $k$ un entier ($k \geqslant 1$). Démontrer que ; 

\begin{center} \og~$10^k \equiv 1 \quad (7)$~\fg{}~ équivaut  \og~ $k$~ 
est multiple de 6 \fg.\end{center}

 En déduire que 7 divise $N_{k}$ si et  seulement si $k$ est multiple de 6.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice \no  30 (spécialité)}

\medskip

\textbf{Des nombres étranges !}

Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; \ldots  sont des nombres que l'on appelle rep-units
(répétition de l'unité). Ils ne s'écrivent qu'avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de
nombreuses propriétés qui passionnent les mathématiciens.

 Cet exercice propose d'en découvrir quelques unes.

 Pour $k$ entier strictement positif, on note $N_{k}$ le rep-unit qui s'écrit  
l'aide de $k$ chiffres 1. 

Ainsi N$_{1} = 1~ ;~\text{N}_{2} =  11~ 
;~\text{N}_{3} = 111~ ;~ \cdots$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	Citer deux nombres premiers inférieurs  10 n'apparaissant jamais
dans la décomposition d'un rep-unit.

 Justifier brièvement la réponse.
\item Donner la décomposition en facteurs premiers de 
N$_{3}$,~N$_{4}$ et N$_{5}$.
\item	Soit $n$ un entier strictement supérieur  1. 
On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre 1.	
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, dans son écriture décimale, $n$ se termine 
lui-même par 1 ou par 9.
		\item Montrer qu'il existe un entier $m$ tel que $n$ s'écrive 
sous la forme $10m + 1$ ou $10m - 1$ 
		\item En déduire que $n^2 \equiv 1 \quad (20)$.
\end{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate} 
		\item Soit $k \geqslant 2$. Quel est le reste de 
la division de $N_{k}$ par 20 ?
		\item En déduire qu'un rep-unit distinct de 1 n'est pas un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Exercice \no  31 (enseignement obligatoire)}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal  \Oijk. On étudie le 
tétraèdre OABC, où les points A, B et C sont définis par leurs coordonnées : 
A(0~;~0~;~2), B$\left(\sqrt{3}~;~1~;~0\right)$ et C$\left(\sqrt{3}~;~-1~;~ 0\right)$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A. Géométrie analytique dans un tétraèdre}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure représentant le repère et le tétraèdre.
		\item Déterminer la nature géométrique et calculer les dimensions de chacune des faces du tétraèdre.
	\end{enumerate}
 \item On considère le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées
$\left(2~;~ 0~;~\sqrt{3}\right)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{u}$ est normal au plan (ABC).
		\item En déduire une équation du plan (ABC).		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie B. Étude d'une section plane}

\medskip

Soit J le milieu de l'arête [BC]. Le point $N$ est un point mobile du segment [OJ].
On appelle (P) le plan passant par le point $N$ et orthogonal à la droite (OJ).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On pose $t$ = O$N$. Vérifier que $t$ appartient  l'intervalle
$\left[0~;~\sqrt{3}\right]$.
\item On se propose de déterminer la nature de la section plane du
tétraèdre OABC par le plan (P). Le plan (P) coupe :

\begin{itemize}
\item l'arête [OC] au point $R$ ;
\item l'arête [AC] au point $S$ ;
\item l'arête [AB] au point $T$ ;
\item l'arête [OBI au point $U$.
\end{itemize}

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que les droites ($ST$), (BC) et ($RU$) sont parallèles. Démontrer que les droites ($RS$), (OA) et ($TU$) sont parallèles.
		\item Démontrer que le quadrilatère $RSTU$ est un rectangle.
		\item Déterminer avec soin les dimensions du rectangle $RSTU$ en fonction du nombre réel $t$ (on précisera en particulier les différents triangles dans lesquels sont menés les calculs).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $S(t)$ l'aire de la section plane définie 
 la question \textbf{B. 2.}

 Démontrer que $S(t) = \dfrac{4}{3}t\left(\sqrt{3} - t\right)$.
		\item Étudier les variations de la fonction $S$, définie sur l'intervalle
$\left[0~;~ \sqrt{3}\right]$ par $S(t)$.
		\item Pour quelle valeur du nombre réel $t$ l'aire 
$S(t)$ est-elle maximale ?

Quelle est alors la nature géométrique particulière de la section plane
étudiée ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On rappelle que le volume $V$ du tétraèdre OABC est égal à 
l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}} S(t)\: \text{d}t$.

 Calculer V par cette méthode.
		\item Calculer $V$ en utilisant l'aire d'une face et la hauteur
correspondante du tétraèdre.
		\item Vérifier la cohérence des deux résultats.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}