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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
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\begin{document}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Métropole}
\lfoot{\small{F11 F11$'$}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI F11 F11$'$ Métropole 
juin 2002~\decofourright} \end{center}

\begin{center}\textbf{Calculatrice autorisée}

\textbf{Durée : 2 heures \hspace{2cm} Coefficient : 2}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 8 points}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par 

\[f(x) = x^2 \cdot \text{e}^{-x} \quad  \text{et} \quad g(x) = x \cdot 
\text{e}^{-x} \quad \left(\text{On rappelle que}~ \text{e}^{-x} = 
\dfrac{1}{\text{e}^x}\right).\] 
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unités graphiques
 $4$~cm. On désigne par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes
 représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans ce repère.
 
La courbe $\mathcal{C}_g$  est tracée sur la feuille annexe
 qu'il faudra compléter et rendre avec la copie.
 
\bigskip
 
\textbf{I. Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ au voisinage de
 $- \infty$. 
\item On admet que la limite de la fonction $f$ au voisinage de
 $+\infty$ est égale à 0. Interpréter graphiquement ce résultat. 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Calculer $f'(x)$ et montrer que la fonction $f$ a le même signe que 
$2x - x^2$. 
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le
 tableau de variation de la fonction $f$.
\item Sur la feuille annexe, tracer la courbe $\mathcal{C}_f$
 dans le même repère.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{II. Étude des positions relatives des courbes \boldmath $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.\unboldmath} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Calculer les coordonnées des points d'intersection des
 courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\item Déterminer graphiquement sur quels intervalles la courbe $\mathcal{C}_g$ est située  au-dessus la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = 4 \ln x - x + 2.\]

\medskip

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal 
\Oij{}  d'unité graphique $1$~cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$.

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
		\item Montrer que $f(x) = x \left( 4 \dfrac{\ln x}{x} - 1 + 
\dfrac{2}{x}\right)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$.

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. (On rappelle que 
$\displaystyle\lim_{x  \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$).
	\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$  pour tout $x \in  ]0 ~;~ + \infty[$.  
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$ et établir
 le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$.
 	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item	Déterminer la valeur exacte de $f(2)$ et de 
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ en fonction de $\ln 2$.
		\item Déterminer la valeur exacte de $f(\text{e})$ et de $f(\text{e}^2)$
 en fonction de  e. 
		\item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = - x - 2$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
(On donnera des valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près.)

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	& 0,5	&1	&2	&3	&4	&5 &7	&11&17 \\ \hline
$f(x)$	& 		&   &  	&  	&  	&  	&   &   &  \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij
\item Dans le même repère, tracer la droite $\mathcal{D}$
 d'équation $y = - x - 2$.

Comment peut-on graphiquement retrouver le résultat de la question 
\textbf{3. c.} ?
\item On considère la fonction $F$ définie sur
 l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  par
 \[F(x) = 4x \ln x - 2x -  \dfrac{x^2}{2}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~ ;~ + \infty[$.
		\item Calculer I = $\displaystyle\int_1^2 f(x)\: \text{d}x$. En donner la valeur exacte en fonction de $\ln 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} \textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} \end{center}

\psset{unit=4cm}
\rotateright{
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(4,2)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabelcolor=white]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,0)(4,0)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.8}{4}{x 2.71828  x exp div}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.5,0.375)(1.5,0.375)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[ul](0,0){O} 
\uput[u](3,0.2){\blue$\mathcal{C}_{g}$}
\end{pspicture}}
\end{document}