\documentclass[10pt]{article}
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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalaur\'eat  L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{\textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat L France septembre 
2002 \decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}Dur\'ee de l'\'epreuve : 3 heures  \end{center}
    
 \vspace{0,5cm}   

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1 obligatoire}\hfill 8 points}

\vspace{0,3cm}

\noindent \parbox[c]{0.55\textwidth}{Une entreprise souhaite fabriquer,
 pour de jeunes enfants, des toboggans dont le profil a l'allure de la courbe
 ci-contre.} \hfill
\parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psline(-0.5,0)(3.5,0) \psline(0,-0.5)(0,2.5)
\psplot{0}{3}{4  27 div x mul x dup mul mul 2 3 div x dup mul mul sub 2 add}  
\uput[l](0,2){2} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){0} 
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} \uput[d](3,0){3}
\psline(0,1)(0.15,1) \psline(1,0)(1,0.15)
\psline(2,0)(2,0.15) \psline(3,0)(3,0.15) 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

Le plan est muni d'un rep\`ere orthonormal \Oij. On prendra 3 cm pour
 unit\'e graphique.

\noindent L'objet de l'exercice est de mod\'eliser ce profil \`a l'aide de la courbe
 repr\'esen\-ta\-tive $\mathcal{C}$ d'une fonction d\'efinie sur l'intervalle [0 ; 3]
 v\'erifiant les conditions suivantes : 

(1) La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0 ; 2) et B(3 ; 0) ;

(2) La courbe $\mathcal{C}$ admet en chacun des points A et B une tangente parall\`ele
 \`a l'axe des abscisses.
 
\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{\gray Partie I}

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur 
l'intervalle $\R$ par :

\[ f(x) = - \cfrac{2}{3}x^2 + 2.\]

\noindent \'Etudier les variations de la fonction $f$ (on ne demande pas l'\'etude
 des limites).

\item Soit $g$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $\R$ par :

\[g(x) = \cfrac{1}{3} x^2 - 2x + 3.\]

\noindent \'Etudier les variations de la fonction $g$ (on ne demande pas l'\'etude
 des limites).
 
\end{enumerate}

\item On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et 
$\mathcal{C}_{g}$ les courbes repr\'esentatives des fonctions $f$ et $g$. 

\begin{enumerate} \item D\'emontrer que $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ passent par le point 
K $\left(1~;~\cfrac{4}{3}\right)$ et ont la m\^eme tangente T en ce point.

\item Tracer sur un m\^eme graphique, la droite T, la partie de 
$\mathcal{C}_{f}$
 correspondant aux points d'abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie de 
$\mathcal{C}_{g}$ correspondant aux points d'abscisses comprises entre 1 et 3.

\textit{La courbe obtenue en r\'eunissant les deux parties de courbes est une r\'eponse
 au probl\`eme pos\'e.}
 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{\gray Partie II}

Le bureau d'\'etudes a \'etabli que l'on pouvait \'egalement mod\'eliser le profil du 
toboggan \`a l'aide d'une partie de la courbe repr\'esentative $\mathcal{C}_{h}$ de la
 fonction $h$, d\'efinie sur $\R$ par :

\[h(x) = \cfrac{4}{27}x^3 -  \cfrac{2}{3}x^2 + 2.\]

\begin{enumerate} \item D\'emontrer que la fonction $h$ v\'erifie les conditions (1)
 et (2). 

\item D\'eterminer les coordonn\'ees du point de $\mathcal{C}_{h}$
 d'abscisse 1 et le coefficient directeur de la tangente en ce point.
 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}   

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2 obligatoire}\hfill  7 points}

\vspace{0,3cm}

Alice et Carole comparent leurs salaires. Elles d\'ebutent chacune avec un salaire de
1\:500 euros.

\noindent Chaque mois, \`a partir du deuxi\`eme mois :

$\bullet$ Le salaire d'Alice augmente de 8 euros.

$\bullet$ Le salaire de Carole augmente de 0,2\:\% et on y ajoute 4 euros.

\noindent Pour tout entier naturel $n$, on d\'esigne par $a_{n}$, le salaire mensuel
en euros que per\c{c}oit Alice \`a la fin du $(n+ 1)$-i\`eme mois, et par $c_{n}$, celui
per\c{c}u par Carole. Ainsi :

\noindent $a_{0} = c_{0} = 1\:500~ ;~ a_{1}$, et $c_{1}$ repr\'esentent les salaires
per\c{c}us \`a la fin du deuxi\`eme mois.

\begin{enumerate} \item Calculer $a_{1}$ et $c_{1},~ a_{2}$ et 
$c_{2}$.

\item  \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, 
exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$. Quelle est la nature de la 
suite $(a_{n})$ ?

\item En d\'eduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression 
de $a_{n}$, en fonction de $n$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel 
$n$ :

\[c_{n+1} = 1,002c_{n} + 4.\]

\item On consid\`ere la suite $(v_{n})$ telle que, pour tout entier 
naturel $n,~ v_{n} = c_{n} + 2\:000$.

D\'emontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite g\'eom\'etrique de raison 1,002. Calculer
$v_{0}$ et, pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction 
de $n$. En d\'eduire que :

\[c_{n} =  3\:500 \times 1,002^n - 2\:000.\]

\end{enumerate}

\item Calculer, puis comparer les salaires annuels qu'Alice
et Carole ont per\c{c}us au cours de leur premi\`ere ann\'ee de travail.

\end{enumerate}

\noindent \textbf{Rappel}

\noindent Si $q$ est un r\'eel diff\'erent de 1 et $n$ un entier naturel sup\'erieur \`a 2,

\[1 + q  + q^2 + \cdots + q^n = \cfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]


\[\text{et} \qquad 1 + 2 + \cdots + n = \cfrac{n(n + 1)}{2}.\]
		

\vspace{1cm}

\begin{center}\textbf{Le candidat traitera au choix l'exercice 3 ou l'exercice 
4} \end{center}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3 au choix} \hfill 5 points}

\vspace{0,3cm}

Une agence de voyages de Paris organise des circuits touristiques comprenant les
sites suivants : le mus\'ee d'Orsay, le mus\'ee du Louvre, le mus\'ee Gr\'evin, l'Arc de
Triomphe, la tour Eiffel, l'Assembl\'ee nationale.

\begin{enumerate} \item L'agence propose \`a ses clients un forfait pour la visite
de quatre sites parmi les six cit\'es.

\begin{enumerate} \item Quel est le nombre de choix possibles si on ne tient pas compte de l'ordre
des visites ?

\item Combien de ces choix comprennent \`a la fois la visite de la 
tour Eiffel et celle du mus\'ee d'Orsay ?

\end{enumerate}

\item Une \'etude statistique a permis d'observer que 
55\:\% des clients de l'agence sont des femmes et 45\:\% des hommes. De plus, parmi
ces clients, 30\:\% des hommes et 20\:\% des femmes visitent l'Assembl\'ee nationale.

\noindent On choisit au hasard un client. On note F l'\'ev\`enement \og le client est une
femme \fg{}, H l'\'ev\`enement \og le client est un homme \fg{}, A l'\'ev\`enement \og le client visite
l'Assembl\'ee nationale \fg{} et $\overline{\text{A}}$ l'\'ev\`enement contraire 
de A : \og le client ne visite pas l'Assembl\'ee nationale \fg{}.

\begin{enumerate} \item D'apr\`es les informations de l'\'enonc\'e,
pr\'eciser les probabilit\'es $p$(F), $p$(H), $p_{\text{H}}$(A), 
$p_{\text{F}}$(A).\\
\item Reproduire et compl\'eter l'arbre de probabilit\'e ci-contre.\\
En d\'eduire la valeur de $p$(A).

\begin{center}\pstree[linecolor=red,treemode=R]{\TR{}}
{
  \pstree{\TR{F}}
  {
  \TR{A}
  \TR{$\overline{\text{A}}$} 
  }
  \pstree{\TR{H}}
  {
  \TR{A} 
  \TR{$\overline{\text{A}}$}
  }
}
\end{center}

\item Quelle est la probabilit\'e que le client soit un homme sachant qu'il
ne visite pas l'Assembl\'ee nationale ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4 au choix} \hfill 5 points}

\vspace{0,3cm}

Le $1\textsuperscript{er}$ ao\^ut 2002 sera un jeudi. Le but du probl\`eme est de d\'eterminer les
ann\'ees comprises entre 2003 et 2029 pour lesquelles le $1^{\text{er}}$ ao\^ut tombera
aussi un jeudi.

\noindent Pour ces ann\'ees, une ann\'ee bissextile est une ann\'ee dont le mill\'esime est
divisible par 4. On rappelle qu'une ann\'ee non bissextile compte 365 jours et une ann\'ee
bissextile 366 jours.

\begin{enumerate} \item Donner la liste des ann\'ees bissextiles comprises entre
2003 et 2029.

\item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que l'on a : $365 \equiv 1$ (modulo 7) et
$366 \equiv 2$ (modulo 7).

\item Prouver que le $1\textsuperscript{er}$ ao\^ut 2003 sera un vendredi et le 
$1^{\text{er}}$ ao\^ut 2004 un dimanche.

\item Pr\'eciser le jour de la semaine correspondant au $1\textsuperscript{er}$ ao\^ut
de chacune des ann\'ees de 2005 \`a 2013.

\end{enumerate}

\item Donner la liste des ann\'ees de 2003 \`a 2029 pour lesquelles
le $1\textsuperscript{er}$ ao\^ut sera un jeudi.

\end{enumerate}

\end{document}