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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole juin 2005~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 3 points}

\medskip

Arthur et Wilson sont deux jumeaux qui ont l'habitude de communiquer à l'aide de messages codés. Ils réalisent toujours leur cryptage de la façon suivante :

Chaque lettre de l'alphabet munie de son numéro d'ordre $n$ est remplacée par la lettre de l'alphabet munie du numéro d'ordre $p~ (1 \leqslant p \leqslant 26)$ obtenu à l'aide de la formule

\[p \equiv 3\times n + 7\quad  (\text{modulo}~ 26).\]

Par exemple la forme cryptée de L est Q car $3\times 12 + 7 = 43$ et $43 \equiv  17\quad  (\text{modulo}~26)$.

\begin{enumerate}
\item Compléter la table de cryptage donnée sur la feuille annexe à rendre avec la copie (aucune justification n'est demandée).
\item Arthur a envoyé le message suivant à Wilson : MIJUZ CZRI OJ IVRLLHOV.

Retrouver la forme décryptée du message.

\item Wilson désire lui répondre : MERCI.

Donner la forme cryptée de ce message.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 5 points}

\medskip

On rappelle que le nombre d'or noté $\Phi$  est tel que $\Phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

On appelle rectangle d'or tout rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d'or.

Soit ABCD un carré. On considère :

$\bullet~$ le milieu I du segment [DC],

$\bullet~$ le cercle $\mathcal{C}$ de centre l et de rayon [lA],

$\bullet~$ le point d'intersection E de la demi-droite [DC) et du cercle $\mathcal{C}$,

$\bullet~$ le point F tel que AFED soit un rectangle.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Compléter la figure donnée sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
\item Exprimer DI en fonction de AD.
\item Montrer que IA$^2 = \dfrac{5}{4}\text{AD}^2$, et en déduire l'expression de IE en fonction de AD.
\item Déduire des deux questions précédentes que DE $= \Phi \cdot$  AD, et que le rectangle AFED est un rectangle d'or.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 obligatoire} \hfill 6 points}

\medskip

Soit la fonction $t$ définie sur $\R$ par $t(x) =4x^2 - 5x +1.$ 

\begin{enumerate} 
\item  Montrer que, pour tout réel $x,~ t(x) = (4x - 1)(x - 1)$. En déduire le signe de $t(x)$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = x(2x -5) + \ln x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et la limite de $f$ en $0$.
		\item Déterminer $f'(x)$ et vérifier que $f '(x) = \dfrac{t(x)}{x}$.
		\item En déduire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 obligatoire} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, on donnera les résultats arrondis à}\: $10^{-4}$.

\emph{Les résultats d'une enquête concernant les véhicules circulant en France montrent que :}

$\bullet~$ 88\,\% des véhicules contrôlés ont des freins en bon état ;

$\bullet~$ parmi les véhicules contrôlés ayant des freins en bon état, 92\,\% ont un éclairage en bon état ;

$\bullet~$ parmi les véhicules contrôlés ayant des freins défectueux, 80\,\% ont un éclairage en bon état.

On choisit au hasard un des véhicules concernés par l'enquête. Il y a équiprobabilité des choix. 

On note F l'évènement \og le véhicule contrôlé a des freins en bon état \fg.

On note E l'évènement \og le véhicule contrôlé a un éclairage en bon état \fg.
 
$\overline{\text{E}}$ et $\overline{\text{F}}$ désignent les évènements contraires de E et de F.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Décrire cette situation à l'aide d'un arbre.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité $P\left(\overline{\text{F}}\right)$ de l'évènement $\overline{\text{F}}$.
		\item Quelle est la probabilité $P_{\overline{\text{F}}}\left(\overline{\text{E}}\right)$, probabilité que l'éclairage ne soit pas en bon état, sachant que les freins ne sont pas en bon état. 
		\item Montrer que la probabilité $P(\text{E}~\cap~\text{F})$ de l'évènement E~$\cap$~F est égale à 0,809\,6. 
		\item Quelle est la probabilité pour que le véhicule ait un éclairage en bon état ?

Tout conducteur d'un véhicule concerné par l'enquête ayant des freins ou un éclairage défectueux, doit faire réparer son véhicule. Calculer la probabilité pour qu'un conducteur ait des réparations à effectuer sur ses freins ou son éclairage.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1}

\end{center}

Table de cryptage à compléter :

\begin{center}\begin{tabular}{|*{14}{c|}}\hline
lettre &A 	&B 	&C 	&D 	&E 	&F 	&G &H 	&I 	&J 	&K 	&L 		&M\\ \hline
$n$		&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12		&13\\ \hline
$p$		&10	& 	& 	&	&	&	&	&	&	&	&	& 17 	& \\ \hline
forme 	& 	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&		&\\
cryptée & J & 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& Q		&\\ \hline\hline
lettre 	& N	& O &P 	&Q 	& R & S & T & U & V & W & X & Y  	& Z\\ \hline
$n$ 	& 14&15	&16	&17	&18	&19	&20	&21	&22	&23	&24	&25		&26\\ \hline
$p$ 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&  	& 	& 1 & 		& \\ \hline
forme 	& 	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&		&\\
cryptée & 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& A & 		& \\ \hline \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

 \end{center}
 
 Figure à compléter :
 
\begin{pspicture}(12,5)
\psline(0,0)(11.7,0)
\psframe(0,0)(4.4,4.4)
\uput[dl](0,0){D}  \uput[ul](0,4.4){A}  \uput[ur](4.4,4.4){B}  \uput[dr](4.4,0){C} 
\end{pspicture}  
\end{document} 