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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\rhead{\small Bac L \'Epreuve facultative}%tapez un titre
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat
 s\'erie L France juin 2003 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Dur\'ee de l'\'epreuve : 3 heures}

\textbf{Le candidat doit traiter TROIS exercices : le 1, le 2 
\textbf{et} le 3 \textbf{ou} le 4} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1 obligatoire}  \hfill 7 points}

Un fabricant de bo\^ites en carton dispose, pour sa fabrication, de rouleaux donnant une bande de
 carton de 32 cm de large dans laquelle il trace et d\'ecoupe les patrons des bo\^ites avant de les
 coller. Il dispose ses patrons de la mani\`ere indiqu\'ee dans le dessin ci-dessous

\begin{center}\begin{pspicture}(13,8)
\psline(13,0)(0,0)(0,7.7)(13,7.7)
\psline{<->}(11.3,0)(11.3,7.7)
\rput{90}(11,3.8){32}
\uput[l]{90}(0,0.1){1}
\uput[l]{90}(0,7.5){1}
\psframe[linewidth=2pt](0,0.3)(1.7,7.4)  
\psline[linewidth=2pt](0,1.9)(1.7,1.9)
\psline[linewidth=2pt](0,5.7)(1.7,5.7) 
\psline[linewidth=2pt](3.3,1.9)(3.3,5.7)  
\psline[linewidth=2pt](4.9,1.9)(4.9,5.7) 
\psframe[linewidth=2pt](1.7,1.9)(6.5,5.7)
\psline(0,7.4)(0.3,7.7)(1.4,7.7)(1.7,7.4)(2,7.1)(2,6)(1.7,5.7)
\psline(0,0.3)(0.3,0)(1.3,0)(1.6,0.3)(1.9,0.6)(1.9,1.6)(1.6,1.9)
\psline(6.5,5.7)(7.1,5.5) \psline(6.5,1.9)(7.1,2.1)
\uput[l](0,0.9){$x$}  \uput[l](0,3.6){$y$}  \uput[l](0,6.6){$x$} 
\psframe[linewidth=2pt](7.1,0.3)(8.7,7.4) 
\psline[linewidth=2pt](7.1,1.9)(8.8,1.9)
\psline[linewidth=2pt](7.1,5.7)(8.8,5.7)
\psline[linewidth=2pt](8.7,1.9)(8.7,5.7)
\psframe[linewidth=2pt](7.1,1.9)(11.9,5.7)
\psline[linewidth=2pt](11.9,1.9)(12.2,1.9) \psline[linewidth=2pt](11.9,5.7)(12.2,5.7) 
\psline(7.1,7.4)(7.4,7.7)(8.4,7.7)(8.7,7.4)(9,7.1)(9,6)(8.7,5.7)
\psline(7.1,0.3)(7.4,0)(8.4,0)(8.7,0.3)(9,0.6)(9,1.6)(8.7,1.9)
\psline[linewidth=2pt](10.3,1.9)(10.3,5.7)
 \end{pspicture}\end{center}

Les bo\^ites, en forme de pav\'es droits, comportent deux faces carr\'ees de $x$ cm de c\^ot\'e, munies de deux languettes de 1 cm de large pour le collage, et quatre autres faces dont les dimensions en cm sont $x$ et $y$, ainsi qu'un rabat pour la fermeture.

\begin{enumerate} \item Le fabricant utilise toute la largeur de la bande de carton. On a donc $y = 30 - 2x$.

\begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi on a n\'ecessairement : $0 < x < 15$.

\item D\'emontrer que le volume $V$ en cm$^3$, de la bo\^ite est donn\'e par la formule 

\[V = 30x^2 - 2x^3.\]

\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle [0 ; 15] 
par : $f(x) = 30x^2 - 2x^3$.

\begin{enumerate} \item D\'eterminer la fonction d\'eriv\'ee $f'$ de $f$ et \'etudier le signe 
de $f'(x)$ sur l'intervalle [0 ; 15].

\item En d\'eduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur cet
intervalle.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Reproduire et compl\'eter le tableau de valeurs :

\[\begin{array}{|*{10}{c|}}\hline
x& 1& 2& 4 & 6& 8& 10& 12& 14 & 15\\ \hline
f(x)& & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}\]

\item Tracer la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ dans un plan muni d'un rep\`ere orthogonal.
 On prendra 1 cm comme unit\'e en abscisses et 1 cm pour 100 cm$^3$ en
 ordonn\'ees.
 
\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate} \item Pour quelle valeur de $x$, le volume $V$ est-il maximum ? Quelle est alors
 la valeur de ce volume ? Quelle particularit\'e pr\'esente la bo\^ite dans ce cas-l\`a ?

\item Le fabricant veut que la bo\^ite obtenue ait un volume de 500 
cm$^3$ et que $x$ soit inf\'erieur \`a 10.

D\'eterminer, \`a l'aide du graphique, la valeur de $x$ qu'il doit choisir.

V\'erifier par le calcul puis calculer la valeur de $y$ correspondante.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points}

Le but de l'exercice est l'\'etude de la d\'esint\'egration du carbone 14, corps radioactif, et de son
 utilisation pour la datation des fossiles ou des squelettes.
 
\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{\gray Partie A}

Soit $N_0$ le nombre d'atomes de carbone 14 \`a l'instant $t = 0$ ;

Soit $N_1$ le nombre d'atomes de carbone 14 un si\`ecle apr\`es ;

Soit $N_k$ le nombre d'atomes de carbone 14 apr\`es $k$ si\`ecles , $k$ entier 
naturel.

\noindent On sait que le nombre d'atomes de carbone 14 diminue tr\`es lentement au cours du temps, d'environ 1,24\:\% par si\`ecle.

\begin{enumerate} \item Justifier que la suite $(N_k)$ est une suite g\'eom\'etrique 
de raison $0,987\:6$

\item Exprimer $N_k$ en fonction de $N_0$ et de l'entier $k$.

\item Quelle est la limite de la suite $(N_k)$ ? Justifier.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{\gray Partie B}

Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l'atmosph\`ere du carbone 14, qui s'y
 d\'esint\`egre tr\`es lentement, ce qui fait que le taux de carbone 14 dans l'atmosph\`ere de 
la terre est constant.

Durant leur vie, les tissus animaux et v\'eg\'etaux contiennent la m\^eme proportion de carbone 14
 que l'atmosph\`ere ; \`a leur mort, l'assimilation en carbone 14 cesse et celui-ci se d\'esint\`egre
 dans les conditions vues dans la \textbf{partie A}.

\begin{enumerate} \item Un squelette d'homme pr\'ehistorique contient 5\:\% du carbone 14 initial.
 Justifier que l'on peut estimer son \^age \`a 24\:000 ans.

\item On admet que l'on peut ainsi estimer l'\^age des fossiles qui contiennent
 au moins 1\:\% du carbone 14 initial. En utilisant des propri\'et\'es de la fonction logarithme
 n\'ep\'erien, d\'eterminer l'\^age maximum que l'on peut calculer.
 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3 au choix} \hfill 7 points} 

Toutes les constructions demand\'ees seront effectu\'ees sur la feuille annexe. On
 laissera apparents les traits de construction

\noindent Le segment [AB] a pour longueur l'unit\'e.

\begin{enumerate} \item Construire, \`a la r\`egle et au compas :

\begin{enumerate} \item le milieu I du segment [AB],

\item la perpendiculaire $\mathcal{D}$ \`a la droite (AB) passant par B.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Construire un point C de la droite $\mathcal{D}$ tel que BC = BI.

\item Calculer AC.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Construire les points D et M suivants :

- D est le point d'intersection du segment [AC] avec le cercle de centre C passant par B.

- M est le point d'intersection du segment [AB] avec le cercle de centre A passant par D.

\item Calculer AD et v\'erifier que AM$^2$ = AB $\times$ MB.

\item Justifier que : $\cfrac{2}{\sqrt{5} - 1} = \cfrac{1 + 
\sqrt{5}}{2}$. Ce nombre est appel\'e nombre d'or et not\'e $\Phi$.

\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que 
$\cfrac{\text{AB}}{\text{AM}} = \Phi$ puis que	$\cfrac{\text{AM}}
{\text{AB}} = \Phi$.

\end{enumerate}

\item On rappelle qu'un rectangle d'or est un rectangle dont 
le rapport $\cfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}}$  est \'egal \`a $\Phi$.

En utilisant les questions pr\'ec\'edentes, construire, \`a la r\`egle et au compas, des points
 E et F tels que ABEF soit un rectangle d'or. Expliquer votre d\'emarche.
 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4 au choix} \hfill 7 points}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie A} 

\begin{enumerate} \item D\'eterminer les 20 diviseurs positifs de 240.

\item Dans le tableau ci-dessous, parmi ces 20 entiers rang\'es dans l'ordre
 croissant, on a coch\'e les multiples de 10.
 
\end{enumerate}

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{|*{21}{c|}}\hline
diviseurs &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\
de 240&&&&&&&&10&&&&20&&30& 40&&60& 80& 120& 240\\ \hline
multiples&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
de 10&&&&&&&&	
$\times$&&&&$\times$&&$\times$&$\times$&&$\times$&$\times$&$\times$&$\times$\\ 
\hline
multiples&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
de 2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline
multiples&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
de 5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabular}\end{center}}

\noindent Reproduire et compl\'eter le tableau, en cochant les multiples de 2 
et de 5.

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie B}

On \'etudie l'\'epreuve al\'eatoire qui consiste \`a tirer au hasard un nombre parmi les 20 diviseurs de 240.

\begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'e de tirer le nombre 2 ? le nombre 7?

\item On consid\`ere les \'ev\`enements suivants :

A : \og On tire un multiple de 10 \fg{},
 
B : \og On tire un multiple de 2 \fg{},

C : \og On tire un multiple de 5 \fg{}.

\noindent D\'eterminer les probabilit\'es $p$(A), $p$(B) et $p$(C) des \'ev\`enements A, B, C.

\item On refait cette \'epreuve al\'eatoire quatre fois de suite dans les m\^emes conditions.

\begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'e de tirer 4 fois de suite un multiple de 10 ?

\item Quelle est la probabilit\'e de ne jamais tirer un multiple de 10 ?

\item Quelle est la probabilit\'e de tirer au moins une fois un multiple de 10 ?

\item Pour tout naturel n compris entre 1 et 4, on note A$_n$ l'\'ev\`enement :

\og Obtenir un multiple de 10 pour la premi\`ere fois au $n$-i\`eme tirage \fg{}.

Calculer les probabilit\'es $p(\text{A}_2),~ p(\text{A}_3)$ et $p(\text{A}_4)$ 
des \'ev\`enements A$_2$, A$_3$, A$_4$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}