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%Tapuscrit : René Roux
%Relecture :  Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center}
\textbf{\Large GROUPEMENT D'ÉCOLES D'INGÉNIEURS PUBLIQUES À PARCOURS INTÉGRÉ}\\
ISAT  ESIREM  POLYTECH Nice-Sophia  POLYTECH Orléans
EEIGM  ENSGSI  ESSTIN  TELECOM Lille 1  ISEL
ISTIA  ISTASE  ISTV  Sup GALILÉE

\medskip

29 avril 2025

Ce livret comporte les énoncés des sujets et 6 feuilles « Document réponses ».

\section*{Instructions}

Vous devez traiter :

\begin{itemize}
	\item Le sujet de Mathématiques QCM  
	\textbf{ET}  
	\item 2 sujets au choix parmi les spécialités : Mathématiques, Physique-Chimie, Sciences de la Vie et de la Terre/Biologie-écologie, Numérique et Sciences informatiques, Sciences de l'Ingénieur  
\end{itemize}

Nous vous conseillons de répartir les 3h d'épreuves entre :
\begin{itemize}
	\item le sujet de Mathématiques QCM (1h)
	\item les 2 sujets de spécialité choisis (2 × 1h)
\end{itemize}

\section*{Consignes}

Vous devez :
\begin{itemize}
	\item Lire et appliquer les consignes listées sur les documents réponses
	\item Écrire vos réponses dans les cadres prédéfinis
	\item Traiter tous les exercices des sujets choisis
\end{itemize}

L'usage d'une calculatrice, d'un téléphone ou de tout objet communicant est interdit. Aucun document n'est autorisé.
\newpage

\medskip

\textbf{\Large MATHÉMATIQUES QCM (40 points)}
\end{center}

Pour chaque Exercice, plusieurs affirmations sont proposées. Pour chaque affirmation, vous direz si elle est vraie ou fausse en cochant la réponse choisie sur la feuille des réponses.

Aucune justification n'est demandée

Une réponse fausse sera pénalisée par des points négatifs

Pour chaque exercice, le total des points obtenus ne peut être strictement négatif.

Les exercices sont tous indépendants.

\section*{Première partie - Calculs}

\subsection*{Exercice I}

\begin{enumerate}[label=\textbf{I-\Alph* -}]

\item $\dfrac{(\sqrt8)^2 \times (\sqrt3)^5}{6^3\times \sqrt6\times (\sqrt2)^{-5}} = \dfrac{4}{3}$

\medskip

\item $ \dfrac{8^{10}-4^{10}}{10^{10}-8^{10}} = 2^{10}$
\medskip

\item $ 2 + \dfrac{4}{1 - \dfrac{3}{2-\dfrac52}} = \dfrac{3}{2}$
\medskip

\item Pour tout entier naturel $ n $ et tout réel $ a $ non nul, $ \dfrac{(a^n)^2}{\dfrac{a^n + a^n}{2}} = a^n$
\medskip

\item Pour tout réel $ a $ supérieur ou égal à 1, $ \left(\sqrt{a - \sqrt{a}} + \sqrt{a + \sqrt{a}} \right)^2 = 2a $
\medskip

\item $ \ln\left(10^5\right) - \ln\left(10^3\right) - \ln(0,01) = 2 \ln(100) $
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice II}

\begin{enumerate}[label=\textbf{II-\Alph* -}]

\item Soit $m$ un nombre réel.

L'équation $ x^2 + (m + 1)x + 1 = 0 $, d'inconnue $ x $, n'admet pas de solution réelle si et seulement si $ m \in [-3~;~1]$.
\item Soit $ m $ un nombre réel strictement inférieur à 2.

L'ensemble $ S $ des solutions réelles de l'inéquation $ \dfrac{x - m}{m - 2} > 3 $, d'inconnue $ x $, est \\
$ S = ]4m - 6~; +\infty[$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice III}

Soient $x$ et $y$ deux réels non nuls.

\begin{enumerate}[label=\textbf{III-\Alph* -}]

\item \qquad  Si $x \leqslant 2y $, alors $ x^2 \leqslant 2xy $.


\item \qquad  Si $x \leqslant 2y $, alors $ 2x \leqslant x + 2y $.


\item \qquad  Si $x \leqslant 2y $, alors $ x^2 \leqslant 4y^2 $.
\end{enumerate}

\section*{Deuxième partie - Fonctions}

\section*{Exercice IV}

Soient $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $f(x) = \dfrac{\e^x-1}{\e^x+1} $ et $ \mathcal{C}_f $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}[label=\textbf{IV-\Alph* -}]
	\item $ \mathcal{C}_f $ admet une asymptote d'équation $y = 1$.
	\item $ \mathcal{C}_f $ admet une asymptote d'équation $y = -1$.
	\item $ \mathcal{C}_f $ admet une asymptote d'équation $x = 1$.
	\item $ f $ est décroissante sur $ \mathbb{R} $.
	\item Pour tout réel $ x $, $ f(-x) = \dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}$.
\end{enumerate}

\section*{Troisième partie - Suites numériques}

\subsection*{Exercice V}

Si $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ est une suite telle que $|u_n - 1| \leqslant \dfrac{1}{n} $ pour tout entier naturel $ n $ non nul, alors

\begin{enumerate}[label=\textbf{V-\Alph* -}]
	\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, $-1 - \dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant -1 + \dfrac{1}{n} $.
	\item $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ est majorée par $2$.
	\item $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ est minorée par $0$.
	\item $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge vers $0$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice VI}

On dispose des grains de riz sur les 64 cases d'un échiquier : un sur la première case et on double la quantité à chaque case suivante.

\begin{enumerate}[label=\textbf{VI-\Alph* -}]
	\item Le nombre de grains de riz placés sur la dernière case est $ 2^{63}$.
	\item Le nombre total de grains de riz placés sur l'échiquier est $ 2^{64} - 1$.
\end{enumerate}

\section*{Quatrième partie - Géométrie dans le plan}

\subsection*{Exercice VII}

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ de coordonnées respectives :

\[\vect{u}\begin{pmatrix} -3 + \sqrt6\\ \sqrt3 + 3\sqrt2 \end{pmatrix}
 \quad \text{et} \quad \vect{v}\begin{pmatrix} -3\\ 3\sqrt2 \end{pmatrix}
\]

\begin{enumerate}[label=\textbf{VII-\Alph* -}]
	\item $ \vect{u} \cdot \vect{v} = 27$.
	\item $ \left\|\vect{u}\right\| = 2\sqrt{6}$.
	\item $ \left\|\vect{v}\right\| = 27$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice VIII}

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points $A, B$ et $C$ tels que :

\[
AB = \sqrt{3} - 1, \quad \vect{AB} \cdot \vect{AC} = 2 \quad \text{et} \quad \cos\left(\widehat{BAC}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\begin{enumerate}[label=\textbf{VIII-\Alph* -}]
	\item $ AC = \sqrt{6} + \sqrt{2}$.
	\item Une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est $30\degres$.
\end{enumerate}

\section*{Mathématiques Spécialité - EXERCICE I (14 points)}

\subsection*{Partie A}

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $g(x) = 2x^3 + \ln(x) - 2$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{I-\arabic* -}]
	\item Compléter le tableau des variations de la fonction $g$ en faisant apparaître les limites en 0 et en $ +\infty $.

Aucune justification n'est attendue.

\item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique. On note $\alpha$ cette solution.

	\item Compléter le tableau de signe de la fonction $g$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x) = \dfrac{x^3 + 1 - \ln(x)}{x} $.

\begin{enumerate}[label=\textbf{I-\arabic* -},resume]
	%\setcounter{enumi}{3}
	\item Pour tout $x > 0$, exprimer $f'(x)$ en fonction de $g(x)$, où $g$ est la fonction de la première partie.

Détailler le calcul.
	\item
	\begin{enumerate}

	\item Déterminer $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$. Justifier la réponse.

	\item Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}
	\item Compléter le tableau des variations de la fonction $f$, en faisant apparaître les réels $\alpha$, $f(\alpha)$ et les limites obtenues. Les valeurs de $\alpha $, $f(\alpha)$ ne sont pas demandées.
\end{enumerate}

\section*{Mathématiques Spécialité - EXERCICE II (14 points)}

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vect{i}, \vect{j}, \vect{k})$. On considère les points $ A $, $ B $ et $ C $ de coordonnées respectives : $A(1~;~2~;~3)$, $B(-3~;~0~;~1)$ et $C(0~;~0~;~4)$.

\subsection*{Partie A - Questions préliminaires}

\begin{enumerate}[label=\textbf{II-\arabic* -}]
	\item Donner les coordonnées des vecteurs $ \vect{AB} $ et $ \vect{AC} $.
	\item Calculer $AB$. Détailler le calcul. Donner la réponse sous la forme $ a\sqrt{b} $, où $ b$ est un entier le plus petit possible.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}[label=\textbf{II-\arabic* -},resume]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
		\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $ (ABC) $ est $x - y - z + 4 = 0 $.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées du point $ I $ milieu du segment $[AB]$.
		\item En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $ I $ et orthogonal à la droite $ (AB) $. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les plans $\mathcal{P}$ et $ (ABC) $ sont sécants selon une droite $D$.
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la droite $D$. Aucune justification n'est attendue.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 On considère la sphère $ S $ de centre $ I $ et de diamètre $[AB]$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{II-\arabic* -},resume]	
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de $S$. Aucune justification n'est attendue.
		\item Justifier que le point $C$ appartient à $S$.
		\item Justifier que le triangle $ABC$ est rectangle en C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Mathématiques Spécialité - EXERCICE III (12 points)}

On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.

Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre 6 lors d'un lancer est égale à $\dfrac12$.

Pour chaque dé non pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre 6 lors d'un lancer est égale à $\dfrac16$.

\section*{Partie A - Un seul lancer}

Dans cette partie, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.

On tire un dé au hasard parmi les 100 dés et on lance ce dé.

On note :
\begin{itemize}
	\item $T$ l'évènement : \og le dé choisi est pipé \fg{} ;
	\item $A_1$ l'évènement : \og on obtient un 6 lors du lancer \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}[label=\textbf{III-\arabic* -}]
	\item Donner $P(T)$, $P\left(\overline{T}\right)$, $P_T(A_1)$ et $P_{\overline{T}}(A_1)$.
	\item Calculer $P(A_1)$, justifier et détailler le calcul.
	\item Calculer $P_{A_1}(T)$, justifier et détailler le calcul.
\end{enumerate}

\section*{Partie B - $n$ lancers indépendants}

Dans cette partie, $n$ est un entier naturel non nul.

On choisit un dé au hasard parmi les 100 dés puis on le lance $n$ fois. On considère que les $n$ lancers sont indépendants.

On note $A_n$ l'évènement : \og on n'obtient que des 6 lors des $n$ lancers \fg.

\begin{enumerate}[label=\textbf{II-\arabic* -},resume]
	\item Exprimer $P_T(A_n)$, $P_{\overline{T}}(A_n)$ et $P(A_n)$ en fonction de $n$. Aucune justification n'est attendue.
	
	\item Déterminer la valeur du nombre réel $a > 1$ tel que :

\[P_{A_n}(T) = \frac{a^n}{a^n + 3}\]

Aucune justification n'est attendue.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[label=\textbf{III-\arabic*-}, leftmargin=*]
\setcounter{enumi}{3}
\item Déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} P_{A_n}(T)$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}