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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Sujet aimablement fourni par Roland Thiers
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  S}
\lfoot{\small{Métropole groupe 2 bis}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S groupe 2 bis\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes, Nantes, Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg} juin 1997~\decofourright\\}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules
sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On effectue quatre tirages successifs d'une boule sans remise.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre une boule noire, une
boule noire, une boule noire et une boule blanche.
		\item Calculer la probabilité de tirer une boule blanche au cours de ces
quatre tirages.
	\end{enumerate}
\item On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec
remise. Répondre aux mêmes questions qu'à la question 1.
\item $n$ étant un nombre entier strictement positif, on effectue $n$
tirages successifs avec remise. On appelle $P_{n}$ la probabilité
d'obtenir au cours de ces $n$ tirages une boule blanche uniquement au dernier tirage.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ et $P_{n}$.
		\item Soit $S_{n}= P_{1} + P_{2} + P_{3} + \cdots + P_{n}$.
		
Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de $S_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 (obligatoire)} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère
orthonormal direct \Ouv, (unité graphique 3~cm).

On désigne par A le point d'affixe $i$.

À tout point $M$ du plan, distinct de A, d'affixe $z$, on associe le
point $M'$ d'affixe $z'$ défini par :

\index{Affixe}
\[
z' =\frac{z^{2}}{\text{i} - z}
\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les points $M$ confondus avec leur image $M'$.

\item Étant donné un complexe $z$ distinct de i, on pose : $z= x + \text{i}y $
et $z'=x'+ \text{i}y'$, avec $x, y, x', y'$
réels.

Montrer que :

\[
x' = \frac{-x\left(x^{2}+y^{2}-2y\right)}{x^{2}+(1 - y)^{2}}
\]
En déduire l'ensemble $\mathcal{E}$ des points M dont l'image $M'$
est située sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner l'ensemble
$\mathcal{E}$.
\item  Trouver une relation simple liant les longueurs O$M$, A$M$ et O$M'$. En déduire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ du plan tels que $M$ et
$M'$ soient situés sur un même cercle de centre O. Dessiner l'ensemble $\mathcal{F}$.
\item  Dans toute cette question, on considère un point $M$ d'affixe $z$,
situé sur le cercle de centre A et de rayon ${\dfrac{1}{2}}$.
$M'$ est le point d'affixe $z'$ correspondant, et G
l'isobarycentre des points A, $M$ et $M'$.

Calculer l'affixe $z_{G}$ de G en fonction de $z$.

Montrer que G est situé sur un cercle un centre O dont on
précisera le rayon. Après avoir comparé les angles 
$\left(\vect{u},~\vect{\text{OG}}\right)$ et 
$\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$, effectuer la construction
de G. En déduire celle de $M'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2 (spécialité)} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe P est muni du repère orthonormal direct \Ouv. On fera une figure, à compléter au fur et à mesure des questions. On prendra 1~cm pour unité de longueur.

On considère le point J de coordonnées $\left(2\sqrt{3}~;~ 6\right)$ et le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [OJ ]. On note I son centre.

Les points A, de coordonnées $\left(2\sqrt{3}~;~0\right)$, et B, de coordonnées (0~;~6), sont les projetés orthogonaux de J, respectivement
sur les axes $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vect{v}\right)$. On remarquera que le cercle $(\mathcal{C})$ est circonscrit au rectangle OAJB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $S$ la similitude directe de centre O transformant B en A.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'angle et le rapport de cette similitude.
		\item Déterminer les images I$'$, J$'$, A$'$ des points I, J et A par la similitude $S$.
		\item Soit $M$ un point quelconque du cercle $(\mathcal{C})$, et $M'$ son image par la similitude $S$.

Quel est l'ensemble $(\mathcal{C}')$ décrit par $M'$ lorsque $M$ décrit $(\mathcal{C})$ ?

Représenter $(\mathcal{C}')$ puis démontrer que, quel que soit le point $M$ du cercle $(\mathcal{C})$, les points $M$, A et $M?$ sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Omega$ le point de coordonnées $\left(4 + 2\sqrt{3}~;~2\right)$.

On considère la rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que J est l'image de J$'$ par $R$.
		\item Pour tout point $M$ du plan P, on note $M'$ son image par $S$ et $M''$ l'image de $M'$ par $R$. Déterminer l'image de J par la transformation $R \circ S$ (composée de $R$ et de $S$), puis une mesure de l'angle de vecteurs $\left(\vect{\text{J}M},~\vect{\text{J}M''}\right)$, où $M$ est distinct de J.
		\item Montrer que J$M = \text{J}M''$. En déduire une relation entre les vecteurs $\vect{\text{J}M}$  et $\vect{\text{J}M''}$, et conclure quant à la nature
de la transformation $R \circ S$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Dans tout le problème, on se place dans un repère orthonormal \Oij. L'unité graphique est $2$ cm.

\textbf{Partie I : Étude d'une fonction }\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\left] 0~;~+\infty\right[$ par :
\[
g\left( x\right)  = x\ln x - x + 1
\]
et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $g$ en $0$ et $+\infty.$

\item Étudier les variations de $g.$ En déduire le signe de $g\left(
x\right) $ en fonction de $x.$

\item On note $\mathcal{C}^{\prime}$ la représentation graphique de la
fonction $x\mapsto\ln x$ dans le repère $\left(  O;\vect{\imath}%
,\vect{\jmath}\right)  .$ Montrer que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$
ont deux points communs d'abscisses respectives $1$ et $e$ et que, pour tout
$x$ élément de [1~;~e], on a :
\index{Points communs}
\[
x\ln x - x + 1 \leqslant \ln x
\]
On ne demande pas de représenter $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale :

\[J=\int_{1}^{e}\left(x - 1\right)  \ln x\,\text{d}x\]

		\item  Soit $\Delta$ le domaine plan défini par :

\[\Delta=\left\{  M\left(x~;~y\right) ; 1\leqslant x\leqslant \text{e}\quad \text{et}\quad g(x)   \leqslant y \leqslant \ln x \right\}\]

Déterminer, en cm$^{2},$ l'aire de $\Delta.$ Donner une valeur
décimale approchée à $10^{-2}$ près de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Étude d'une fonction }\boldmath $f.$\unboldmath

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]1~;~+\infty\right[$ par :
\[
f\left(x\right)  =\frac{1}{x-1}\ln x
\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $1$. Pour l'étude de
la limite en $1$, on pourra utiliser un taux d'accroissement.
\item Déterminer le tableau de variation de $f.$ On pourra remarquer que
$f'\left(x\right)  $ s'écrit facilement en fonction de $g\left(x\right).$
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III : Étude de l'équation }$f\left(  x\right)  =\frac{1}%
{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'équation $f\left(x\right)  =\frac{1}{2}$ admet une
unique solution notée $\alpha$ et que
\[
3,5<\alpha<3,6
\]

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\left]1~;~+\infty\right[$ par
:
\[
h\left(x\right)  =\ln x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}%
\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\alpha$ est solution de l'équation $h\left(  x\right)  =x.$
		\item Étudier le sens de variation de $h.$
		\item On pose $I=\left[  3,4\right]$. Montrer que pour tout $x$ élément de $I$ on a $h\left(x\right)  \in I$ et
\[
\left|h'\left(x\right) \right| \leqslant\frac{5}{6}
\]
	\end{enumerate}

\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par :
\index{Suite!récurrente}
\[
u_{0} = 3\text{et pour tout }n \geqslant 0 \text{ } u_{n+1} = h\left(u_{n}\right)
\]
Justifier successivement les trois propriétés suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout entier naturel $n,$%
\[
\left|u_{n+1}-\alpha\right| \leqslant \frac{5}{6}\left|  u_{n} - \alpha\right|
\]

		\item  Pour tout entier naturel $n,$%
\[
\left|u_{n}-\alpha\right| \leqslant \left(\frac{5}{6}\right)^{n}%
\]

		\item La suite $\left(u_{n}\right)  $ converge vers $\alpha.$
\end{enumerate}

		\item  Donner un entier naturel $p,$ tel que des majorations précédentes on puisse déduire que $u_{p}$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. Indiquer une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près de $\alpha.$
	\end{enumerate}
\end{document}