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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole groupe 1 bis}}
\rfoot{\small{juin 1997}}

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\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole groupe 1 bis\footnote{Amiens, Lille, Paris Créteil, Versailles, Rouen, Aix-Marseille, Montpellier, Nice-Corse, Toulouse} juin 1997~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Trois dés cubiques sont placés dans une urne.

Deux de ces dés sont normaux : leurs faces sont numérotées de 1 à 6.

Le troisième est spécial : trois de ses faces sont numérotées 6, les trois autres sont numérotées 1.

On tire de l'urne, simultanément et au hasard, deux dés parmi les trois et on les lance.

On note $A$ l'évènement : \og les deux dés tirés sont normaux \fg.

On note $B$ l'évènement : \og les deux faces supérieures sont numérotées 6 \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir l'évènement contraire de $A$ que l'on notera $\overline{A}$.
		\item Calculer les probabilités de $A$ et de $\overline{A}$?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(B/A)$, probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé, puis $p(B \cap A)$.
		\item Calculer $p(B)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $p(A/B)$, probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} ayant comme unité graphique 4~cm. On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i, $-1$ et i.
\medskip

On considère l'application $f$ de P$-\{\text{A}\}$ dans $P$ qui, à tout point $M$ de P$-\{\text{A}\}$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{z + 1}{z - 2\text{i}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
		\item Déterminer l'affixe du point C$'$ image de C. Quelle est la nature de quadrilatère ACBC$'$ ?
		\item Montrer que le point C admet un unique antécédent par $f$ que l'on notera C$'$.
		
Quelle est la nature du triangle BCC$'$ ?
	\end{enumerate}
\item Donner une interprétation géométrique de l'argument et du module de $z'$.
\item Déterminer, en utilisant la question précédente, quels sont les ensembles suivants :
	\begin{enumerate}
		\item l'ensemble E$_{1}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre réel strictement négatif.
		\item l'ensemble E$_{2}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul
		\item l'ensemble E$_{3}$ des points $M$ dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé \Ouv. L'unité graphique est 3~cm.
Tout point $M$ du plan est repéré par son affixe $z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer et représenter l'ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que $|z| = 3$.

\item On considère la transformation $T$ qui à tout point $M$ du plan distinct de O associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{1}{2}\left(z - \dfrac{1}{z} \right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en fonction du module et de l'argument de $z$.
		\item  Déterminer et représenter l'ensemble $E'$, dont les éléments sont les points $M'$ images des points $M$ de $E$. Préciser ses éléments caractéristiques.
	\end{enumerate}
\item Soit $N$ le point d'affixe $- \dfrac{1}{z}$.
		
Montrer que $M'$ est le milieu de $[MN]$.
\item Soit A le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		
Montrer que, lorsque le point $M$ décrit la demi-droite [OA) privée du point O, le point $N$ décrit une demi-droite D.
		
Tracer D.

\item Montrer que l'image de la demi-droite [OA) privée du point O par la transformation $T$ est une partie d'une hyperbole $H$. Représenter H après avoir donné ses éléments caractéristiques.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Soit la fonction $\varphi$ définie dans $\R$ par 

\[\varphi(x) = \text{e}^x + x + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $\varphi$ et ses limites en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item Montrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ a une solution et une seule $\alpha$ et que l'on a :

\[-1,28 < \alpha < - 1,27\]

\item En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \dfrac{x\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\]

et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} du plan (unité graphique : 4~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que :	$f'(x) = \dfrac{\text{e}^x \varphi{x}}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}$.
En déduire le sens de variation de $f$.
\item Montrer que $f(\alpha) = \alpha + 1$ et en déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
\item Soit T la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$.

Donner une équation de T et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à T.
\item Chercher les limites de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
Démontrer que la droite D d'équation $y = x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à D. 
\item Faire le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer sur un même dessin $(\mathcal{C})$, T et D. La figure demandée fera apparaître les points de $(\mathcal{C})$ dont les abscisses appartiennent à  $[-2~;~4]$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

On considère la fonction $g$, définie sur [0~;~1] par :

\[g(x) = \ln \left(1 + \text{e}^x\right).\]

On note $(\mathcal{L})$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij, I le point défini par $\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$, A le point d'abscisse 0 de $(\mathcal{L})$ et B son point d'abscisse 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier brièvement les variations de $g$.
\item Donner une équation de la tangente en A à $(\mathcal{L})$.
\item On note P l'intersection de cette tangente avec le segment [IB].

Calculer les aires des trapèzes OIPA et OIBA.
\item On admet que la courbe $(\mathcal{L})$ est située entre les segments [AP] et [AB]. Montrer alors que :

\[\ln 2 + \dfrac{1}{4} \leqslant \int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x \leqslant \ln \sqrt{2(1 + \text{e})}.\]

\item Au moyen d'une intégration par parties, justifier que :

\[ \int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \ln (1 + \text{e}) - \int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x.\]

\item En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}
\end{document}